精品解析：甘肃庆阳市环县第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026~2027学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为，即可得斜率. 【详解】因为直线方程为，即， 所以直线的斜率为． 故选：B． 2. 数列，，，，的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列各项的特点进行求解即可. 【详解】因为该数列各项的绝对值是连续的正奇数，且各项正负交替出现， 所以该数列的通项公式可能是. 3. 已知，，三点共线，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】因为三点共线， 所以 所以. 4. 已知，，，且，，，，是等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，，，，是等比数列，设其公比为，则，得. ∴. 5. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可通过设等差数列首项与公差列方程组求解基本量，再计算前6项和，也可利用等差数列前项和的性质快速计算. 【详解】方法一：基本量法 设等差数列的首项为，公差为，则前项和公式为（）, 因为，， 所以 ，解得，， 所以. 方法二：性质法 由等差数列前项和的性质可知：成等差数列， 所以，， 因为， 所以，解得. 6. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 7. 若等差数列的前项和为，且，，对任意的正整数，都有，则正整数的值为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以； ，即， 所以， 所以数列是单调增的数列，且， 所以， 即是数列中绝对值最小的一项，所以. 8. 已知点为直线上一点，则的最小值是（ ） A. B. 7 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则解得故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】依次计算出数列的前几项，得出数列的周期，从而得到正确选项. 【详解】由题意，得，所以， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 10. 已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 11. 某公司2025年的营业收入为2.5亿元，净利润为0.5亿元．预测显示：在2025年至2034年这十年内，该公司每年的营业收入都比上年增加0.5亿元，净利润都是上年的115%，则（ ）（参考数据：，，） A. 2030年的营业收入为5亿元 B. 2034年的净利润超过当年营业收入的27% C. 2025年至2034年这十年的营业收入总和为52.5亿元 D. 2025年至2034年这十年的净利润总和约为10.17亿元 【答案】AD 【解析】 【详解】设2025年为第一年（），营业收入成等差数列， 首项，公差，， 净利润成等比数列，首项，公比，. A：2030年是第6年，即，，2030年的营业收入为5亿元，正确. B：2034年是第10年，即，则，， 2034年的净利润是1.76亿元，当年营业收入7亿元， ，，未超过27%，错误. C: ，十年营收总和是47.5亿元， ，错误. D: ，2025年至2034年这十年的净利润总和约为10.17亿元，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和，则______. 【答案】－3750 【解析】 【分析】首先根据题设条件，利用，即可求得的值. 【详解】数列的前n项和， . 故答案为：－3750. 13. 已知圆与圆外切，则______________. 【答案】13 【解析】 【详解】圆，是以为圆心，2为半径的圆， 圆，是以为圆心，为半径的圆（）， 因为两圆外切，所以两圆心之间的距离，解得. 14. 已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线BC的斜率，从而设过点且与BC垂直的直线方程，将代入，求出答案； （2）求出直线AB的斜率和倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 ，故与垂直的直线的斜率为1，故设过点且与BC垂直的直线方程为， 将代入可得，解得， 所以过点且与BC垂直的直线方程为； 【小问2详解】 ，故直线AB的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 故过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程为，即. 16. 已知数列是等差数列，，． （1）求的通项公式； （2）记的前n项和为，求满足等式的n的值． 【答案】（1）() （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为． 由得 ，即． 代入，得，解得． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，所以. 由得， 即，整理得， 即，解得或． 又，所以不合题意，舍去，故． 17. 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点在内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） 直线的方程可变形为， 令，则，所以直线过定点， 因为，所以点在内部； （2）. 【解析】 【分析】（1）令求得直线过定点，代入圆的方程判断点与圆位置关系； （2）利用和圆的半径，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出，即可得到直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的方程可化为，所以的圆心为，半径. 因为，所以圆心到直线的距离， 即，解得，所以直线的方程为. 18. 已知公比为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的通项公式及前项和公式求出首项与公比即可求出通项公式，利用累乘法求出的通项公式； （2）根据错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，得，又，所以，解得或（舍去）． 又，则，解得， 所以． 由，得， 所以；，，， 以上各式相乘，得， 又，所以，且满足上式，所以． 【小问2详解】 由（1），得， 所以， ， 两式相减，得， 所以， 即． 19. 如图，已知圆，圆，点为上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）当点的坐标为时， （ⅰ）判断，，，四点是否共圆，若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，说明理由； （ⅱ）求直线的方程； （2）当在圆上运动时，求四边形面积的最大值与最小值. 【答案】（1）(i)存在，方程为； (ii)方程为. （2）四边形面积的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)（ⅰ）切线性质得到直角，利用直径所对圆周角为直角判定四点共圆，再求出中点与长度，写出圆的方程；（ⅰ）为两圆的公共弦，将两个圆的方程相减消去二次项，得到公共弦的直线方程； (2)把四边形拆分为两个全等直角三角形，得到面积表达式，结合圆上动点到定点距离的取值范围，再利用函数单调性求出面积的最大值与最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）圆，圆心半径， 圆，圆心，半径， 四点共圆， 因为是圆的切线，所以，， 即， 所以在以线段为直径的圆上，故四点共圆， 已知， 的中点坐标为， ，该圆半径为， 所以该圆的方程为； （ⅱ）由已知圆与圆相交， 圆，展开得， 圆，展开得， 两式相减，消去二次项：， 整理得，所以直线的方程为. 【小问2详解】 因为为圆的切线，，，， 四边形的面积, 由勾股定理得， 所以， ， 点在圆上，由圆上点到定点距离的范围：， 即， 函数在时单调递增， 当时， ， 当时， ， 综上，四边形面积的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第1章~第2章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 数列，，，，的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，三点共线，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，，，且，，，，是等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若等差数列的前项和为，且，，对任意的正整数，都有，则正整数的值为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2027 8. 已知点为直线上一点，则的最小值是（ ） A. B. 7 C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 某公司2025年的营业收入为2.5亿元，净利润为0.5亿元．预测显示：在2025年至2034年这十年内，该公司每年的营业收入都比上年增加0.5亿元，净利润都是上年的115%，则（ ）（参考数据：，，） A. 2030年的营业收入为5亿元 B. 2034年的净利润超过当年营业收入的27% C. 2025年至2034年这十年的营业收入总和为52.5亿元 D. 2025年至2034年这十年的净利润总和约为10.17亿元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列的前n项和，则______. 13. 已知圆与圆外切，则______________. 14. 已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 16. 已知数列是等差数列，，． （1）求的通项公式； （2）记的前n项和为，求满足等式的n的值． 17. 已知直线和. （1）求证：直线过定点，且此定点在内； （2）若直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程. 18. 已知公比为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19. 如图，已知圆，圆，点为上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）当点的坐标为时， （ⅰ）判断，，，四点是否共圆，若共圆，求出该圆的方程；若不共圆，说明理由； （ⅱ）求直线的方程； （2）当在圆上运动时，求四边形面积的最大值与最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $