精品解析：云南部分校2027届高三上学期月考（二）数学试题

数学（二）试卷 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，为线段上的点，满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数的极值点，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 3 5. 已知圆柱的高为16，底面直径为12，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则数列前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 8. 设，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5 B. 数据，，⋯，的方差是1，则，，⋯，的标准差是9 C. 在线性回归分析中，决定系数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 D. 若事件与互斥，且，，则 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其焦距为4，渐近线方程为，点在上，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 与有交点 D. 与无交点 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 是的极大值点 C. 当且仅当 D. 关于x的方程的解有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则________. 13. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 14. 如图，将绘有函数（，）部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，其二面角的大小为，此时与轴夹角的正弦值为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，平面ABCD，平面ABCD，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 16. 有一枚质地均匀的正方体骰子，其相对的两个面的点数相同，分别标有1点，2点，3点，现将这枚骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为． （1）求的值； （2）设随机变量，求的分布列与数学期望． 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若是边上一点，且，，求的值. 18. 已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 （1）求 （2）求直线的斜率的值； （3）是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 19. 已知函数，. （1）证明：； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，若，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二）试卷 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】命题“，”为全称命题， 其否定为“，”. 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数以及根式的性质化简集合，即可利用集合的交集和补集定义求解. 【详解】对于，由得，故，， 对于，由得，故， 则. 3. 如图，在平行四边形中，为的中点，为线段上的点，满足，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为在线段上,且,所以. 在平行四边形中,,,故. 又为的中点,所以. 于是. 4. 已知是函数的极值点，则实数（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，， 又是函数的极值点，故，解得. 当时，， 时函数单调递减，时，函数单调递增， 故时，是函数的极值点. 综上. 5. 已知圆柱的高为16，底面直径为12，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，球和圆柱的空间位置关系如图所示，设球的半径为，由题意可知，，则在直角中，，所以球的表面积.故选B. 6. 在数列中，，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则数列前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，可得，即， 则数列是以为首项，公差的等差数列， 故数列的前项和. 7. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以， 展开得， 整理得，所以. 8. 设，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由条件移项，可构造，利用其单调性比较；再对与的位置关系分类，把选项中条件不等式转化为函数值的大小关系进行证明. 【详解】由，得. 设，，则条件等价于. 因，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 对于A，B，当时，则由得；当时，由得 即由条件不能确定的大小关系，故A，B均不成立； 对于C，若，当时，则，故； 当时，可得，这与矛盾，不合题意； 当时，设，. 则， 所以在上单调递减. 又，故，即. 取，得.又，所以. 因为，，且在上单调递增，则，即，故C正确； 对于D，若，当时，可得，与矛盾，故； 当时，因，则；下面讨论的情形. 设，， 则，故在上单调递减. 又，所以当时，，即. 假设，则，由在上递增得， 这与矛盾，故，综上可得D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5 B. 数据，，⋯，的方差是1，则，，⋯，的标准差是9 C. 在线性回归分析中，决定系数用来刻画拟合的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 D. 若事件与互斥，且，，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A,因为，所以数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5，A正确； 对于B,数据，，…，的方差为1，故，，⋯，的方差为9，则标准差是3，B不正确； 对于C，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故C错误； 因为事件与互斥，且，，所以，D正确. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其焦距为4，渐近线方程为，点在上，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 与有交点 D. 与无交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由A选项可得，然后由双曲线定义可判断选项正误；对于C，将与双曲线方程联立可判断选项正误；对于D，将与联立可判断选项正误． 【详解】对于A，记的半焦距为，则离心率，故A正确； 对于B，，，，，故B正确； 对于C，，：，代入得，无解，故C错误； 对于D，由，即，与联立，得，这与矛盾，即两曲线无交点，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 是的极大值点 C. 当且仅当 D. 关于x的方程的解有6个 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用奇函数定义，将转化为代入已知的的解析式，推导得到时的表达式，和选项给出的式子对比判断；对B，先对时的求导得到区间的极值点，再利用奇函数关于原点对称的性质推出处的极值性质，据此判断；对C，由判断；对D，先求出的所有实根，令后对每个分析方程对应的实根的个数，求和得到总解数后和选项对比判断. 【详解】对于A：已知是上的奇函数，当时，，得：， 由奇函数性质，得：，A正确； 对于B：时，，求导得：， 由得，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 对于C：当时，等价于，解得​；但当时，， 满足，但，不符合"当且仅当​"，C错误； 对于D：因为是定义在上的奇函数，所以，是一个零点； 当时，，求导得， 可知在单调递减，在单调递增，因此时的最小值为； 又时，时，因此在有且只有1个零点， 设其为，结合选项可知； 由奇函数性质可知，时，必存在零点， 即共有3个零点：，，， 故等价于或或， 时，，小于的最大值，共3个解； 时，因为，大于的最小值，共3个解； 时共3个解； 综上，的解共有个，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可知,角的终边经过点,所以. 则. 13. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】函数的定义域为，即对任意恒成立；对分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】函数的定义域为，即对任意恒成立. 当时，不等式化为，显然不能对所有实数恒成立； 当时，需满足，解得， 故实数的取值范围为. 14. 如图，将绘有函数（，）部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，其二面角的大小为，此时与轴夹角的正弦值为，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题得函数的最小正周期. 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， 过点、点分别作、轴的平行线，交于点，连接，. 因为，则，，，. 所以四边形为矩形，则，，且， 即为与轴夹角，则. 因为，，所以即为二面角的平面角，则. 因为，平面，，所以平面. 又，所以平面. 又平面，所以. 在中，， ，. 在中，，，， 由余弦定理得，即，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图，平面ABCD，平面ABCD，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，，若两向量的数量积为零，则可得结论， （2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可 【小问1详解】 因为平面ABCD，平面， 所以， 因为， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设（），因为平面ABCD，，， 所以， 因为两两垂直，所以为平面的一个法向量， 因为， 所以，所以， 因为平面， 所以平面ADE； 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 16. 有一枚质地均匀的正方体骰子，其相对的两个面的点数相同，分别标有1点，2点，3点，现将这枚骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为． （1）求的值； （2）设随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）． （2） 2 3 4 5 6 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式、独立事件同时发生的概率公式求解即可； （2）求出所有可能值对应的概率，列出分布列，根据期望公式得解. 【小问1详解】 因为与相互独立，且每次掷出的点数出现的概率都相等， 所以， 因此，的值为． 【小问2详解】 随机变量取值的所有可能结果为：2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， 因此的分布列为： 2 3 4 5 6 ． 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若是边上一点，且，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）由正弦定理、两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系得解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得. ， 又，，. . ，即. ，，. ，. 【小问2详解】 设，因为，，所以， 所以， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得，因为， 所以， 所以， 所以. 18. 已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 （1）求 （2）求直线的斜率的值； （3）是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式直接求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，消去整理后，由，求的值； （3）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线的斜率，化简得的值. 【小问1详解】 解：由题知，在抛物线上， 所以，根据焦半径公式， 【小问2详解】 解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即，解得 【小问3详解】 解： 因为是轴上两个不同的动点，且满足， 所以直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为，与联立，消去x整理得， 所以，得，从而， 将换成，同理可得， 所以 19. 已知函数，. （1）证明：； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，若，，证明：. 【答案】（1），，则，， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则，则恒成立. （2）0 （3）注意到恒成立，，， 由得.由得， 整理得. 因为，所以，且， 由（2）知在上单调递增. 只需证明. 由于，上式等价于，即. 下面证明该式恒成立： 由（1）知不等式成立， 可得， 因此. 又单调递增，所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的最小值即可得证； （2）当时求函数的导数，利用导数求函数最小值即可； （3）由条件转化为证明，即证，再由（1）结论即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，，. 当时，. 令，则，所以在上单调递增. 又，所以当时，；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $