四川省渠县文化学校2026-2027学年期中数学冲刺卷（北师大版数学九年级上册）

渠县文化学校 九年级 (上) 期中数学冲刺卷 （测试范围第1-第3章） 总分：150分 考试时间：120分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.下列说法中不正确的是（       ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.正方形的对角线相等 D.四边相等的四边形是菱形 【答案】 A 【解析】 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的性质，牢固掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定是解题关键． 利用菱形、矩形、正方形的性质与判定逐项分析即可． 【解答】 、对角线相等的平行四边形是矩形，选项错误，符合题意； 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； 、正方形的对角线相等，选项正确，不符合题意； 、四边相等的四边形是菱形，选项正确，不符合题意； 故选：A． 2.如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（        ） A.2 B. C.3 D. 【答案】 D 【解析】 将x=2代入原方程，求解关于k的一元一次方程. 【解答】 解：把x=2代入x^2+kx+2=0，得2^2+2k+2=0 整理得2k=-6，解得k=-3. 故选：． 3.在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，与的相似比是，若点的坐标为，则其对应点的坐标是（       ） A. B. C.或 D.或 【答案】 D 【解析】 本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以k或。 【解答】 解： 点A的坐标为(4，)，且位似中心是原点O， 与 的相似比是 ， 对应点 的坐标是或, 故选：D. 4.定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（        ） A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根 【答案】 A 【解析】 由新定义运算可得 ，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果. 【解答】 解： ， ， 方程无实数根. 故选：． 5.如图，在等腰中，，D为边上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，则的长为（       ） A.8 B. C. D. 【答案】 C 【解析】 连接 OA，OD.证明 ，推出 ，求出BD，再利用勾股定理求出AD，可得结论. 【解答】 解：如图，连接 OA，OD. 四边形 ADEF是正方形， 四边形ADEF是正方形， 是等腰直角三角形， 故选：C. 6.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 先根据 得出 ，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 【解答】 解：, A、， ，故选项不符合题意; B、， ，故选项不符合题意; C、 ，故选项不符合题意; D、，与 的大小无法判定, 无法判定 ，故选项符合题意. 故选：． 7.小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（       ） A.保持不变 B.增加了 C.增加了 D.减少了 【答案】 C 【解析】 根据菱形性质及 判定 为等边三角形，求出木条长度；再根据正方形性质及勾股定理求出图2中对角线AC的长，最后计算差值即可. 【解答】 解：图1中， 四边形ABCD是菱形， 是等边三角形， 图2中， 四边形ABCD是正方形， ， 相对于图1，图2中对角线AC的长度增加了 故选：． 8.某市2024年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2026年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 明确增长年数为2，结合期初、期末覆盖率，利用增长率公式列方程即可. 【解答】 解：根据题意得 ，即 9.如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ） A.8 B.9 C. D. 【答案】 B 【解析】 连接AC，首先证明 是等边三角形，再证明 ，推出 由此构建方程即可解决问题. 【详解】解：连接AC. C 菱形ABCD~菱形AEFG， AB=BC, 是等边三角形， 设 ，则 ， 设 AB = BC = AC = a ，则 BH = a - 7，BG = a - 3， =9或1（舍去）, °=9, 故选：B. 【解答】 此题暂无解答 10.如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、．以下结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（       ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 C 【解析】 利用正方形的性质，轴对称的性质，平行线的判定定理，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定定理，解直角三角形的知识对每个结论进行判断说明即可． 【解答】 解：由折叠的性质，得 为AB的中点， 故①正确； 四边形ABCD是正方形， 在Rt 和Rt 中， Rt Rt ， 故②正确； 又 故③正确； Rt Rt FG=CG, 设FG=CG=m, 解得 故④错误； 综上所述，正确的个数是3． 故选：． ． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.若，b，d均不为0，则________． 【答案】 【解析】 本题考查等比性质的应用，解题的关键是注意掌握比例变形． 根据比例的性质，即可求得 的值． 【解答】 设 则 故答案为： 12.已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【解答】 解：， 无论取何实数，的值都不是负数，且， ， 解得， 故答案为：． 13.黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图1，点A，B分别在正方形习字格的边上，且，“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点位置在的黄金分割点C处，且．已知如图2所示的习字格的边长为，则“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点到的距离为________． 【答案】 【解析】 先证明四边形ABPN是矩形，根据黄金分割的定义可得 ，据此求解即可. 【解答】 解：四边形MNPQ是正方形， ， 又， ， ， 四边形ABPN是矩形， . 又“冀”字的笔画“撇”的位置在AB的黄金分割点C处，且，， ， 即“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点到EF的距离为. 14.已知实数、满足，且，则___31_____． 【答案】 31 【解析】 由已知条件可得x，y是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到x+y与xy的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解. 【解答】 解： 实数x，y满足，，且. x，y可看作一元二次方程的两个不相等的实数根. 由根与系数的关系得：x+y=1，xy=-3. . . 同理可得：. . 15.如图，在中， ，，D是外一点，且，G是中点，连接，则的最大值为________ ． 【答案】 【解析】 取AC的中点O，连接OD，利用直角三角形斜边中线性质求出 OD长；取OC的中点K，连接KG，利用三角形中位线定理求出KG的长，根据 可得BG的最大值为 .过点B作AC的垂线，利用勾股定理构建方程求出垂足位置，进而计算BK的长，最终求得BG的最大值. 【解答】 解：如图：取AC的中点O，连接OD， ，O为AC中点， 取OC的中点K，连接KG，BK， 过点B作BH AC于点H，设CH=x，则AH=8-x， 在Rt 由勾股定理得： ，解得： ， 在Rt 在Rt ， 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(10分) 解方程： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 （1）先移项，然后再运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可. 【解答】 （1）解： 【1）解： 所以 （2）解： 17.(6分) 网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． （1）以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． （2）点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】 见解答 (-4, 2); (-6, 8) 【解析】 （1）位似中心为点O，根据位似比，连接OA，OB，OC，并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点 ，C的坐标，再根据位似比，即可求解. 【解答】 （1）如图， 即为所求. （2）解： 点B的坐标为（-2，1）， 点C（-3，4）， 按1：2放大得到 点B的对应点E的坐标为：(-4，2)；点C的对应点F的坐标为：(-6，8). 故答案为：（-4，2）；（-6，8）. 18.(6分) 如图，． （1）填空：的值为___________，的值为___________； （2）若，求和的长． 【答案】 的长分别为 【解析】 （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据计算即可; （2）先求出，再根据计算即可. 【解答】 （1）解：，， ， ； 故答案为：； （2）解： ， ， 。 故的长分别为. 19.(8分) 已知关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 【答案】 【解析】 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 ，然后解该不等式即可求得 的取值范围； （2）利用根与系数的关系得 ，，然后将其代入 列出关于 的方程，通过解方程来求 的值. 【解答】 （1）解： 方程 有两个不相等的实数根， . ， 解得 ; （2）解： 方程的两个不相等的实数根分别为 ， ，， ， 解得 ，， ， . 20.(8分) 如图， 在 菱形中，交于点， 点， 在上， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明见解析 证明见解析 【解析】 （1）先根据菱形的性质得出，，再根据，得出，即可证明结论； （2）根据菱形的性质得出，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论． 【解答】 （1）解：证明：四边形为菱形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形为菱形， ， 即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 21.(10分) 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出____1600_________个A种商品，若售价下降元（），每月能售出____________个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】 1600； 每个A商品的售价为37元 见解答 【解析】 （1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量=总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式 ，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【解答】 （1）解：售价每下降1元，其月销售量就增加200个， 若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元(），每月能售出 个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得 ， 当 时，（舍去）， 当 时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， ， 方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 22.(10分) 如图，是的高，点F，G在上，点E，H分别在，上，四边形是矩形， （1）证明：． （2）若，是的高，，，求的长． 【答案】 证明： 四边形EFGH是矩形， 【1）证明： 四边形EFGH是矩形， 又 点F，G在BC上， EH的长为 【解析】 （1）根据矩形性质得到对应边平行，由平行线得到两组同位角相等，从而证明 ，由相似三角形对应边成比例得到所求线段的关系，交叉相乘即可证明结论. （2）根据矩形性质得到对应边平行和直角，令AD与EH交点为R，结合 得到RD与EH的关系式，由（1）中得到的相似三角形对应边成比例得到 代入RD与EH的关系式得到关于EH的方程，求解方程即可. 【解答】 （1）略 （2）解：如图，令AD交EH于点R， 矩形EFGH的边FG在BC上， 矩形EFGH的边FG在BC上， 又 点F，G在BC上， 由（1）可知， 即 解得 的长为 23.(10分) 如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】 见解答 当 时，CE最大值为 【解析】 （1）根据外角定理和等量代换可推出 ，结合 ，即可得证 ； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设 ，则 ，根据相似三角形的性质对应线段成比例列出等式，得 是关于 的二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可； 【解答】 （1） ，理由如下： 是 的外角， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ； （3）解：设 ，则 ， ， ， 即 ， ， 当 时，CE最大为 ， 当 时，CE最大值为 . 24.(10分) 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (，是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”，理由：因为，再如，，(，是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 （1）下列各数中，“完美数”有___②____(只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 （2）若可配方成（，为正整数），则的值为___9____； （3）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 （4）已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 【答案】 ② ，理由见解析 【解析】 （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【解答】 （1）解：由于②，所以②是完美数， ； 所以不能表示成 (，是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）， ， ， ， 当时，的最小值为 25.（12分）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 【答案】 ①见解答 (2) 【解析】 本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质； （1） ①由矩形ABCD得到 ，根据CF BE，得到 ，则 ，即可证明 ②由中点得到 ，根据 ，得到 ，则 ，据此解方程即可； (2) 延长CF交AB于M，先证明 ，得到 ，设AB=DC=3x，则BM=2x，再证明 得到 ，代入即可得到 ，x=1，则AB=DC=3x=3，最后求小丽沿路线CD-DE到达入口E处所走的路程为 【解答】 解： （1） ①证明： 矩形ABCD， ② 点E为边AD的中点， ∴BC =或BC （负值已舍去）； ∴BC= (2) 延长CF交AB于M，如图， 图2 矩形ABCD，BC=2 km， ，AD=BC= km，AB=CD，AB//CD， 点E为边AD的中点， km， 设AB=DC=3x，则BM=2x， 解得x=1（负值舍去）， 小丽沿路线CD-DE到达入口E处所走的路程为 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 一、单选题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D C B B C 二、 填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 7 11. 边ks贵 13.为25-2 14.31 15.33+2. 三、解答题（本题共计10小题，共计90分） 16.(10分) (1)解：3y-1=1-y, 【1)解：3y-1=1-y, 3y-1+y-1=0, y-13y-1+1=0, 1 y-13y-2=0, …………….3分 y-1=0,3y-2=0, 以为1为-号 .5分 (2)解：3x2+5x-1=0, 1分 △=52-4×3×-1=37>0， x=-5±37--5±37 2×3 6 5分 17.(6分) (1)解：如图，△DEF即为所求. D O 2分 (2)解：.点B的坐标为(-2,1)， :点C(-3,4), 2 98 =乙L× 是器w, 5E 9:8 4差品弹 .st+8_a0+d.. d9 8_8_g… 乙-aV-aa ε=O8‘乙=8V1‖1‖'1∴.搏(T) (59)8t 99… (89-):(亿‘五-)年嵩显狎 g9………… 89(4赤傅a学型丝明0罩：亿)）：44明a学ga学” da☑7度Y4?T年O8VV∴. g8………. 99……… D Y-=5=3xx【+1Z=q-=x+x. xx年喈邵濂运明䵎此业↓型明盘4∴.趣（亿） 写… 吕-<义掷 0<I+18=1-MI×b-[|T+1Z-]=3Db-9=7 g1………… 1-1=)I+1Z-=q‘I=D. 溪添明毙胖坐幽身0=1-+XT+z义避4广：搏（红） (58)6t g9… S:S4倍5明a‘aC猝 98ヤ乙 9…………… z9Ex气 =3d'. ,8da. 乙-aa .X1+X2=X1X2-3 ..2k+1=k2-k-3 …………………7分 解得k1=4,k2=-1, :合 .k=4 8分 20.(8分) (1)解：证明：：四边形ABCD为菱形， .∴.AO=CO'BO=DO ………1分 .AE=CF' ,∴.AO-AE=CO-CF 即EO=FO, ……………….3分 :.四边形EBFD是平行四边形. 5分 (2)证明：.四边形ABCD为菱形， ∴.AC⊥BD' 即EF⊥BD, ………7分 ·四边形EBFD是平行四边形， :四边形EBFD是菱形. 8分 21.(1)解：.售价每下降1元，其月销售量就增加200个， …………1分 ∴.若售价下降5元，每月能售出600+200×5=1600（个）A商品， ……2分 若售价下降x元(x>0),每月能售出(600+200x个A商品： 3分 (2)解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 x-30[600+20040-x]=8400' …5分 解得1=36，X2=37, ……………6分 当x=36时，600+20040-x=1400>1210(舍去)， 当x=37时，600+20040-x=1200<1210(符合题意)， 6 答：每个A商品的售价为37元： 7分 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：x-301[600+20040-x]=9600, ………………8分 .∵△=b2-4ac=-23<0 …………….9分 :.方程无实数根，即月获利不能达到960元. 10分 22.(10分) (1)证明：.四边形FGH是矩形， ∴.EHFG, ………。………1分 又.点F,G在BC上， ∴.EHBC, .△AEH~△ABC, ……………2分 ·AE_AH ·ABAC' .AE·AC=AH·AB. 4分 (2)解：如图，令AD交EH于点R, .矩形FCH的边FG在BC上， ·矩形FGH的边FG在BC上， ∴.EHFG, 又点F,G在BC上， ∴.EH‖BC,∠EFC=90°. ……5分 .'EF⊥BC,RD⊥BC,EH=2EF, :RD=EF=-EH. 7分 .BC=8,AD=6, ..AR=AD-RD=6-1 EH, ……8分 由(1)可知，△AEH~△ABC, 8忍即 ……….9分 6-1EH EH 6 8 解得EH=105 48_24 .EH的长为 24 10分 23.(10分) (1)解：△ABP~△PCE,理由如下： :∠APC是△ABP的外角， ∴.∠APC=∠B+∠BAP' ……………….1分 ·.∠APC=∠APE+∠CPE’∠APE=∠B' ∴.∠CPE=∠BAP' ……………………2分 ∠B=∠C .∴.AABP~△PCE 4分 (2)解：.△ABP~△PCE, ..AB=BP PC CE .‘BP=5’AB=4'BC=7' 45 ·7-5CE ……………….6分 .CE=5 7分 (3)解：设BP=X,则CP=7-X, .'△ABP~△PCE' ..AB-BP PC CE 4 X 即7-xCE 。………8分 ………….9分 当x三时，CE最大为 49 16 10 当BP=)时，CE最大值为 49 16 .10分 24.(10分) (1)解：由于②34=52+32，所以②是完美数， ……………1分 11=1+10=4+7=9+2:60=1+59=4+56=9+51=16+44=25+35=36+24=49+11 所以11,60不能表示成a+b2(a,b是整数)的形式，不是完美数 ……,2分 故答案为：②： 3分 (2)由y=X2-6x+13=x-32+4=x-32+22 ………4分 :y=x2-6x+13可配方成 y=(x-m2+n2' .∴.m=3’n=2 ….5分 ∴.m”=32=9 故答案为：9： 6分 11 (3)k=16,理由如下： S=a2+4ab+5b2-8b+k=a2+4ab+4b2+b2-8b+k=a+2b2+b2-8b+k .7分 要使S为“完美数”， 则b2-8b+k需为完全平方式， 816 此时s=a+2b+b-42符合“完美数”定义， .k=16 8分 (4).‘x-y2=1, .x-1=y2≥0 .x≥1 …….9分 .x2+2y2-4x+2028 =x2+2x-1-4x+2028 =x2-2x+2026 =x2-2x+1+2025 =x-12+2025≥2025 12 当x=1时，x2+2y2-4x+2028的最小值为 10分 25.(12分) 解：(1)①证明：，矩形ABCD, .∠A=∠ABC=90 …………………1分 AD=BC, .CF⊥BE, ∴.∠A=∠ABC=∠BFC=90°， .∠ABE=∠BCF=90°-∠EBC, .∴.△ABE~△FCB; …………3分 ②，点E为边AD的中点， A-AD-C ……………….4分 ·.'△ABE△FCB, ·BF_BC ·AEBE BF~BE=BC·AE=BC.号BC=号BC2, 2 …….6分 .BF·BE=4, c2=4, 13 ,∴，BC=2V2或BC-22(负值已舍去)： ..BC-22 …………7分 (2)延长CF交AB于M,如图， E A D M B 图2 .矩形BCD,BC23km, ∠A=∠ABC=90,A0=BC23km,AB=CD,AB/D, ·点B为边AD的中点， ∴DE=AE=1AD=BC=3km, ……….8分 AB//CD, .∴.DCG~△BMG, DC_DG ··BMBG 瓷是 14 SE '6+8=30+CD4据明%a口V低0-ao彩据图：” ‘8=Xe=O☑=aV. ‘E=XE=Oa=aV. ‘(子号刵尊)【=x揭 g0T…… :X8 8合乙x乙 型_V: oa wa ‘WOaV~aaVV',∵ ‘○87-.06=dO87=aaV7. ‘.06=OHa7=OaV7=V7. ‘aa T Ho.∴. 2=阳m‘Xg=00=积· g6……………… .乙_8_Na. ε-9a-Oa…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 渠县文化学校 九年级 (上) 期中数学冲刺卷 （测试范围第1-第3章） 总分：150分 考试时间：120分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.下列说法中不正确的是（       ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.正方形的对角线相等 D.四边相等的四边形是菱形 2.如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（        ） A.2 B. C.3 D. 3.在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，与的相似比是，若点的坐标为，则其对应点的坐标是（       ） A. B. C.或 D.或 4.定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（        ） A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根 5.如图，在等腰中，，D为边上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，则的长为（       ） A.8 B. C. D. 6.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（        ） A. B. C. D. 7.小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线的长度（       ） A.保持不变 B.增加了 C.增加了 D.减少了 8.某市2024年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2026年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（       ） A. B. C. D. 9.如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（ ） A.8 B.9 C. D. 10.如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、．以下结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（       ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ，） 11.若，b，d均不为0，则________． 12.已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是____________． 13.黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图1，点A，B分别在正方形习字格的边上，且，“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点位置在的黄金分割点C处，且．已知如图2所示的习字格的边长为，则“冀”字的笔画“撇”（倒数第2画）的起点到的距离为________． 14.已知实数、满足，且，则________． 15.如图，在中， ，，D是外一点，且，G是中点，连接，则的最大值为________ ． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ，） 16.(10分) 解方程： （1）； （2）． 17.(6分) 网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． （1）以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． （2）点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 18.(6分) 如图，． （1）填空：的值为___________，的值为___________； （2）若，求和的长． 19.(8分) 已知关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 20.(8分) 如图， 在 菱形中，交于点， 点， 在上， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是菱形． 21.(10分) 某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出_____________个A种商品，若售价下降元（），每月能售出____________个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 22.(10分) 如图，是的高，点F，G在上，点E，H分别在，上，四边形是矩形， （1）证明：． （2）若，是的高，，，求的长． 23.(10分) 如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当为多少时，的长最大？最大为多少？ 24.(10分) 配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (，是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”，理由：因为，再如，，(，是整数)，所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 （1）下列各数中，“完美数”有_______(只填序号)； ①；    ②；     ③． 【探究问题】 （2）若可配方成（，为正整数），则的值为_______； （3）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 【拓展应用】 （4）已知实数，均满足，求代数式 的最小值． 25.（12分）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E为边的中点，连接，过点C作于点F． ①求证：； ②若，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是一个大型植物园，点C为植物园的出口，的中点E为植物园的入口，、、是三条观赏主道，于点F，交于点G，其中区域以常绿针叶树为主，区域以落叶针叶树为主，区域以竹类为主，区域以花卉植物为主，已知，，小丽现在植物园的出口C处，求小丽沿路线到达入口E处所走的路程（即求的长）．（观赏主道的宽度、植物园出入口的大小均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $