精品解析：广东广州市明珠高级中学2026-2027学年高二第一学期期中考试数学试卷

广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期 高二年级数学学科期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写姓名、班级、考场号、座位号； 2．选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔作答； 3．考试结束后交回答题卡和试卷． 第I卷（非选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，然后确定直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 所以倾斜角为 2. 已知空间向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直得，即可求出的值. 【详解】. 故选：B. 3. 若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得，则. 故选：A 4. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 . 5. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去）， 在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 7. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算，即可求得点F到平面的距离，又可证得平面，即可得出直线到平面的距离. 【详解】在直三棱柱中，， 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，E、F分别为的中点， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以点F到平面的距离为. 因为在直三棱柱中，分别为的中点， 则且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 则点F到平面的距离即为直线到平面的距离. 故选：B. 8. 已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆，以椭圆右顶点为圆心，以长轴长为直径作圆，过两圆外的动点作直线与圆切于点，作直线与圆切于点，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程得到圆，方程，作图，由切线得到直角三角形，由切线长的倍数关系以及半径的倍数关系得到与的关系，从而建立方程，整理后得到点的轨迹方程.又由过点作圆的切线得到点在圆，外面，从而求得实数的取值范围． 【详解】由题意得圆，圆，设圆，的圆心分别为，．直线与圆切于点，作直线与圆切于点， 在和中， ，，则得，，整理得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆落在圆，外面的部分． 利用得， 故实数的取值范围为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【解析】 【分析】运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项. 【详解】对于A项，若，则，解得或， 经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立； 对于C项，因为， 则由得，所以l恒过点，故C项正确； 对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点， 则，得， 所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立． 故选：AC. 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】由，直接求椭圆离心率即可，将看成△的底，高的最大值即为，即可求出△面积的最大值，写出以线段为直径的圆方程，圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系，直接用斜率公式求解即可. 【详解】对于选项A，由已知得，，则，即，故A错； 对于选项B，由已知得，要使△的面积最大，当底边上的高最大即可，高的最大值即为， 则△的面积最大值为，故B正确； 对于选项C，以线段为直径的圆的方程为， 则该圆的圆心到直线的距离为，即以线段为直径的圆与直线相交，故C不正确； 对于选项D，设点，则，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，已知二面角的棱上有A，B两点，，，，，且，则（ ） A. 当时，直线与平面所成角的正弦值为 B. 当二面角的大小为时，直线与所成角为 C. 若，则三棱锥的外接球体积的为 D. 若，则二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：借助空间垂直的转化可得线线垂直，结合线面角的定义计算即可得；对B：借助二面角的定义，作出平行直线且与相交的直线即可计算异面直线夹角；对C：找到底面外接圆圆心，作出过该点且垂直底面的直线，则球心必在该直线上，设出半径，结合勾股定理可得半径，即可得外接球体积；对D：借助二面角定义作出该二面角的平面角，结合意义计算即可得. 【详解】对A选项：当时，因为，， 所以，所以直线与平面所成角为， 又因为，所以， 因为，，所以， 所以，故A正确； 对B选项：如图，过A作，且，连接，，    则四边形为正方形，所以，所以（或其补角）即为直线与所成角， 因为，四边形为正方形，有，所以， 又因为，所以即为二面角的平面角，即， 由、、且、平面， 所以平面，又四边形为正方形，所以， 所以平面，又平面，所以. 由且四边形为正方形，，所以， 所以，即，即直线与所成角为，故B正确； 对于D，如图，作，且， 则二面角的平面角为，不妨取，    由，在中，易得， 在中，由余弦定理得，， 过C点作交线段的延长线于点O，则平面， 过O点作，交线段的延长线于点H，连接， 则为二面角的平面角， 易得，，， 所以，故D正确. 对C选项：同选项D可知， 如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，    则球心必在该垂线上，设球的半径为R，则， 又的外接圆半径，而平面平面， 所以平面，即的长为点到平面的距离，则， 所以四面体的外接球的体积为，故C错误． 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题C选项中外接球半径半径的计算关键是先找到底面外接圆圆心，则球心必在过外接圆圆心且垂直于底面的直线上. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点P（－1,3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是__________________． 【答案】2x+y-1=0 【解析】 【详解】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P（－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0． 考点：两条直线的位置关系 13. 若直线l：始终平分圆C：的周长，则的最小值为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据直线过圆心可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由题意，直线经过圆心， 故， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：8 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，， 即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知. （1）求直线的方程； （2）平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合点斜式求得直线的方程. （2）设，根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程. 【小问1详解】 ， 于是直线的方程为，即 【小问2详解】 设动点，于是， 代入坐标得， 化简得， 于是动点的轨迹方程为 16. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【小问1详解】 由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 又因为的中点为， 所以线段的中垂线的直线方程为， 即， 联立 解得 ，所以圆心 又因为半径等于,所以圆的方程为. 【小问2详解】 设圆的半径为，则， 若直线的斜率不存在，因为直线过点， 所以直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意; 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为，即. 所以切线方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离． 【答案】（1）在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）证得，即可根据线面平行的判定证得结论； （2）方法一：证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离； 方法二：证得平面，由，根据等体积法求线面距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则 又， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接， ． 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得． 设点到平面的距离为h，由， 得， 解得，即点到平面的距离为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 ， 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 19. 已知曲线C上任一点到两点、的距离之和为 . （1）求曲线C的方程； （2）若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A，B两点. ①若，求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P，点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线l，则直线l 是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②经过定点，该定点为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. （2）①求出点的纵坐标，再利用给定数量积求出轨迹方程；②设出直线方程，与椭圆方程联立，结合已知求出点的坐标进而求出直线的方程即可得解. 【小问1详解】 依题意，曲线C是以点、为左右焦点，长轴长为的椭圆， 所以曲线C的方方程为. 【小问2详解】 ①直线方程为，由，得， 由，得点的轨迹是以线段为直径的圆，而为线段的中点， 所以动点Q的轨迹方程为. ②依题意，直线斜率存在且不为，设直线，， 由消去得， 则，， 由两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，得中点在直线上， 则，整理得，直线方程为， 令，则，即，因此直线，即， 所以直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市明珠高级中学2026-2027学年第一学期 高二年级数学学科期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写姓名、班级、考场号、座位号； 2．选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔作答； 3．考试结束后交回答题卡和试卷． 第I卷（非选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆，以椭圆右顶点为圆心，以长轴长为直径作圆，过两圆外的动点作直线与圆切于点，作直线与圆切于点，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 为定值 11. 如图，已知二面角的棱上有A，B两点，，，，，且，则（ ） A. 当时，直线与平面所成角的正弦值为 B. 当二面角的大小为时，直线与所成角为 C. 若，则三棱锥的外接球体积的为 D. 若，则二面角的余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点P（－1,3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是__________________． 13. 若直线l：始终平分圆C：的周长，则的最小值为_____________． 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知. （1）求直线的方程； （2）平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程. 16. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 已知曲线C上任一点到两点、的距离之和为 . （1）求曲线C的方程； （2）若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A，B两点. ①若，求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P，点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线l，则直线l 是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $