北京师范大学附属中学2026-2027学年第一学期高三数学统练三试题

高三上学期数学统练三答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） D B C A A C D A D B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． （11） （12）， （13）（答案不唯一，第四象限角即可） （14），； （15）②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（1）由题意得， 所以的最小正周期， ，得． 所以的单调递增区间为； （2）由题意得， 由为偶函数可知，解得， 又因为，所以， 从而， 当时，， 所以当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值． 17．解（1）因为， 所以． 由正弦定理得． 又，，所以． 又，所以． （2）选条件①： 根据余弦定理有，则． 又，则． 两式相减，解得．可得或． 所以． 选条件②： 由（1）知，则 ， 所以，不符合题意； 选条件③： 因为且，所以． 由正弦定理可知． 又． 所以． 18．解：（1）记事件为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”， 则估计． （2）记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型”， 根据题中数据，． 的可能取值为， ， ， ． ． 的分布列为 0 1 2 3 ． （3）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120， 则易求， ，故． 19．解：（1）当时，，所以． 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即． （2）依题意，． 当时，由（1）可知，， 所以在上单调递减，无极值． 当时，． （i）当时． ，所以在上单调递减，无极值． （ii）时． 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减． 所以时，取极大值，无极小值． 综上，当时，无极值； 当时有极大值，无极小值． 20．解：（1）由题， 当时，，则在上递增； 当时，令，则， 若，则，在上递减； 若，则，在上递增， 综上，当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递减区间为，递增区间为； （2）因为， 当时，在上恒成立， 故在上递增， 则，满足要求； 当时，因为在上递减，在上递增， 而，要使恒成立， 所以，， 令，， 则，即递减， 所以，即， 故在上不成立， 综上，，即的取值范围是； （3）证明：由（2）知：当时，在恒有，故不可能有零点； 当时，在上递减，在上递增，且， 所以在上，无零点，即， 且趋向于正无穷时趋向正无穷， 所以在上存在唯一，使， 要证，只需在上恒成立即可， 令，若，则， 令，则，即在上递增， 故， 所以，即在上递增， 故， 所以在上恒成立， 即，得证． 21．解：（1）根据数列的定义可知：， 则，，，； 根据数列的定义可知：， 则，，，． （2）（i）假设结论不成立，不妨设为满足且使得取最小的某个整数． 由，可知，因为，是奇数， 从而，，且，这与最小性矛盾， 所以对于任意的，． （ii）假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数． 由（i）中所定义出的构成数列， 首先证明满足对任意的，有． 若，则，从而； 若，则． 分三种情况讨论 ①若，则，故； ②若，则，故； ③若，则． 又因为为奇数，所以也为奇数，从而有； 综上所述，对任意的，有． 又根据（i）的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有； 由于当时，总有，于是，数列中存在无穷多项小于， 从而，可取某个，使得． 由前面的证明可知只有当且时， 才可使得及同时成立，所以． 又因为对任意的，有，所以对任意，有， 进而对任意，均为2的次幂． 由，依次得，，，， 因此也为2的次幂．显然，只有当时才成立． 因此，只能为2． 对，若，则数列的各项为，满足要求． 当时，数列的各项为，也符合题意． 若，则，，不满足要求． 综上，，且此时的全部可能取值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属中学2026—2027学年第一学期 高三数学统练三 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知全集，集合，则 （A） （B） （C） （D） （2）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为 （A） （B） （C） （D） （4）函数的图象的一个对称中心是 （A） （B） （C） （D） （5）“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知圆，过点的直线与圆交于，两点．当取最小值时，直线的方程为 （A） （B） （C） （D） （7）若函数，恰有两个零点，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （8）如图，已知点，分别是椭圆的左、右焦点，现以点为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） （9）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法．现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为 （A） （B） （C） （D） （10）设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是4． 其中所有正确结论的序号是 （A）① （B）①③ （C）②③ （D）①②③ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）在的展开式中，的系数为________． （12）双曲线的渐近线方程是________；设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则________． （13）使不等式成立的一个的值是________． （14）已知点为所在平面内一点，满足，且，，，设为向量，的夹角，则________；________． （15）已知曲线，下列结论正确的是________． ①曲线关于直线对称 ②曲线上恰好有4个整点（即横，纵坐标均是整数的点） ③曲线上存在一点，使得到点的距离小于1 ④曲线所围成区域的面积大于4 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）设是由向右平移个单位得到的新函数，其中，且为偶函数，求在区间上的最大值和最小值． （17）（本小题14分） 在中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合条件的条件分别解答，按第一个解答计分． （18）（本小题14分） 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、、四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、、的大模型人次如下： 大模型种类 A B C D 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． （Ⅰ）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种大模型（、、、中）的概率； （Ⅱ）从该地区使用3种大模型（、、、中）的教师中，随机选出3人，记使用的有人，求的分布列及其数学期望； （Ⅲ）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、、中）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小．（结论不要求证明） （19）（本小题14分） 已知函数，其中是常数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求的极值． （20）（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）讨论的单调区间； （Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）若在区间上存在唯一零点，证明：． （21）（本小题15分） 已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；②． （Ⅰ）已知和分别为数列和数列，且，，求和； （Ⅱ）已知正整数数列是数列． （i）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，； （ii）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值． 学科网（北京）股份有限公司 $