精品解析：四川省达州市渠县天关中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

四川省达州市渠县天关中学2025-2026学年九年级上学期期中 数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列命题正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 C. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意； B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 3. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 4. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故选：D． 5. 在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，运用知识准确计算是解决问题的关键． 利用菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 故选：B． 6. 我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，解一元二次方程，完全平方公式，多项式乘以多项式，掌握一元二次方程解法是解题的关键．根据新运算的法则列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：由题意得， 整理，得， 则， ∴，， 故选：． 7. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵DE//AB， ∴ ∴的值为． 故答案为A． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 8. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 9. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 10. 如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于，下列结论：①，②，③垂直平分，④，⑤．其中正确结论有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过条件可以得出，从而得出，，由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，设，由勾股定理就可以得出与，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴−−，即， ∵， ∴垂直平分，故③正确； ∴， 设，由勾股定理，得，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴−， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共个． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 一个不透明的盒子里装有2个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图求概率，画出树状图，得出一共有种等可能的情况，其中摸出的两个小球恰好都是红球的情况有种，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知：一共有种等可能的情况，其中摸出的两个小球恰好都是红球的情况有种， ∴摸出的两个小球恰好都是红球的概率为． 故答案为：． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，由得，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 正方形，，…按如图所示的方式放置，点，，，…在直线，点，，，…在轴上，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，规律探究等． 由直线解析式可求得，然后分别求得、、…的坐标，可以得到规律：，据此可求解． 【详解】解：点在直线上， ， 又四边形是正方形， ，， 点在直线上， ， 又四边形是正方形， ，， 点在直线上， ， 以此类推可得点的坐标为， 的纵坐标是：，的横坐标是：； 的纵坐标是：，的横坐标是：； 的纵坐标是：，的横坐标是：； …… 的纵坐标是：，的横坐标是：, 所以的坐标是，即， 故答案为：． 15. 如图，边长为4 的菱形的对角线、相交于点O， ，P 为线段上的一动点，连接，将线段 绕点B 逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. 2 ②. 1 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，在上取点，使，连接，由旋转得，，，由菱形的性质可得，，，进而可得为等边三角形，则，，证明，可得．由题意知，点为的中点，可知当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值，进而可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：在上取点，使，连接， 由旋转得，，， ． 四边形为菱形， ，，，． ， 为等边三角形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ， 点为的中点． 当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值， 的最大值为2， 即线段长的最大值为2． ，， ， ， ， 即线段长的最小值为1． 故答案为：2；1． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）利用因式分解解方程，即可得到答案； （2）先把方程进行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案． 【小问1详解】 解： 或 ，． 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：， 该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，，即，从而列出关于的方程，解出即得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ， 即， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系． 18. 如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐． （1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是________； （2）若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 画出树状图如图， 共有16种等可能结果，符合题意的有6种， ∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为 【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式与画树状图法求概率是解题的关键． 19. 已知（，是常数，）．① （1）若，，求； （2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； （3）若的取值与无关，试求与的数量关系． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了约分，等式的性质，正确理解题意是解题的关键。 （1）把，代入中并约分即可得到答案； （2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可； （3）由的取值与无关，可得，进而得到，即，得出结论． 【小问1详解】 解：当，时，； 【小问2详解】 解；将两边都乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 即， ，； 【小问3详解】 解：的取值与无关， ，即， ，即， 2． 20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）AE=9 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 22. 如图，将沿射线平移，使点B与点C重合，得到，连接．F，G分别是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明:由平移可知， ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵F，G分别是的中点， ∴， ∴. （2） 证明:由平移可知， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴. 又∵F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据平移的性质得出，四边形是平行四边形，然后得出，最后利用全等三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据平移的性质得出四边形是平行四边形，再根据条件得出，得出，然后可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某快餐店9月1日的外卖收入为6万元，随着订餐人数的不断增多，9月3日的外卖收入达到万元． （1）求从9月1日到9月3日该快餐店的外卖收入的日平均增长率； （2）随着外卖的爆火，快餐店新设计了一款套餐进行销售，已知新设计的每份套餐的生产成本为元，经过一段时间的销售后发现：当该款套餐的售价定为元/份时，平均每天售出份；售价每份每降低1元，平均每天多售出3份．现快餐店计划下调该套餐的售价，使平均每天的销售利润为元． ①为了推广该款新套餐，且尽可能多的增大销量，求下调后每份套餐的售价； ②试探究该套餐平均每天能否获利元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①下调后每份套餐的售价为元 ②解：设下调了元该套餐平均每天能获利元，根据题意得： ， ， ， ∴原方程无实根， 故该套餐平均每天不能获利元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设日平均增长率为x，根据题意列方程，求解并保留符合题意的解即可； （2）①设下调了元，根据题意列方程求解并保留符合题意的解即可；②设下调了元该套餐平均每天能获利元，根据题意列方程，根据根的判别式得方程无实根，据此可解题目． 【小问1详解】 解：从9月1日到9月3日该快餐店的外卖收入的日平均增长率为x， ， ， (舍)， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：①设下调了元，根据题意得： ， ， ， ∵尽可能多的增大销量， ∴降价尽可能大， 故， 元， 答：下调后每份套餐的售价为元； ②略 24. 【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长． 【答案】 （1）证明：，，， ， ，，， ， ． （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质可知，，结合，即可通过三角形两角相等证明； （2）过点作的延长线于点，易证，，从而得到，，再由，得到，结合，设，可求得，即可求得； （3）在上取点，使，过点作的延长线于点，易证，推出，从而求得，，结合直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半可知，得到，设，则，，然后利用勾股定理在中表示出，即可在中求得，最后在中即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：过点作的延长线于点， 则，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即 ，解得， ， ，， ， ． （3）解：在上取点，使，过点作的延长线于点，如图， 则，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，，， 在中，． 【点睛】本题考查了三角形外角的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线构建出相似三角形是解题的关键． 25. （1）如图1，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、，，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，易证：，从而得到、与之间的数量关系______． 【实践探究】 （2）如图2，在正方形中，点E，F在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展】 （3）如图3，正方形的边长为，点P为边上一点，于E，Q为中点，连接并延长交于点F，且，请求出的长． 【答案】（1）; （2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键， （1）将绕点A顺时针旋转，得到，从而，只要证明，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，只要证明即可解决问题； （3）连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，设，，则，再由勾股定理构建方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∵， 设，，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县天关中学2025-2026学年九年级上学期期中 数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列命题正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 C. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 8 4. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 9. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于，下列结论：①，②，③垂直平分，④，⑤．其中正确结论有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 一个不透明的盒子里装有2个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是红球的概率为______． 12. 若，则________． 13. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则________． 14. 正方形，，…按如图所示的方式放置，点，，，…在直线，点，，，…在轴上，则的坐标是______． 15. 如图，边长为4 的菱形的对角线、相交于点O， ，P 为线段上的一动点，连接，将线段 绕点B 逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为________，最小值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程的两个实数根，满足，求k的值． 18. 如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐． （1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是________； （2）若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 19. 已知（，是常数，）．① （1）若，，求； （2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； （3）若的取值与无关，试求与的数量关系． 20. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 22. 如图，将沿射线平移，使点B与点C重合，得到，连接．F，G分别是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：四边形是矩形． 23. 某快餐店9月1日的外卖收入为6万元，随着订餐人数的不断增多，9月3日的外卖收入达到万元． （1）求从9月1日到9月3日该快餐店的外卖收入的日平均增长率； （2）随着外卖的爆火，快餐店新设计了一款套餐进行销售，已知新设计的每份套餐的生产成本为元，经过一段时间的销售后发现：当该款套餐的售价定为元/份时，平均每天售出份；售价每份每降低1元，平均每天多售出3份．现快餐店计划下调该套餐的售价，使平均每天的销售利润为元． ①为了推广该款新套餐，且尽可能多的增大销量，求下调后每份套餐的售价； ②试探究该套餐平均每天能否获利元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 24. 【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长． 25. （1）如图1，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、，，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，易证：，从而得到、与之间的数量关系______． 【实践探究】 （2）如图2，在正方形中，点E，F在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展】 （3）如图3，正方形的边长为，点P为边上一点，于E，Q为中点，连接并延长交于点F，且，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $