精品解析：云南文山州砚山县第一中学2026-2027学年上学期十月月考高三数学试卷

砚山县第一中学2026−2027学年秋季学期十月月考试卷 高三数学试卷 2026.10 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：集合，逻辑用语，不等式，初等函数，一元函数导数，解三角形，立体几何． 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断. 【详解】由题，故A错； ∵，，∴，B正确； ，C错； ，D错； 故选:B 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接求得答案. 【详解】由题意可知， 则, 故选：C. 3. 已知函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数所过的定点，将定点坐标代入，可求得，将化简，再代入，结合对数的运算即可求解. 【详解】由于对数函数的图像恒过定点，故有，解得，从而的坐标为. 由于也在上，得，解得，所以. 因为, 故. 故选：A. 4. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式证明充分性，取特殊值说明不满足必要性，即可求解. 【详解】当时，，则“”是“”的充分条件； 当，取，则，则“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的图象和性质求解即可. 【详解】幂函数，当时，在单调递增，故， 又指数函数，当时，在上单调递减，故，即， 又因为，所以， 故选：D 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【详解】的定义域为，排除D； 因为，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 7. 已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A，B，若线段的中点在直线上，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用为奇函数求得，联立，化简后写出根与系数关系，根据的中点的纵坐标求得，进而求得的值域. 【详解】因为为奇函数，所以，即，解得， 经检验为奇函数，定义域为，符合题意. 联立，消去得到关于y的二次方程， ， 设，，则， 因为的中点的纵坐标为，所以，解得. 所以，所以的值域为. 故选：B 8. 在中，的平分线交于点，，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等面积法得，进而结合基本不等式得，，当且仅当时等号成立，再结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】解：根据题意，设， 因为，，， 所以，即， 所以， 因为根据基本不等式有， 所以，，当且仅当时等号成立， 由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 所以周长的最小值为. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 不等式的解集是，对于系数a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集以及韦达定理即可求解. 【详解】不等式的解集是， 可得，且的两个根为， 韦达定理，所以，故B正确； 由，则，故C不正确； 二次函数开口向下，函数的零点为， 当时，，故A不正确； 当时，，故D正确； 故选：BD 10. 关于函数的叙述中，正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 是偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由三角恒等变换得到，由求出最小正周期；B选项，求出，得到B正确；C选项，代入，求出，故C错误；D选项，，由函数奇偶性定义得到D正确. 【详解】A选项， ， 则的最小正周期为，故A错误； B选项，当时，， 由于在上为增函数， 在区间内单调递增，故B正确； C选项，当时，，此时， 即的图象关于点对称，故C错误； D选项，， 令，则， 故是偶函数，故D正确. 故选：BD 11. 在一个面积为4的直角三角形的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边上，另外两个顶点分别落在，上，则（ ） A. 的最小值为 B. 边上的高的最大值为2 C. 正方形面积的最大值为2 D. 周长的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD；建立角A的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C作答. 【详解】在中，，，即有， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，斜边边上的高，当且仅当，即时取等号，B正确； 对于D，的周长， 当且仅当时取等号，D正确； 对于C，如图，正方形是符合题意的的内接正方形，令， 则，， ， 于是，令， 则在上单调递减， ，， 因为，则，即有，， 因此函数在上单调递减，则当，即时，，正方形的面积取得最大值，C错误. 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，，则的外接圆直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理的推论，即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得 (R为的外接圆半径)， 故 ， 即的外接圆直径为， 故答案为： 13. 已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出整体的范围，由没有零点得，解出的范围，再结合的取值，即可求解. 【详解】由可得，又在区间内没有零点，则， 解得，又，解得，又，所以或， 当时，；当时，；综上：的取值范围是. 故答案为：. 14. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，将所求不等式变形为，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，则， ，可得， 即，令，则， 令，其中且， ，则函数在上单调递增， 由可得，所以，，其中， ，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解本题的关键在于将所求不等式变形为，通过换元将不等式变形为，再通过构造函数的方法求出的取值范围，结合导数法可求得的取值范围. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间和最值； （Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，，最大值为，最小值为；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令可求单调递增区间，易得最大值和最小值； （Ⅱ）题目等价于，与有且仅有2个不同的交点，根据函数单调性即可得出. 【详解】（Ⅰ） ， 令，，解得，， 故的单调递增区间为，， 易得的最大值为，最小值为； （Ⅱ）函数在有且仅有两个零点， 函数，与有且仅有2个不同的交点， 由（1）可知当时，在单调递增，在单调递减， 又，所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，然后利用正弦函数的性质求解. 16. 锐角中满足，其中分别为内角的对边． （I）求角； （II）若，求的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【解析】 【分析】（I）由正弦定理边角互化并整理得，进而由余弦定理得； （II）正弦定理得，故，再根据三角恒等变换得，由于锐角中，，进而根据三角函数性质求得答案. 【详解】解：（I）由正弦定理得 所以，即， 所以， 因为锐角中，， 所以； （II）因为，，所以 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 17. 设函数且是定义域为的奇函数； （1）若，判断的单调性并求不等式的解集； （2）若，且，求在上的最小值． 【答案】（1）增函数，；（2）． 【解析】 【分析】（1）由，求得，得到，根据，求得，即可求得函数是增函数，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解； （2）由（1）和，求得，得到，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数且是定义域为的奇函数， 可得，从而得，即 当时，函数， 满足，所以， 由，可得且，解得，所以是增函数， 又由，可得， 所以，解得，即不等式的解集是． （2）由（1）知，， 因为，即，解得， 故， 令，则在上是增函数，故， 即， 此时函数的对称轴为，且开口向上， 所以当，函数取得最小值，最小值为， 即函数的最小值为． 18. 在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. （1）若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； （2）①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面为矩形，所以， 又平面,平面,所以. 平面，平面平面， 又因为，所以. （2）①证明：取的中点，连接, 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，，的中点， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； ② 【解析】 【分析】（1）因为，得到，结合线面平行的性质定理得到，通过平行的传递性证得；（2）①作，垂足为连接利用三垂线定理，即可证得；②利用二面角的定义，得到即为所求二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②在面内过点作的垂线，垂足为，连接， 因为底面为矩形，所以,由题意知平面， 由①知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为所求二面角的平面角． 因为平面，平面，所以， 因为侧面为等边三角形，，所以， 因为，，所以，所以， 同理得， 所以, 在等腰中， ， 在中，由余弦定理． 二面角的余弦值为. 19. 已知函数，. （1）当时，设，求证：； （2）若恰有两个零点，求的最小整数值. 【答案】（1） 当时，， 则， 因为， 所以， 所以，所以函数在上为增函数， 所以； （2）2. 【解析】 【分析】（1）当时，可得解析式，求导可得解析式，根据x的范围，分析可得的单调性，即可得的最大值，分析即可得证. （2）当时，，设，利用导数求得的最值，分析不符合题意；当时，设，利用导数求得，结合解析式，可得，不符合题意；当时，利用导数求得的单调性和最值，根据零点存在性定理，即可求得零点范围，综合即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，设， 因为，所以， 所以，所以函数无零点， 当时，设， 因为， 所以， 即， ， 所以函数无零点， 当时，， 设，， 所以函数在上为减函数， 又，， 所以在上存在零点，使， 当时，，当时，， 函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，， ， 所以函数在，各一个零点， 综上所述：当时，恰有两个零点，当时，， 所以时，是恰有两个零点的最小整数值. 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调性，极（最）值的方法，并灵活应用，求导后无法判断正负时，需再次求导，根据函数的值域，进行分析和判断，属难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 砚山县第一中学2026−2027学年秋季学期十月月考试卷 高三数学试卷 2026.10 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：集合，逻辑用语，不等式，初等函数，一元函数导数，解三角形，立体几何． 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A，B，若线段的中点在直线上，则的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，的平分线交于点，，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 不等式的解集是，对于系数a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数的叙述中，正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 是偶函数 11. 在一个面积为4的直角三角形的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边上，另外两个顶点分别落在，上，则（ ） A. 的最小值为 B. 边上的高的最大值为2 C. 正方形面积的最大值为2 D. 周长的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，，则的外接圆直径为______． 13. 已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是__________． 14. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （Ⅰ）求的单调递增区间和最值； （Ⅱ）若函数在有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 16. 锐角中满足，其中分别为内角的对边． （I）求角； （II）若，求的取值范围． 17. 设函数且是定义域为的奇函数； （1）若，判断的单调性并求不等式的解集； （2）若，且，求在上的最小值． 18. 在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，. （1）若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：； （2）①证明：； ②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值. 19. 已知函数，. （1）当时，设，求证：； （2）若恰有两个零点，求的最小整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $