北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高三上学期统练三数学试题

2026北京北师大实验中学高三(上)统练三 数 学 2026.9.18 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.函数=晋的定义域为 A.{xIx≥1且x≠2}B.{xlx>1} C.{x1x>1且x≠2}D.{xIx>2 2.函数f(x)=xex的最小值是 A.e B.-eC.e-1D.-e-1 3.己知函数f()=x-sinx,则曲线y=f()在点(任,f()处的切线方程为 A.x-y+ -1=0B.x+y+ -1=0 C.x-y-1=0D.x+y-1=0 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则函数f(x) A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4上是减函数 5.在 ABC中,若A=石,AB=4,BC=a,且满足该条件的 ABC有两个,则a的取值范围是 A.(0,2)B.(2,2V3 )C.(2,4D.(23,4) 6在 ABC中,若A=号则"sinB<竖是" ABC是钝角三角形的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C充要条件D.既不充分也不必要条件 7.将函数y=sin(2x+p)的图象向右平移a个单位所得函数图象关于原点对称,向左平移a个单位所得函数 图象关于y轴对称,其中0≤9≤,a>0,则p= AgB号C晋D 8.设f'(x)是奇函数f(x)(xER)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立 的x的取值范围是 A.(-∞,-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+∞) C.(-∞,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+∞) 9.不等式x+3引-|x-1≤a2-3a对Vx∈R恒成立,则实数a的取值范围为 A.(-∞,-1]U[4,+∞)B.(-∞,-2]U[5,+∞) C.[1,2]D.(-∞,1]U[2,+∞) 10.设函数f(x)=ln2x+1-n2x-1,则f(x)() 第1页/共2页 A.是偶函数,且在(G,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在()单调递减 C是偶函数, 且在(-∞,-)单调递增 D.是奇函数,且在(-∞,-)单调递减 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.计算:(2) +22 (2)-0.01 31-15= 12.己知y=f(x)是定义在R上的周期函数,且周期是5。 若f(x)= x0Kx≤ -5≤x≤0 ,则f(1)=一,f(202刀=—。 X, 2 13.曲线y=e*在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 14.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积是 15.己知函数f(x)=x2-2x+2t,g(x)=ex-t.给出下列四个结论: ①当t=0时,函数y=f(x)g(x)有最小值: ②∀t∈R,使得函数y=f(x)g(x)在区间[1,+o)上单调递增: ③Vt∈R,函数y=f(x)+g(x)有最小值: ④t∈R,使得方程f(x)+g(x)=0有两个根且两根之和小于2.其中,所有正确结论的序号是」 三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16在 ABC中,acosB+b=c (1)求A的大小: (2)从条件(1)、条件(2)、条件(3)这三个条件中选择一个作为已知,使得 ABC存在且唯一确定, 求BC边上高线的长。 条件①:a=2,c=2V3; 条件②:c0sB=3y西,b=-V2i 14 条件③:b=3,c=V3. l7.己知函数f(x)=alnx+xex-e,其中a∈R. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程: (2)当a>0时,判断f(x)的零点个数,并加以证明: (3)当a<0时,证明:存在实数m,使f(x)≥m恒成立. 四、附加题 18.(1)讨论函数f()-号e*的单调性和极值: x+2 (2)证明:当a∈[0,1)时,函数g()=(x>0)有最小值,且最小值不超过号 第2页/共2页 北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习参考答案(三) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 题号1 2 3 6 9 10 答案C D B C A D A A D 1a分折1由/)=2x+-2x-得/心)定义域为4x 号分 关于坐标 原点对称, f(-x)=In1-2x-In-2x-1=In 2x-1-In 2x+1=-f(x) ∴∫(x)为定义域上的奇函数,可排除AC; 当xe分时./=h2x+-h0-2 y=h(2x+)在 分》上单调隧模y=h0-2x)在(2) 单调递减, 》 上单调递增,排除B; 当x(。引f网-h(-2x-a0-2)=h+2 “H=1+品在(。》上单避流了儿)=n私在定义该内草造省 根据复合函数单调性可知:了()在。》上单调递减。D正确 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分: 7 15 12.-;-2 13.(V22) 15.①3④ 注:I2题第1空2分,第2空3分 提示: 15.对于选项(1): 当1=0时.y=f(x)g(x)=(x2-2x)e.则y=(x2-2)e。 由y<0可得-√2<x<√2,由y>0可得x<-√2或x>√2, 此时.函数y=(x2-2x)e*的增区间为(o,-V2),(N5,+∞),减区间为-V2,V2) 当x<0或x>2时,y=(x2-2x)e>0,当0<x<2时.y=(x2-2x)e<0. 故函数y=(x2-2x)e在x=√2处取得最小值,故选项(1)正确; 对于选项(2): y=(2x-2(e-)+(x-2x+2)e*=(x2-2e+2(e-x+ 令h(x)=e-x+l,其中xl,则h'(x)=e-1>0. 所以函数h(x)在[L,+o)上单调递增,所以h(x)=e-x+l>h(I)=e>0. 则x-e'≤1-e<0。 由V=(-2列e+24(e-x+小20可得202-e e'-x+1 构造高数p0)=2-r)e.其中心L, e*-x+1 则p-4+4-2e-4+2) (e'-x+1) (e"-x+1) 令g0x)=2-4+4-28.其中1,则g(x)=2x-e)是<0。 所以函数q(x)在[L,+∞)上单调递减, 故当x≥1时,g(x)≤g(1)=1-2e<0,则p'(x)<0,即p(x)在[1,+o)上单调递减. p(x)mx=p()=1,则2心L,解得≥2故选项(2)不正确: 对于选项(3): y=f(x)+g(x)=x2-2x+e*+t,y'=2x-2+e, 因为函数y'=2x-2+e在R上单调递增 又因为y1。=-1<0,y1=e>0,所以存在x∈(0,1),使得y=0. 当x<x时,y<0,此时函数y=x2-2x+e+t单调递减 当x>x,时,y>0,此时函数y=x2-2x+e+t单调递增, 所以对任意的实数t,函数y=x2-2x+e+t有最小值,故选项(3)正确: 对于选项(4): 令u(x)=x2-2x+e+1,不妨令u(0)=1+t=0,即取t=-1. 由(3)可知,函数u(x)=x2-2x+e+1在(-o,x)上单调递减,在(x,+∞)上单调 递增, 因为x,∈(0,1).则u(x)<u(0)=0,u(2)=e2-1<0. 所以存在x∈(x,2),使得u(x)=0, 此时函数u(x)的零点之和为x+0=x<2,故选项(4)正确。 三、解答题:本大题共2小题,共25分. 16.解:(1)在 ABC中, 因为acosB+ 3b=c. 6 所以由正弦定理可得sinAcos+V _sinB=sinC 1分 因为A+B+C= ,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cos/sinB 厅以号sinB=cos isin 3分 在 ABC中,sinB≠0, 所以os4=5,所以A= 5分 6 (2)选择条件(2): 6分 因为在aABC中,c0sB=3W2 14 所以sinB=V-cosB=V万 7分 14 因为A+B+C= , 所以sinC=sin(4+BA)=sin4cosB+cos4sinB=x3V2+5x7=VZ.9分 2142147 设BC边上高线的长为h, 则h=bsinC=21xV21=3. 10分 7 选择条件(1): ABC不唯一。 选择条件(3): 6分 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc04=9+3-2x3x5cos严=3. 6 所以a=√, 7分 所以 ABC为等腰三角形,C=A= 8分 6 设BC边上高线的长为h, 则 h=bsinC=3x1=3 10分 22 17.解:解:(1)当a=0时,f(x)=xe-e, 所以f'(x)=(1+x)e 2分 所以f()=0,f'(1)=2e。 4分 所以曲线y=f(x)在点(1,∫(1)处的切线方程为y=2x-2e.5分 (2)∫(x)有且只有一个零点, 6分 证明如下: 7 f(x)的定义域为(0,+o),且∫(x)=(1+x)c+a。 7分 因为a>0,所以∫'(x)=((1+x)e'+a>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增。9分 又因为∫(I)=0,所以∫(x)有且只有一个零点x=1 10分 (3)当a<0时.了(x)=(+x)c+a-+xe'+a 11分 设g(x)=x(1+x)e+a,则g(x)=(x2+3x+1)e">0 12分 所以函数g(x)在(0,+o)上单调递增。 因为8(0)=a<0,8(-a)=a1-(1-a)e]>0. 13分 所以存在x。∈(0,-a),使得g(x)=0。 当x变化时,∫(x)与'(x)的变化情况如下表: (0,xo) (xo,+oo) f'(x) 0 (x) 极小值 14分 所以xe(0,+o),f(x)f(x)。 取m≤f(x).则对于任意的x∈(0,+o).都有∫(x)≥m成立。 15分 四附加题 18.(1)∫(x)的定义域为(-0,-2)U(-2,+∞) f(x)-(x-DY(x+2)e-(x-2)e'x'e' (x+2)2 20, (x+2)2 2分 且仅当x=0时.'(x)=0,所以∫(x)在(-o,-2),(-2,+o)单调递增,4分 由∫(x)的单调性和定义域可知∫(x)无极值 5分 (")gx=x-2e+ax+2-x+2 (f(x)+a), 7分 由(1)知,f(x)+a单调递增,对任意 a∈[0,l),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥20, 8分 因此,存在唯-x∈(0,2],使得∫(x)+a=0,即g'(x)=0, 9分 当0<x<x时,f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>x时,f(x)+a>0,g(x)>0,g(x)单调递增 10分 因此g(x)在x=x处取得最小值,最小值为 8 gk)=e-a,+_ef,,+0_e x02 12分 x0+2 由(ey=Gc+)e 单调递增 x+2 (x+2列>0,知y=e 13分 x+2 所以,由x。∈(0,2],得y≤ e2e2 14分 2+241 综上,当a∈[0,I)时,g(x)有最小值,且最小值不超过 e 15分 9