精品解析：上海师范大学附属中学闵行分校2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试卷

2026学年第一学期上师闵行分校期中考试 高二数学试卷 考生注意： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1—6题每题4分，7—12题每题5分） 1. 已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 【答案】 平行 【解析】 【分析】利用面面平行的性质定理判断即可. 【详解】由，可得直线，， 又，则和没有公共点， 又，同在平面内，因此. 2. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据在空间直角坐标系中，点 关于平面对称的点坐标是求解即可． 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是． 故答案为：． 3. 体积为的球的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积求出球的半径，继而根据球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】设球的半径为R，则， 故球的表面积是. 故答案为：. 4. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 5. 如图，在四面体中，，且，，则=______（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，结合空间向量的运算，即可得到结果. 【详解】依题得， 。 故答案为：． 6. 已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据图形，比较线面角和线和平面内其他角的正弦值，即可求解. 【详解】如图，，，，过点作，垂足为点， 因为，，， 所以， 当点重合时，等号成立，所以，， 所以的最小值为 故答案为： 7. 已知向量，若向量、、共面，则实数等于__． 【答案】10 【解析】 【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案. 【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得． 所以，所以． 故答案为： 8. 如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为r，由题可得，可得，进而可求表面积. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，解得， 所以圆锥的表面积为 故答案为：. 9. 、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 10. 在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将正方体的侧面与平面展开到同一平面，的最小值就是点到直线的垂线段长度. 【详解】由题意知，是上的动点，平面，是上的动点，平面，要求的最小值，把平面和平面展成一个平面， 如图，当时，最小， 为等腰直角三角形，，其中， 则，，，则， 可得， 则， 故答案为：. 11. 图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由题知直角顶点到中位线的距离为，再结合纸张的厚度与二面角的平面角为的关系求解即可. 【详解】因为等腰直角三角形的直角边长为4cm， 所以斜边上的高为cm， 因为中位线平行于斜边， 所以直角顶点到中位线的距离为， 设边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角为， 则纸张的厚度为，即， 因为边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张， 所以，解得， 所以，所求二面角的平面角至少为. 12. 已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13—14题每题4分，15—16题每题5分） 13. 用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，借助于等腰直角三角形，求得，再根据在轴上即可求得其长. 【详解】在斜坐标系中，因，，且， 则， 因在轴上，故在轴上，且. 故选：D. 14. 在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用异面直线的判定及公理的应用判定选项即可. 【详解】选项A中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项B中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项C中，平面内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面， 则a与b有可能平行； 选项D中，平面内的两直线异面，则a与b异面． 故选：C． 15. 如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（ ） A. 为定值，为定值 B. 为定值，不为定值 C. 不为定值，为定值 D. 不为定值，不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】判断周长和面积是否为定值，先判断截面各边之间的数量关系和位置关系，将立体问题平面化求解即可. 【详解】如图所示， 连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 同理连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 又平面平面，平面平面 从而可得，同理可得，又，所以， 同理可得，， 将截面各边展开如图： 由平行关系知，的周长等于为定值； 由平行关系知，的形状为六边形，各边夹角为，且相邻两边之和为， 设，则，则的面积， 从而可知是关于的二次函数，不为定值. 16. 如图，在四棱台中，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值. 【详解】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图所示，在正方体中，、分别是、的中点． （1）求证：、、三线共点； （2）求异面直线和所成角的大小． 【答案】（1）延长、，交于点， 因为，平面，所以平面， 因为为中点，，所以是的中点， 连接，因为，所以的交点为线段的中点，即点， 所以三线共点于. （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本事实3求解； （2）取的中点，连接，，由是的中点得到，则（或其补角）就是异面直线与所成的角，利用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设正方体的棱长为， ， 取的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 则（或其补角）就是异面直线与所成的角，设其角为， 在中，，， ， ， ， ， 则异面直线与所成的角. 18. 如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点. （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理，即可可证； （2）由已知可推得即为二面角的平面角，即，进而求出，在中得出，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，所以在平面上的投影为， 所以直线CA与平面ABM所成角， 由二面角的大小为，，故， 由，则，，， 由平面，则，故. 所以直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 19. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，， 点是劣弧上的一点， 平面平面， 且. （1）证明：. （2）当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离. 【答案】（1） 如图，由已知平面平面， 且， 因平面，平面， 则直线平面， 又平面，且平面平面， 则， 又，所以， 即为等腰直角三角形， 即， 又由圆锥性质可得平面，因平面，则， 因，且，平面， 故平面， 又平面，故； （2） 【解析】 【分析】（1）根据可证平面，进而可证，可得为等腰直角三角形，可证，结合可证平面即得； （2）取中点，可证得，求出的长度，继而求得的面积，利用等体积法可得点到平面距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知圆的直径长为，则， 由（1）得，， 由三棱锥的体积，解得， 如图，取中点，连接，，则，因平面， 因平面，则，因平面， 则平面， 又平面，故. 因，， 所以，设点到平面的距离为， 由，解得. 即点到平面的距离为. 20. 已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. （1）证明： ； （2）若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； （3）若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 【答案】（1） 取中点，连结、， 由四边形为菱形可知，，， 又平面， 平面，又因为平面，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合正弦函数的定义进行求解即可； （3）根据二面角的定义，结合线面垂直的判定定理和余弦函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为菱形的面积为， 得，，， 又因为二面角的平面角为，且大小为， 所以， 故点到平面的距离为； 【小问3详解】 取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接， ，，同理， ∵，平面，所以平面， 故点的轨迹长度即为的周长. 由于，，， 且二面角的大小平面角， ∵，∴，， 则，，所以点的轨迹长度的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定定理和二面角的定义. 21. 如图，在平行六面体中，，，平面，与底面所成角为，设直线与平面､平面､平面所成角的大小分别为，，. （1）若，求平行六面体的体积的取值范围； （2）若且，求，，中的最大值； （3）若，，，，（其中，是指，中的最大的数），求的最小值. 【答案】（1） （2），，中最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的长和四边形的面积，再利用棱柱的体积公式表达出行六面体的体积，结合三角函数的性质即可求出结果. （2）由题意可证得平面，进而求出，，以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出，从而判断出，，中的最大值. （3）易证平面，进而求出，，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出，再利用作差法比较三者的大小，得到函数，从而求出其最小值. 【小问1详解】 由题意得，四边形的面积为 平行六面体的体积， 平行六面体的体积的取值范围为. 【小问2详解】 ，，即， 又平面，， 平面， ，， 由题意得，，，，， ，， 以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，0，，，2， ，2，，，0，，，2，， 设侧面的法向量，，， ，取得， 侧面的法向量，0，， ， 直线与侧面所成角的大小为， 综上，，，中最大值为. 【小问3详解】 ，即， 又平面，， 平面， ，， ，，， 以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，0，，，2， ，2，，，0，，，2，， 设侧面的法向量，，， ，令得， 侧面的法向量，0，， ，. ， 与所在的直线的夹角为， ，，， 令，，则，，， ，， ，， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期上师闵行分校期中考试 高二数学试卷 考生注意： 1．试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1—6题每题4分，7—12题每题5分） 1. 已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 2. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为__________ 3. 体积为的球的表面积是________． 4. 空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 5. 如图，在四面体中，，且，，则=______（用表示） 6. 已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为________. 7. 已知向量，若向量、、共面，则实数等于__． 8. 如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为______. 9. 、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 10. 在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，的最小值为_________． 11. 图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为______．（结果精确到） 12. 已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13—14题每题4分，15—16题每题5分） 13. 用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 14. 在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（ ） A. 为定值，为定值 B. 为定值，不为定值 C. 不为定值，为定值 D. 不为定值，不为定值 16. 如图，在四棱台中，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图所示，在正方体中，、分别是、的中点． （1）求证：、、三线共点； （2）求异面直线和所成角的大小． 18. 如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点. （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 19. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的直径长为，点是圆上一点，， 点是劣弧上的一点， 平面平面， 且. （1）证明：. （2）当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离. 20. 已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置. （1）证明： ； （2）若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离； （3）若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围 21. 如图，在平行六面体中，，，平面，与底面所成角为，设直线与平面､平面､平面所成角的大小分别为，，. （1）若，求平行六面体的体积的取值范围； （2）若且，求，，中的最大值； （3）若，，，，（其中，是指，中的最大的数），求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $