13.3 三角形的内角与外角 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识点，系统梳理三角形内角和定理、直角三角形性质与判定、外角定义及性质，通过预习填空、课内推导与例题精讲、分层训练到课后作业的学习支架，构建完整知识脉络。 资料以原创分层学案设计为亮点，与教师讲义例题一一对应，分层训练满足不同学生需求，结合推理能力（内角和定理推导）、模型意识（方程思想解题），如例1利用角平分线求角度，例3推导外角和。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，参考答案详细便于自学。

人教版数学八年级上册 · 第十三章 三角形 · 13.3 三角形的内角与外角（学生用书） 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3 三角形的内角与外角 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册（3课时） 原创分层学案 · 与教师讲义例题一一对应 · 课后作业还原课本《习题13.3》（对齐2024版教材） 一、学习目标 1. 掌握三角形内角和定理（三角形三个内角和等于 180°），会用它及方程思想求三角形内角。 2. 掌握直角三角形的性质（两个锐角互余）与判定（有两个角互余的三角形是直角三角形），能进行相关计算。 3. 理解三角形外角的定义，掌握外角性质（外角等于不相邻两内角的和、外角大于任一不相邻内角），知道三角形外角和等于 360°。 二、预习导航（课前填空） 1. 三角形三个内角的和等于______°。 2. 直角三角形可以用符号"______"表示；直角三角形的两个锐角______；如果三角形中有两个角互余，那么这个三角形是______。 3. 三角形的一边与另一边的______组成的角，叫作三角形的外角；三角形的外角等于与它______的两个内角的和。 4. 三角形的外角和等于______°（在每个顶点处取一个外角）。 三、课内探究 ▸ （一）三角形内角和定理 【想一想】 过 △ABC 顶点 A 作 EF ∥ BC，由平行线性质把 ∠B、∠C "搬"到 A 点两侧，凑成平角 180°，从而证明 ∠A+∠B+∠C=180°。 我的推导：∵ EF ∥ BC，∴ ∠B = ______，∠C = ______（两直线平行，___角相等）；又 ∠EAB+∠BAC+∠FAC = ______°，故 ∠A+∠B+∠C = ______°。 ▸ （二）例题精讲（课本原题 例1 P12，同题留白） 例1（课本原题）在 △ABC 中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是 △ABC 的角平分线。求 ∠ADB 的度数。 例1 配图（∠BAC=40°，∠B=75°，AD 平分∠BAC） 【思路】 提示：先在 △ABC 中由"AD 平分 ∠BAC"求出 ∠DAB，再到 △ABD 中用内角和求 ∠ADB。 我的解答：AD 平分 ∠BAC ⇒ ∠DAB = ______°；在 △ABD 中，∠ADB = 180° − ∠DAB − ∠B = 180° − ______ − 75° = ______°。答：∠ADB = ______°。 ▸ （三）直角三角形的性质（两锐角互余） 填空：在 Rt△ 中，若 ∠C = 90°，则 ∠A + ∠B = ______°；反过来，若 △ABC 中 ∠A + ∠B = 90°，则 ∠C = ______°，△ABC 是______三角形。 例题（课本原题，直角三角形性质应用）：如图，∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ 直角三角形性质应用（∠C=∠D=90°，AD、BC 交于 E） 我的解答：在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° − ______；在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° − ______；又 ∠AEC = ______（对顶角），∴ ∠CAE = ∠DBE（同角的余角相等）。答：∠CAE 与 ∠DBE ______。 ▸ （四）例题精讲（课本原题 例2 P13，同题留白） 例2（课本原题）C 岛在 A 岛北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛北偏西 40° 方向。从 B 岛看 A、C 两岛的视角 ∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A、B 两岛的视角 ∠ACB 是多少度？ 例2 三岛方向角示意图 【思路】 提示：过 A、B 分别作正北方向射线 AD、BE，则 AD ∥ BE；先求 ∠CAB，再由平行线求 ∠ABE、∠ABC，最后在 △ABC 中用内角和求 ∠ACB。 我的解答：∠CAB = ∠BAD − ∠CAD = 80° − 50° = ______°；由 AD ∥ BE 得 ∠ABE = 180° − 80° = ______°，∠ABC = ∠ABE − ∠EBC = ______ − 40° = ______°；在 △ABC 中，∠ACB = 180° − ______ − ______ = ______°。答：∠ABC = ______°，∠ACB = ______°。 ▸ （五）三角形的外角（定义与性质） 填空：三角形外角的一个特征：①顶点是三角形的______；②一边是三角形的______；③另一边是这条边的______。三角形外角性质：外角等于与它______的两个内角的和；外角______（大于/小于）与它不相邻的任意一个内角。 证明性质1：过 C 作 CE ∥ AB，则 ∠1 = ∠B（同位角），∠2 = ∠A（内错角），而 ∠ACD = ∠1 + ∠2，故 ∠ACD = ______ + ______。 对比记忆：外角 = ______两内角之和（"不相邻"三字关键）；外角与相邻内角互为______角（和为 180°）。 ▸ （六）例题精讲（课本原题 例3 P15，同题留白） 例3（课本原题）如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 例3 三角形三个外角和示意图 【思路】 提示：每个外角都等于"不相邻两内角和"，三个外角相加会出现 2 倍的（∠1+∠2+∠3）。 我的解答：∠BAE = ∠2 + ∠3，∠CBF = ______，∠ACD = ______；三式相加得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD = 2(∠1+∠2+∠3) = 2 × ______° = ______°。另法：由三个"外角+相邻内角=180°"相加也得到外角和 = 540° − 180° = 360°。答：三个外角和 = ______°。 四、分层训练 A 组·基础 1 判断：三角形三个内角的和等于 180°。（ ） 2 填空：直角三角形的两个锐角______；有两个角互余的三角形是______。 3 在 △ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则 ∠C = ______°。 B 组·提高 4 填空：三角形的外角等于与它______的两个内角的和；三角形的外角和等于______°。 5 在 △ABC 中，∠B 比 ∠A 大 15°，∠C 比 ∠B 大 15°。求 △ABC 各内角的度数。 6 如图，AB ∥ CD，∠A = 35°，∠D = 50°。填空：∠1 = ______°；∠2 = ______°。 C 组·拓展 7 填空：一个三角形最多有______个直角、______个钝角；直角三角形的外角______（能/不能）是锐角。 8 （改编）如图，△ABC 中 ∠A = 100°，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求 x 的值。 9 （改编）如图，CE 是 △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线，交 BA 的延长线于点 E。求证：∠BAC = ∠B + 2∠E。 分层训练第6题配图（AB∥CD，∠A=35°，∠D=50°） 分层训练第8题配图（∠A=100°，∠1=∠2，∠3=∠4，求 x） 分层训练第9题配图（CE 平分外角∠ACD） 五、课后作业（课本《习题13.3》P16—P17） 1. 求出下列图形中 x 的值（课本配图，照图作答）：(1) 三角形中两角 39°、108°，第三角为 x°；(2) 三角形中三个内角均为 x°；(3) 三角形中两角为 x°、x°，第三个角为 72°；(4) 三角形中三个内角分别为 x°、(x−36)°、(x+36)°。 2. (1) 一个三角形最多有几个直角？为什么？(2) 一个三角形最多有几个钝角？为什么？(3) 直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 3. 在 △ABC 中，∠B 比 ∠A 大 10°，∠C 比 ∠B 大 10°。求 △ABC 各内角的度数。 4. 如图，△ABC 中 AD⊥BC 于 D，∠1 = ∠2，∠C = 65°。求 ∠BAC 的度数。 习题13.3 第4题配图 5. 如图，AB ∥ CD，∠A = 40°，∠D = 45°。求 ∠1 和 ∠2 的度数。 习题13.3 第5题配图 6. 如图，AB ∥ CD，AE 与 CD 相交于 O，∠A = 45°，∠C = ∠E。求 ∠C 的度数。 习题13.3 第6题配图 7. 如图，B 在 A 南偏西 45°、C 在 A 南偏东 15°、C 在 B 北偏东 80°。求 ∠ACB 的度数。 习题13.3 第7题配图 8. 如图，△ABC 中 D 在 AB 上、E 在 AC 上，BE、CD 交于 F，∠A = 62°，∠ACD = 35°，∠ABE = 20°。求 ∠BDC 和 ∠BFD 的度数。 习题13.3 第8题配图 9. 如图，△ABC 中 ∠A = 100°，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求 x。求 x 的值。 习题13.3 第9题配图 10. 如图，AB ∥ CD，∠BAE = ∠DCE = 45°。填空：∵ AB ∥ CD，∴ ∠1 + 45° + ∠2 + 45° = ______；∴ ∠1 + ∠2 = ______；∴ ∠E = ______。 习题13.3 第10题配图 11. 如图，CE 是 △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线，交 BA 的延长线于 E。求证：∠BAC = ∠B + 2∠E。 习题13.3 第11题配图 我的作答区（第1—3题写过程，第4—11题对照课本图写推理，第10题填空，第11题写证明）： 六、课堂小结（填空回顾） 1. 三角形内角和：∠A + ∠B + ∠C = ______°。 2. 直角三角形：两个锐角______；若三角形中有两个角互余，则它是______三角形。 3. 三角形外角：外角等于与它______的两个内角的和；外角______（大于/小于）任一不相邻内角；三个外角和（每顶点取一）等于______°。 七、参考答案 预习导航（课前填空） 1 180。 2 Rt△；互余；直角三角形。 3 延长线；不相邻。 4 360。 分层训练 1 对（三角形内角和等于 180°）。 2 互余；直角三角形。 3 70（180−50−60）。 4 不相邻；360。 5 设 ∠A=x°，则 ∠B=x+15、∠C=x+30；3x+45=180 ⇒ x=45，故 ∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°。 6 35；85（AB∥CD，∠1=∠A=35；∠2=∠1+∠D=85）。 7 1；1；不能。 8 由 100+2∠2+2∠4=180 得 ∠2+∠4=40；x=180−40=140。 9 ∠ACD=∠BAC+∠B；CE 平分 ⇒ ∠ACE=(∠BAC+∠B)；△ACE 中 (180−∠BAC)+(∠BAC+∠B)+∠E=180 ⇒ ∠BAC=∠B+2∠E。 课本习题（习题13.3 第1—11题） 1 (1) x=33；(2) x=60；(3) x=54；(4) x=60。 2 (1) 最多 1 个直角；(2) 最多 1 个钝角；(3) 不能（否则会出现两个非锐角，矛盾）。 3 ∠A=50°、∠B=60°、∠C=70°。 4 ∠BAC=50°（AD⊥BC⇒∠DAC=25；∠1=∠2⇒AD平分∠A）。 5 ∠1=40°；∠2=85°。 6 ∠C=22.5°。 7 ∠ACB=85°（∠BAC=60，∠ABC=35）。 8 ∠BDC=97°；∠BFD=63°。 9 x=140。 10 180°；90°；90°。 11 证明见分层训练第9题。 课堂小结（填空回顾） 1 180。 2 互余；直角。 3 不相邻；大于；360。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学八年级上册 · 第十三章 三角形 · 13.3 三角形的内角与外角（教师讲义） 第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册（3课时） 贴合一线 · 去AI套壳 · 例题严格对齐2024版教材（例1 P12 / 例2 P13 / 例3 P15） 一、教学导航 ◆ 教材分析 13.3 是《第十三章 三角形》第 3 节，分两个小节：13.3.1 三角形的内角（三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余），13.3.2 三角形的外角（外角的定义、性质与外角和）。它是从"三角形边与重要线段"走向"角的关系"的关键环节，为后续多边形内角和、全等三角形、几何推理与证明奠基。本节重在建立"由内角到外角"的性质体系，并训练方向角、平行线、外角综合求角的推理能力。 ◆ 学情分析 学生在小学已知"三角形内角和是 180°"，但常把"直角三角形两锐角互余"误记成"任意三角形两角互余"；由内角和列方程求角（如 ∠B 比 ∠A 大 10°、∠C 比 ∠B 大 10°）是第一次用方程思想解角问题，易漏设元。外角性质"外角等于与它不相邻的两个内角的和"是本节核心难点，学生极易漏掉"不相邻"三字，把相邻内角也算进去；外角和恒为 360° 的推导需要两次整体代入，是拓展薄弱点。 ◆ 教学目标 1. 掌握三角形内角和定理，会用它及方程思想求三角形内角。2. 掌握直角三角形的性质（两个锐角互余）与判定（有两个角互余的三角形是直角三角形），能进行相关计算。3. 理解三角形外角的定义，掌握外角性质（外角等于不相邻两内角的和、外角大于任一不相邻内角），会求角度，知道三角形外角和等于 360°。 ◆ 教学重点与难点 重点：三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质。难点：外角"不相邻"的理解与应用；三岛视角类方向角问题；外角和的推导与整体代入。 ◆ 课时建议 建议 3 课时：课时1 完成 13.3.1 内角和定理 + 例1 + 直角三角形两锐角互余；课时2 完成 13.3.1 例2（三岛视角）与练习精讲；课时3 完成 13.3.2 外角定义、性质与例3（外角和）。 ◆ 教学准备 配套下发《13.3 学生用书》；三角形纸片（剪拼验证内角和 180°）；三角板、量角器每人一套。本文档已嵌入例1、例2、例3及习题 4—11 的示意图，教师可直接投影或板书对照；若与所用课本印刷图有出入，请以课本原图为准。 二、教学过程（3 课时） ▸ （课时1）13.3.1 三角形的内角 【情境导入】 小学用剪拼得到"三角形内角和是 180°"。进入初中要用推理证明它，并用来求任意三角形的内角。 ▸ （一）三角形内角和定理 ◆ 定理 三角形三个内角的和等于 180°（即对任意 △ABC，有 ∠A + ∠B + ∠C = 180°）。 【教师活动】过 △ABC 顶点 A 作直线 EF ∥ BC，由"两直线平行，内错角相等"得 ∠B = ∠EAB、∠C = ∠FAC；又 ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角），等量代换得 ∠A + ∠B + ∠C = 180°。 【找错活动】让学生判断"四边形的内角和也是 180°""三角形的外角和等于 180°"是否正确——纠正：内角和为 180° 仅对三角形成立；外角和另论。强调定理适用于"任意三角形"，与形状无关。 ⚠ 易错　易错：①内角和是 180° 不是 360°；②已知两角求第三角是"减法"（∠C = 180° − ∠A − ∠B），不是加法；③不要把"内角"与"外角"混淆。 ▸ （二）例题精讲（课本原题 例1 P12） 例1（课本原题）在 △ABC 中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是 △ABC 的角平分线。求 ∠ADB 的度数。 例1 配图（∠BAC=40°，∠B=75°，AD 平分∠BAC） 【板演】解：∵ AD 平分 ∠CAB，且 ∠BAC = 40°，∴ ∠DAB = ∠DAC = 20°。 在 △ABD 中，∠ADB = 180° − ∠DAB − ∠B = 180° − 20° − 75° = 85°。答：∠ADB = 85°。 【预设与对策】学生易直接算 180° − 40° − 75°，忽略"角平分线先把顶角平分"这一步；强调求 ∠ADB 是在 △ABD 中，需先求 ∠DAB = 20°。 ⚠ 易错　易错：①角平分线性质应用（∠BAC 被平分，不是 ∠B）；②在 △ABD 而非 △ABC 中求 ∠ADB。 ▸ （三）直角三角形的性质（两个锐角互余） ◆ 符号与性质 直角三角形可以用符号"Rt△"表示，如直角三角形 ABC 可写成 Rt△ABC。直角三角形的两个锐角互余：若 ∠C = 90°，则 ∠A + ∠B = 90°。 ◆ 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形（由 ∠A + ∠B = 90° 及内角和推得 ∠C = 90°）。 【例题精讲（课本原题，直角三角形性质应用）】∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ 直角三角形性质应用（∠C=∠D=90°，AD、BC 交于 E） 【板演】解：在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° − ∠AEC（两锐角互余）；在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° − ∠BED（两锐角互余）。 ∵ ∠AEC = ∠BED（对顶角相等），∴ ∠CAE = ∠DBE。即 ∠CAE 与 ∠DBE 相等（同角的余角相等）。 【找错活动】让学生判断"直角三角形的任意两个角互余"是否正确——纠正：必须是"两个锐角"互余，直角与锐角不互余。 ⚠ 易错　易错：①互余是"和为 90°"不是"相等"；②"同角的余角相等"是判定 ∠CAE = ∠DBE 的关键，不能漏写对顶角这一步。 ▸ （课时2）13.3.1 应用（例2 与练习精讲） ▸ （四）例题精讲（课本原题 例2 P13） 例2（课本原题）C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向。从 B 岛看 A、C 两岛的视角 ∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A、B 两岛的视角 ∠ACB 是多少度？ 例2 三岛方向角示意图 【板演】解：过点 A、B 分别作正北方向的射线 AD、BE，则 AD ∥ BE。 ∠CAB = ∠BAD − ∠CAD = 80° − 50° = 30°。 由 AD ∥ BE，得 ∠BAD + ∠ABE = 180°，∴ ∠ABE = 180° − 80° = 100°；∠ABC = ∠ABE − ∠EBC = 100° − 40° = 60°。 在 △ABC 中，∠ACB = 180° − ∠ABC − ∠CAB = 180° − 60° − 30° = 90°。 答：从 B 岛看 A、C 两岛的视角 ∠ABC 是 60°，从 C 岛看 A、B 两岛的视角 ∠ACB 是 90°。 【预设与对策】方向角问题学生易搞混"北偏东"的基准与角之间的关系；强调"画图即理解题意"，AD、BE 都向北故平行，可用内错角转移。可补充第二种证法：过点 C 作 CF ∥ AD，则 ∠ACF = 50°、∠BCF = 40°，∠ACB = 90°。 ⚠ 易错　易错：①方向角以正北/正南为基准，不是以边为基准；②∠ABC 是 ∠ABE 与 ∠EBC 之差而非和；③求出 ∠ACB = 90° 说明 △ABC 是直角三角形，可与课时1判定呼应。 ▸ （五）课本练习精讲（练习 P13—P14） 【当堂练习】 练习以平行线+内角和、直角三角形判定为主。P13 第1题为仰角测视角，P14 第2题为直角三角形判定，请学生先画图再列式，教师投影核对。 【练习 P13 第1题·要点】从 A 处观测 C 处仰角 ∠CAD = 30°、从 B 处观测 C 处仰角 ∠CBD = 45°，求从 C 处观测 A、B 两处的视角 ∠ACB：在 Rt△ACD 中 ∠ACD = 60°，在 Rt△BCD 中 ∠BCD = 45°，∠ACB = 60° − 45° = 15°。 【练习 P14 第2题·要点】在 △ABC 中 ∠C = 90°，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 ∠1 = ∠2，问 △ADE 是不是直角三角形：∵ ∠C = 90°，∴ ∠A + ∠2 = 90°；又 ∠1 = ∠2，∴ ∠A + ∠1 = 90°，即 ∠ADE = 90°，故 △ADE 是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）。 ▸ （课时3）13.3.2 三角形的外角 ▸ （六）三角形的外角（定义） ◆ 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。每个顶点处有两个外角（互为对顶角），通常每个顶点取一个，共 3 个外角。 【教师活动】在黑板上画 △ABC，延长 BC 到 D，则 ∠ACD 是 △ABC 的一个外角；指出外角的三个特征：①顶点是三角形的顶点；②一边是三角形的一边；③另一边是这条边的延长线。"顶点 + 一边 + 延长线"缺一不可。 ⚠ 易错　易错：外角必须有一条边是"边的延长线"；不要把三角形内部的角或随意的角误认为外角。 ▸ （七）三角形外角的性质 ◆ 性质1（核心） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。如图，∠ACD = ∠A + ∠B。 ◆ 性质2 三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角。如图，∠ACD > ∠A 且 ∠ACD > ∠B。 【板演·证明性质1】过 C 作 CE ∥ AB，则 ∠1 = ∠B（两直线平行，同位角相等），∠2 = ∠A（两直线平行，内错角相等），而 ∠ACD = ∠1 + ∠2，故 ∠ACD = ∠A + ∠B。 【找错活动】让学生判断"三角形的外角等于两个内角的和"是否正确——纠正：必须强调"与它不相邻"的两个内角；相邻内角不在其内。 ⚠ 易错　易错：①外角 = 不相邻两内角之和（不是三个内角和，也不是"相邻内角 + 一个不相邻内角"）；②外角 > 任一不相邻内角，但外角与相邻内角互补（和为 180°）。 ▸ （八）例题精讲（课本原题 例3 P15） 例3（课本原题）∠BAE、∠CBF、∠ACD 是 △ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 例3 三角形三个外角和示意图 【板演】解：由三角形外角性质，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3，∠CBF = ∠1 + ∠3，∠ACD = ∠1 + ∠2。 三式相加：∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 2 × 180° = 360°。 另法：由 ∠BAE + ∠1 = 180°、∠CBF + ∠2 = 180°、∠ACD + ∠3 = 180°，三式相加得（外角和）+（内角和）= 540°，故外角和 = 540° − 180° = 360°。 【结论】三角形的外角和等于 360°（每个顶点取一个外角，与三角形的形状、大小无关）。 【预设与对策】学生易把"三个外角和"与"三个内角和"混淆，或把每个顶点的两个外角都算进去；强调"每个顶点取一个"，共 3 个。 ⚠ 易错　易错：①外角和 = 360°（不是 180°，也不是 540°）；②外角和是对"每个顶点取一个外角"而言，共 3 个外角。 ◆ 巩固训练（原创，与学案同组同难度） 以下练习不附答案，答案统一见本节"七、参考答案"。 A 组·基础 1 判断：三角形三个内角的和等于 180°。（ ） 2 填空：直角三角形的两个锐角______；有两个角互余的三角形是______。 3 在 △ABC 中，∠A = 50°，∠B = 60°，则 ∠C = ______°。 B 组·提高 4 填空：三角形的外角等于与它______的两个内角的和；三角形的外角和等于______°。 5 在 △ABC 中，∠B 比 ∠A 大 15°，∠C 比 ∠B 大 15°。求 △ABC 各内角的度数。 6 如图，AB ∥ CD，∠A = 35°，∠D = 50°。填空：∠1 = ______°；∠2 = ______°。 C 组·拓展 7 填空：一个三角形最多有______个直角、______个钝角；直角三角形的外角______（能/不能）是锐角。 8 （改编）如图，△ABC 中 ∠A = 100°，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求 x 的值。 9 （改编）如图，CE 是 △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线，交 BA 的延长线于点 E。求证：∠BAC = ∠B + 2∠E。 巩固训练第6题配图（AB∥CD，∠A=35°，∠D=50°） 巩固训练第8题配图（∠A=100°，∠1=∠2，∠3=∠4） 巩固训练第9题配图（CE 平分外角∠ACD） 三、课堂小结 【学生说】三角形内角和 180°；直角三角形两锐角互余；外角等于不相邻两内角和、外角大于不相邻内角；外角和 360°。 【教师补·口诀】内角和：∠A+∠B+∠C = 180°。互余：Rt△ 中 ∠A+∠B = 90°；两角互余 ⇒ 直角三角形。外角：外角 = 不相邻两内角和（"不相邻"三字关键）；外角 > 任一个不相邻内角。外角和：三个外角（每顶点取一）之和 = 360°。方向角：以正北/正南为基准，平行线转移角。 四、板书设计 ◆ 主板书（随课堂推进书写） 13.3 三角形的内角与外角 一、内角和：∠A+∠B+∠C = 180° 例1(P12)：∠BAC=40°,∠B=75°,AD平分→∠DAB=20°→∠ADB=85° 直角三角形：两锐角互余（∠C=90°⇒∠A+∠B=90°）；两角互余⇒Rt△ 例题：∠C=∠D=90°,AD/BC交于E ⇒ ∠CAE=∠DBE（同角余角相等） 二、例2(P13)：三岛视角 ⇒ ∠ABC=60°,∠ACB=90°（AD∥BE 转移角） 三、外角：一边与另一边延长线组成；外角=不相邻两内角和；外角>不相邻内角 例3(P15)：三外角和=2(∠1+∠2+∠3)=360° ◆ 副板书（典型错例 / 辨析） 错例1：内角和记成 360°。 错例2：外角=两内角和（漏"不相邻"）→ 应为"不相邻两内角和"。 错例3：方向角把 ∠ABC 算成 ∠ABE+∠EBC（应为差）。 错例4：外角和记成 180° 或 540°（应为 360°，每顶点取一个）。 五、作业布置 必做（课本《习题13.3》P16—P17，与课堂例题同型）： 1. 求出下列图形中 x 的值（课本配图，照图作答）：(1) 两角 39°、108°，第三角 x°；(2) 三角均为 x°；(3) 两角 x°、x°，第三角 72°；(4) 三角为 x°、(x−36)°、(x+36)°。 2. (1) 一个三角形最多有几个直角？为什么？(2) 最多有几个钝角？为什么？(3) 直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？ 3. 在 △ABC 中，∠B 比 ∠A 大 10°，∠C 比 ∠B 大 10°。求各内角的度数。 4. 如图，△ABC 中 AD⊥BC 于 D，∠1 = ∠2，∠C = 65°。求 ∠BAC 的度数。 习题13.3 第4题配图 5. 如图，AB ∥ CD，∠A = 40°，∠D = 45°。求 ∠1 和 ∠2 的度数。 习题13.3 第5题配图 6. 如图，AB ∥ CD，AE 与 CD 相交于 O，∠A = 45°，∠C = ∠E。求 ∠C 的度数。 习题13.3 第6题配图 7. 如图，B 在 A 南偏西 45°、C 在 A 南偏东 15°、C 在 B 北偏东 80°。求 ∠ACB 的度数。 习题13.3 第7题配图 8. 如图，△ABC 中 D 在 AB 上、E 在 AC 上，BE、CD 交于 F，∠A = 62°，∠ACD = 35°，∠ABE = 20°。求 ∠BDC 和 ∠BFD 的度数。 习题13.3 第8题配图 9. 如图，△ABC 中 ∠A = 100°，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求 x 的值。 习题13.3 第9题配图 10. 如图，AB ∥ CD，∠BAE = ∠DCE = 45°。填空：∵ AB ∥ CD，∴ ∠1 + 45° + ∠2 + 45° = ______；∴ ∠1 + ∠2 = ______；∴ ∠E = ______。 习题13.3 第10题配图 11. 如图，CE 是 △ABC 的外角 ∠ACD 的平分线，交 BA 的延长线于 E。求证：∠BAC = ∠B + 2∠E。 习题13.3 第11题配图 （注：以上题号、页码以所用课本实际为准，图形题已与文字配套嵌入示意图，教学中请对照课本原图复核。） 六、教学反思 预设待改进点：①内角和定理要从"剪拼直观"过渡到"推理证明"，用平行线转移角是通法，要板书完整的"过 A 作 EF ∥ BC"过程。②例1 强调"角平分线先平分顶角、在 △ABD 中求 ∠ADB"，把"看错三角形"作为典型错例。③直角三角形两锐角互余要与"任意三角形"严格区分，例题 ∠CAE = ∠DBE 用"同角的余角相等"收口。④例2 方向角用"AD ∥ BE 都对正北"作平行线转移，先求 ∠CAB 再求 ∠ABC、∠ACB；可补"过 C 作 CF ∥ AD"的第二种证法，强化平行线模型。⑤外角性质重中之重是"不相邻"三字，用"找错活动"让学生先犯错再纠正；例3 外角和须强调"每顶点取一个外角"。⑥本次修订已将例1、例2、例3及习题13.3第4—11题示意图嵌入文档，避免"有文无图"；图形标注以课本原图为准，教学时投影+课本双对照。 七、参考答案（巩固训练 + 课本习题） 巩固训练（一） 1 对（三角形内角和等于 180°）。 2 互余；直角三角形。 3 70（∠C = 180° − 50° − 60° = 70°）。 4 不相邻；360。 5 设 ∠A = x°，则 ∠B = x+15，∠C = x+30；由 x+(x+15)+(x+30)=180 得 3x+45=180，x=45，故 ∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°。 6 ∠1 = 35（AB∥CD，内错角 ∠1=∠A）；∠2 = 85（∠2 = ∠1+∠D = 35+50）。 7 1；1；不能。 8 由 ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即 100+2∠2+2∠4=180 得 ∠2+∠4=40°；x = 180−(∠2+∠4) = 140，故 x=140。 9 ∠ACD = ∠BAC+∠B（外角性质）；CE 平分 ∠ACD ⇒ ∠ACE = (∠BAC+∠B)；在 △ACE 中 ∠CAE+∠ACE+∠E=180°，即 (180−∠BAC)+(∠BAC+∠B)+∠E=180°，化简得 ∠BAC = ∠B+2∠E。 课本习题（习题13.3 第1—11题） 1 (1) x=33（180−39−108）；(2) x=60（3x=180）；(3) x=54（2x=180−72）；(4) x=60（3x=180）。 2 (1) 最多 1 个直角（两个直角则内角和超 180°）；(2) 最多 1 个钝角；(3) 不能（若外角是锐角，则相邻内角>90°，加直角得两个非锐角，矛盾）。 3 ∠A=50°、∠B=60°、∠C=70°（设 ∠A=x，则 ∠B=x+10、∠C=x+20，3x+30=180）。 4 ∠BAC = 50°（AD⊥BC ⇒ ∠ADC=90°，∠DAC=90−65=25；∠1=∠2 ⇒ AD 平分 ∠A，故 ∠BAC=2×25=50）。 5 ∠1=40°（AB∥CD，内错角）；∠2=85°（∠2=∠1+∠D=40+45）。 6 ∠C = 22.5°（AB∥CD ⇒ ∠AOC=∠A=45°；△COE 中 2∠C+(180−45)=180 ⇒ ∠C=22.5°）。 7 ∠ACB = 85°（∠BAC=45+15=60；由平行线得 ∠ABC=80−45=35；180−60−35=85）。 8 ∠BDC = 97°（外角：∠BDC=∠A+∠ACD=62+35）；∠BFD = 63°（180−∠ABE−∠BDC=180−20−97）。 9 x = 140（100+2∠2+2∠4=180 ⇒ ∠2+∠4=40；x=180−40）。 10 180°；90°；90°（AB∥CD ⇒ 同旁内角互补）。 11 证明见巩固训练第9题（∠BAC = ∠B + 2∠E）。 学科网（北京）股份有限公司 $