精品解析：甘肃省漳县第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

甘肃省漳县第一中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章～第2章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，直线，若“”，则（ ） A. 3或 B. 3 C. D. 4. 记为等差数列的前n项和，若则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 若实数满足等式，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等比数列，若，且与之和的算术平方根为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项数列的前项和为，且，则（ ） A. 4045 B. 4042 C. 4041 D. 4040 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，错误的有（    ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10. 已知等差数列的前项和为，公差为且，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 是数列中的最小项 C. 和是中的最小项 D. 满足的n的最大值为 11. 已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若，则的面积为 C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为______. 13. 在各项均为正数的等比数列中，，则___________. 14. 设为坐标原点，，若上存在点，使得，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知三角形三顶点，求： （1）直线关于轴对称的直线的一般式方程； （2）边上的高所在直线的一般式方程． 16. 若数列的前n项和满足． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，求的值． 18. 已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 19. 在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和; （3）在（2）的条件下，当最小时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省漳县第一中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章～第2章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的标准方程可得出结论. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D. 2. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列方程，可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得. 故选：B. 3. 已知直线，直线，若“”，则（ ） A. 3或 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行得到求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线，直线且， 所以，解得或， 当时直线，直线，此时与重合，不符合题意； 当时直线，直线，满足； 综上可得. 故选：D 4. 记为等差数列的前n项和，若则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 5. 若实数满足等式，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，从而得到，求出圆心坐标与半径，依题意可得直线与圆有交点，根据点到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可. 【详解】设，则，即， 又表示以为圆心，半径的圆， 依题意可得，解得，所以的最大值为. 故选：D 6. 已知为等比数列，若，且与之和的算术平方根为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用等比数列的公式性质，结合算术平方根的概念可解. 【详解】为等比数列，若，则，则. 又与之和的算术平方根为5，得到，则，则. 则，则.， . 故选：A. 7. 直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设与的交点坐标为，与的交点坐标为， ，即，， 由中点坐标公式得，， 即，解得，所以，， 则直线的方程为，即. 故选：C 8. 已知正项数列的前项和为，且，则（ ） A. 4045 B. 4042 C. 4041 D. 4040 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系可得，当时，，进而得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，可得，进而求解即可. 【详解】当时，，解得：. 当时，， 则， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 则， 则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，错误的有（    ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B中：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B正确； 对于C中：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误； 对于D中：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误. 故选：ACD 10. 已知等差数列的前项和为，公差为且，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 是数列中的最小项 C. 和是中的最小项 D. 满足的n的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设利用等差数列的性质可得，进而可得，即可判断出选项A、B和C的正误；选项D，利用等差数列的前和公式，得到，再结合选项条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，得到，即， 因为，所以，故数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B，由选项A知数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项B错误： 对于选项C，因为，所以当或时，取最小值，所以选项C正确； 对于选项D，由，可得， 又因为，所以满足的n的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AC． 11. 已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若，则的面积为 C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，直线变形后求出所过定点； B选项，求出，进而由直线垂直关系得到，得到，从而求出到的距离和，求出面积； C选项，求出到的距离的最大值，从而由垂径定理得到的最小值； D选项，表达出面积为，利用基本不等式求出最大值. 【详解】A选项，直线变形为， 所以直线过定点，A选项正确； B选项，易知道，若直线，则，解得， 此时直线， 到的距离，则， 故的面积为，B选项正确； C选项，由A选项知，直线过定点， 所以到的距离的最大值为， 由于，故此时取得最小值， 最小值为，C选项错误； D选项，设到的距离为， 则面积为， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论截距为和不为即可. 【详解】若直线经过原点，则方程为； 若直线不经过原点，设方程为， 故，得，所以方程为. 故答案为：或. 13. 在各项均为正数的等比数列中，，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可. 【详解】因为数列为等比数列，所以， 又，所以， 所以， 故答案为：4. 14. 设为坐标原点，，若上存在点，使得，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点距离公式先求得P轨迹方程，结合圆的位置关系计算即可. 【详解】设点，由，可知， 整理可得点的轨迹方程为， 即与存在交点， 易知，圆心距为， 因此，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知三角形三顶点，求： （1）直线关于轴对称的直线的一般式方程； （2）边上的高所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点关于轴对称的点，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. （2）根据垂直和直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【小问1详解】 ，点关于轴对称的点分别为， 则，整理得， 所以直线关于轴对称的直线的一般式方程为. 【小问2详解】 直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即. 16. 若数列的前n项和满足． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求得数列的通项公式，结合等差数列的定义证明即可； （2）首先，其次根据等比数列求和公式以及错位相减法求和即可. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得， 时，符合此式， ， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列； 【小问2详解】 由（1）知， ， 则， 于是， 两式相减得， 所以． 17. 已知数列满足：，，数列是以4为公差的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件求数列的通项，再用累加法求数列的通项公式； （2）由数列的通项，利用裂项相消法求前n项和为. 【小问1详解】 根据题意可得， 则 ； 又符合上式，所以； 【小问2详解】 ∵， ∴. 18. 已知与直线. （1）若，判断直线与位置关系； （2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值. 【答案】（1）直线与相交 （2）3 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，与半径比较可得； （2）设，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，由求得值，注意判别式大于0． 【小问1详解】 当时，可化为：， 表示圆心为，半径的圆，设到的距离为，则， 直线与相交. 【小问2详解】 设，由， 直线与坐标轴的交点为，，这两点不可能同时在圆上，因此斜率都存在，所以，即， 由消元，得. 经检验时，. 19. 在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和; （3）在（2）的条件下，当最小时，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的概念，建立方程组，求得公比与首项，可得答案； （2）根据对数的运算律，可得数列的通项公式，结合等差数列的概念，可得答案； （3）整理新数列的通项公式，找出该数列小于零、等于零以及大于零的部分，可得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 化简可得，整理可得， 由，则，由方程解得， 由，则. 由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则. 【小问2详解】 由，则，， 由数列是以为首项，以为公差的等差数列，则. 【小问3详解】 由（2）得：，所以， 因为当时，；当时，；当时，. 则当或时，最小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $