精品解析：北京市中国人民大学附属中学2026-2027学年度高三年级第一学期数学统练三

人大附中2026—2027学年度高三年级第一学期统练三 一．单选题（4×10＝40） 1. 已知集合，，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 7 B. 13 C. 18 D. 63 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，且，点在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点．若经过的圆弧的长为，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程（且）有实数解，则的值不可以为（ ） A. B. C. D. 7. 设无穷等比数列的首项，公比，其前项积为．则“”是“有最大值”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 形如（是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 9. 在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为、，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列中各项均为正数，且（，，，…），给出下列四个结论： ①对任意的，都有； ②数列可能为常数列； ③若，则当时，； ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（5×5＝25） 11. 函数的定义域为__________． 12. 若，且，则的值为______． 13. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，则________．若为锐角三角形，则的取值范围为________． 14. 已知在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为________． 15. 已知，其中，给出下列个结论： ①在上既有最大值又有最小值； ②与至少有个公共点； ③使得恰有个零点； ④时，方程有个不同的实根 其中正确结论的序号是________． 三．解答题 16. 已知函数（，）的最小正周期为，且的图象经过点________． 从下列三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一确定． ①；②；③． （1）求的解析式； （2）若在区间和上均有零点，求的取值范围. 17. 已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若，，求的取值范围． 19. 某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) （1）求的面积； （2）求点之间的距离. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求在上极值点个数； （3）设函数，是否存在、，使得？若存在，求的所有可能取值；若不存在，请说明理由． 21. 对于无穷数列，记，，称是的“收缩数列”．其中，，分别表示，，…，中的最大数和最小数． （1）若，直接写出的前4项； （2）证明：的“收缩数列”仍是； （3）记的前n项和为，若，，求所有满足该条件的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 人大附中2026一2027学年度高三年级第一学期统练三 一.单选题（4×10=40) 1.已知集合A={-1,01,2头，B={x>c号，若AnB={0,12,则c的最小值是() 80 c.-1 D.-2 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集结果判断元素归属，得到参数C的取值区间，再在区间内找出C的最小值. 【详解】因为A={-1,0,12.B={x>c,AnB={0,12、 所以1gB01,2∈B 所以-1≤c<0, 所以c的最小值是-1. 2.若复数z满足zi=1-i,则z的共轭复数是() A.-1-i B.1+i c.-1+i D.1-i 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算以及共轭复数的概念分析求解即可. 1-i0-i--1-i 【详解】因为i=1-i,所以2=1=ii=1 所以z=-1+i 3.已知数列{a}的前n项和为S。,且4=-30,4=9，则S=（） A.7 B.13 C.18 D.63 【答案】A 【解析】 第1页/共29页 6学科网 命组卷网 【分析】根据恩意判断得数列{a,}为等比数列，进而得到其基本量，从而利用等比数列的求和公式即可得 解. 【详解】因为0+1=-30.4，=9≠0 所以数列a,}为等比数列，公比9=-3， 又4=4×(-3=9a=9,解得4=1， 所以S,=一1-（-3) 故选：A 4.在平面直角坐标系xO中，角α以Ox为始边，终边与单位圆⊙O交于点P,且 osa=-1 ,点P在 3π 该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点？.若经过的圆弧P?的长为2，则点？的纵坐标为( V15 V15 A. 4 B. C.4 D.4 【答案】D 【解析】 3π 3π 【详解】由题意可知射线OQ为角+2的终边，所以点Q的纵坐标为 sin a+ 2 5.已知f()= x3,x≤0 lg(x+1),x>0,函数f)的零点个数为m’过点(0,2)与曲线y=f)相切的直线的 m 条数为n,则m,n的值分别为() 第2页/共29页 6学科网列组卷网 A L1 8↓2 c2,1 D2,2 【答案】B 【解析】 【分析】借助分段函数性质计算可得m，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得” 【详解】令f()=0,即x≤0时，X=0,解得x=0, x>0时，g(x+)=0,无解，故m=1, 设过点(0,2)与曲线y=f四相切的直线的切点为(，%) 当x<0时，f(=3x,则有y-6=3(x-), 有2-6=3戏(6)，整理可得=，即七=1， 即当6<0 时，有一条切线， r0所，fe)则-6+8- 有2-e+)）.短可2+es+2-6+ek+=0 令8()=(2+lge)x+2-(+)lg(x+1(x>0) 则8'(x)=2-lg(x+1) 令8()=0，可得x=99 故当x∈(0,9)时，8(>0，即8（在(Q,99)上单调递增， 当x∈(99，+切)时，8'()<0，即8()在(9，+o）上单调递减， 由8(99)=(2+lge)×9+2-200=991ge>0 第3页/共29页 命学科网命组卷网 g(0)=2-0=2>0,故8(y在x∈(0,9)上没有零点， 又8(999)=(2+lg©)×999+2-1000x3=9991gc-1000<0 故8（四在(9,99）上必有唯一零点， 即当6>0 时，亦可有一条切线符合要求， 故n=2. 故选：B. 6,若关于x的方程1og,x-·=0(a>0且a≠l)有实数解，则“的值不可以为(） A.2 B.ve c.e D.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据反函数的性质以及导数的几何意义，只需求函数f()=口与直线y=x相交时a的范围即 可 【详解】若关于x的方程1og。x-4=0(Q>0且a≠l)有实数解， 即f()=a与8()=1g。x的图象有交点， 当0<a<1时，两函数图象显然有交点，故满足题意，所以”2符合题意： 当a>1时， 因为f()=a与8()=log,x互为反函数， 第4页/共29页 6学科网列组卷网 所以f()=d与8()=log。x的图像关于直线y=x对称， 如图所示： fx)=ay P 设函数f(=与直线y=x相切，切点为P(,)】 a%Ina=1 xo=e f(x)=dna则有a=。,解得：a=e, 由图象可知，当a]时，曲线f()=(与直线y=x有交点， 即f()=a与8(d=log。X的图象有交点，即方程og。x-=0有解 又e<86<V6,所以a=e符合慰意，a=ve不合愿意， 、b三nx，x之e则二之 ,则 x2,当x>e时，h'(x)<0, Ine In4 In2 得函数h(x)在(e,+o)上单调递减，得e)>h4),得e>42, 11 得1ne>ln22,得ee>22,即>√2，而4 5=1.25<2 5 故a=4也符合愿意。 7.设无穷等比数列{a.的首项4=-1，公比9∈R,其前n项积为.则<1是7有最大值的( 第5页/共29页 6学科网列组卷网 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先推导"的表达式，再利用充分性和必要性进行判断即可. 【详解】由题意得0=4g=-9 7=a44a,=(--g(-g产）-(r0gg2g）=(rg9 当g≠0且q<1时，T=q2递减，且大于零， 工的值有正数也有有负数，当，>0时，7。=随者”的增大而减小， 当0<g<1时，乙的值为山.4，-，9,7的最大省9 当<g<0时，7的值为14,9,9…工的最大值9， 综上，若<1则必有最大值，故充分性成立。 n(n-1) 取9=1，=(-12=(-八，数列为1l,-1,山，-1，最大值为1， 存在最大值，此时4=1，不满足4<1，故必要性不成立， 故<1是工有最大值的充分而不必要条件。 8形如2”+1(”是非负整数)的数称为费马数，记为尸.数学家费马根据B,,B,B,B都是质数提 出了精想：费马数都是质数，多年之后，数学家欧拉计算出B不是质数，那么尸的位数是() F 1g2≈0.3010 (参考数据： 第6页/共29页 6学科网命组卷网 18 819 c20 D21 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给定义表示出 ,进而分析可以判断出其位数， 【详解】由题意知：E。=22+1=24+1≈24=102”=104e2≈106000=10924=109×1024 因为1<102<10，所以F的位数是20， 9在平行四边形1BCD内有在一点E,满足EA+2EB+3BC+4BD=0,若△ABE和△ABC的面积分 S 别为S、S2,则S2的值为() 0y A.2 B.5 2 7 C.3 D.10 【答案】D 【解析】 【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A且垂直于直线AB的直线为y轴建立平面直角 坐标系，设点B(a,0）、D(6,c),则点C(a+b,c),设点E(x),利用平面向量的坐标运算可求出x、 S y的值，再结合三角形的面积公式可求得S,的值， 【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A且垂直于直线AB的直线为y轴建立如下图所 示的平面直角坐标系， 第7页/共29页 6学科网命组卷网 A B 设点B(a,0）、D(b,c),则点C(a+b,c) 设点E(x,),则EA=(x,-y),EB=(a-x-y),EC=(a+b-xc-y).D=(b-xc-y) 由EA+2EB+3EC+4ED=0可得（-x-)+2(a-x-y)+3(a+b-xc-y)+4(b-xc-y）=(0,0) 5a+7b X= 10 S 248-To 7 所以5a+7b-10x=0,解得 _Te y10 ，故S 248内 10 7c-10y=0 10,已知数列a,}中各项均为正数，且-01=0.(n=1,2,3,),给出下列四个结论： ①对任意的n∈N,都有a,H>1 ②数列a,}可能为常数列： ③若1<g<2 则当n>2时，4<a<2 ④考4>2，则数列a}为递减数列. 其中正确结论有() A.1个 B.2个 c3个 D.4个 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，求出一元二次方程的解，判断其取值范围，可得答案；对于②，将数列每一项设成未知 第8页/共29页 学科网命组卷网 量，根据等式建立方程，可得答案；对于③④，由题意作函数 fx)=xx之0)与函数 g()=Y-(x之0)的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案 【详解】对于O,将等式a1-a+1=0,看作关于a+的一元二次方程， 1±V1+4an 即d-a1-a,=0,解得a1= 2 因为数列{a,}中各项均为正数，所以a,>0,1+4a>l1+40,>1,1-V+4a.<0, 所以aH1= -+40:<0不符合题意合去， 2 所以a+l= t时6，片-1，@正瑞： 2 2 对于@，令0，=，由慰意可得r-x=x,解得x=0(舍去)或x=2 所以带数列22,2，清足-01=0，枚②正痛 由思意作西数=(x之0)与函数8)=t-x之0)的图象如下： 31 g(x)=x-x f(x)=x 3 由1-a1=a,则点(a,a)在函数8田的图像上， 易知a,a,）在函数f四的图像上. 对于O.若<4<2，由a,a)在函数8田图像上，则1<4<2， 第9页/共29页 6学科网列组卷网 。 由a,a)在函数f的图像上，则4<a,<2 当n≥2时.0<a<2,由a,0)在函数8（的图像上，则1<a,<2 由aa）在函数f四的图像上，则0<a,<2 综上所述，若 Ka<2,当m>2时，4<a,<2 ,故③正确； 对于@，当4>2 时，由a,4）在函数8)图像上，且（a,4）在函数f田的图像上， 则%>4>2 当0，>2 时，由（a,na,）在函数8()的图像上，且（a,a）在函数f(四的图像上， 则4，>a1>2,所以数列a,}为递减数列，故@④正确 所以①②③④均正确，故正确结论共4个 二.填空题(5×5=25) 11函数(x)= xlnx的定义域为， 【答案】(0，U(L,+o) 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. x>0 【详解】由xlnx≠0，解得x>0且x≠1： 则函数f()的定义域为(0，U(,+o) 故答案为：(0,1U(,+∞) 第10页/供29页 6学科网命组卷网 s2a=sm任-a,则a的为 兀π 【答案】4或12 【解析】 倍角公式及两角差的正弦公式得到cosa+-sina)(cosa-sina)三)cos 分cosa-sina=0与cos-sina≠0两种情况讨论，分别求出a即可. cos2a =sin 【详解】由 sasinsinco sina-(cosa-sina) 4 4 (cosa+sina)(cosa-sina)(cosa-sina) cosa-sina=0时，cosa=sima,即tana=l,由22/，得as 当wasa≠0.oma+如a-空，青数ma}-竖. me+引片.t号到.+司晋） as、π 所以以十4=6，所以必=一2 元π 故a的值为4或12， 第11页/共29页 6学科网命组卷网 ππ 故答案为：4或12. 13.已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且2b=c+2 acosC,则A= bc 若△ABC为锐角三角形，则b2+c2的取值范围为 21 【答案】 ①.3 ② 5'2 【解析】 【分析】第一问利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和定理与三角恒等变换求出0$A,进而得到角 A: 6 第二问先根据锐角三角形的条件确定角B的取值范围，进而求解C的取值范围，再结合对勾函数的单调性 求解目标式的取值范围。 【详解】①求角A:已知2b=c+2 a cos C, 白正弦定理simBsinc-2R(R为aABC外接国半径）， a b c 可得2sinB=sinC+2 sin AcosC B=π-(A+C) 由三角形内角和知 inB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 故 2(sin Acos C+cos Asin C)=sin C+2sin Acos C 代入上式得： 化简得2 cos Asin C=sinC, 在△ABC中sinC≠0， 第12页/供29页 6学科网命组卷网 cosA=- 因此 .Asπ 2,又A∈(0，π)，故13. bc A=B+C-2C=2-B ②求b2+c2的取值范围：由3得 3,即3，因为△ABC为锐角三角形，故 0<B<5.0 <2见-B<7 3 <2, 得<B<,所以tanBe 3 6 2 bsin B sin B sin B sin B tan B 1 csinC 2πcosB-cos2 sin B3 合s五本222 V3,1 3 2tanB2 。62.-6 2(当且仅当1=1时取等号)， 由对勾函数的单调性， +[2到 所以t+ 传引 第13页/共29页 6学科网命组卷网 ：D子： 14已知在平面直角坐标系中，OA1OB,OA0B=2,0C+0A+0B=1,则C.CB的最小值 为 【答案】17-6W2 【解析】 【分析】建系将向量条件转化为点C的圆轨迹，把数量积化简为含三角函数的表达式，利用辅助角公式求 最值 【详解】 以0为原点，由0A10B且DA-0B=2,设A(2,0),B(0,2). 设C(x,),则0C+0A+0B=(x+2,y+2)】 由0C+0A+0B=1,得点C的轨迹方程为(x+2}+0+2}=1, 可设x+2=cos0,y+2=sin0,0∈[0,2m] 所以x=-2+cos0,y=-2+sin0,0∈[0,2m CA=(2-x,-y).CB=(-x,2-y) 因此CA-CB=(2-x(-)+(-y(2-y)=2+y2-2x-2y=17-6(cos0+sin0) 因为w0+m0=2n(0+4)55,故1n-61os8+sm0)≥17-65， 第14页/供29页 6学科网命组卷网 所以当cos0+sin0=V2,即04时，CA.CB取得最小值为17-6√2 15已知f()=2-t-风，其中k≥0，给出下列4个结论： 0f()在-1,3]上既有最大值又有最小值： ②'=f冈与'=k至少有4个公共点： ©k使得（恰有2个零点： 2时，方程) 2有6个不同的实根 其中正确结论的序号是 【答案】①③④ 【解析】 【分析】设8()=2-并判断其图像走势，再结合图像即可判断 【详解1设8()=2-，则8()=2n2-2x 令h(x)=g'(x)=2*n2-2x.则(x)=2(血2}2-2， 2 令1(x)=0,即2(n2)}2-2=0,解 得x=082(02,记此分界点为 则当<西时，(<0,8'()单调递减；当>西时，()>0，g(因单调递指， 又8(0)=h2>0.8(0=2n2-2<0,枚存在∈(0,1)使得8（)=0， 又8'(2)=4l血2-4=4(m2-1)<0 又8'(4)=16血2-8，lh2>0.5,16ln2>8,故8'(4)>0， 第15页/供29页 6学科网列组卷网 故存在名∈(2,4)使得8(3)=0 当r<0时，2*>0且-2x>0,故8(x)>0, 故8（冈在(-0，）单调递增，(：，)单调递减，(3，+0)单调递增， 当t→-0时，2→0，而-x2→0，故8()→-0 X2 -1/Ox1 2 3 故f()=2-x-在1,3]上既有最大值又有最小值，①正确， g()-=k→8()-k=k或8()-k=-k,化简得8()=2k或8()=0， 当长=0时，方程化为8()=0，此时交点个数为3个， y=g(x) 0 X2 故②错误， 第16页/供29页 6学科网6组卷网 令f()=0→g(x)-k=0→g(x)=k y=g(x) y=k X2 当k=8(:)时，此时有2个交点，故③正确， g-g号，得5树=1成8=0， 上述已知当8（冈）=0时有3个不同的实根， 又8(0)=山8(0=1，故8()=1时有3个不同的实根， 2时，程 2有6个不同的实根，故④正确 y=g(x) 1 =0 三.解答题 16.已知函数 f=-sin(@x+-p+V3(cos)'-sin2〔0>0，|pK元)的最小正周期 2 2 元，且f四 的图象经过点 第17页/供29页 6学科网6组卷网 f(x) 从下列三个条件中选择一个作为已知，使得函数 存在且唯一确定. 1求f) 的解析式： （2若四在区间0，m和m,列上均有零点，求m的取值范围 和 【答案】(1)①不可选，选②或选③，fx)=2sin(2x+ 61 ,5π11π、 (2)12’12 【解析】 f(x) 【分析】(1)利用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数 ，再选择条件并结合正弦函数图象性质 求解 f(x [0, (2)求出函数 在区间 的零点即可 【小问1详解】 函数f)=sin(+p)+v3cos(ax+p)=2sin(ax+p+孕 2π =兀 由(x)的最小正周期为π，得®，解得0=2， π 选①，f的图象经过点20，则212十0+3=kπ，∈Z,而2k匹 3 因此=0,0=-子皮4=1p 2或1 2,函数f()存在不唯一，不符合题意： 径2）2+p+-+2k,元，keZ 选②，f(x)的图象经过点6’，则6 32 ,而p长π， 第18页/共29页 6学科网列组卷网 =0,0=- 因此 6,函数f)存在且唯一确定，f=2sin2x+君， 而p水元，因此←=0，p= 6,函数/（因存在且唯一确定，fw=2sin(2x+ 61 【小问2详解】 ≤2x+ 由少知w=2smr+?,由xe0,.得6 13π 66, 刚出x)=0时，2x+之=元*2x+=2元 5πx=l x= 6 或 6 ,解得12或12， 由的在区间0m和m列 和 上均有零点， 还0，mm卫22。 得12 5<m<m 5π11π 所以m的取值范围是12’12 17.已知5为数列a,3的前n项和，满足。=2a,-1,neN.数列，}是等差数列，且么=a, b2+b4=6 (山)求数列a,》和，}的通项公式， an,n为奇数， (2)设n= bn,n为偶数，求数列{c,}的前2n项和. 【答案】1)0，=2"，b,=n 第19页/供29页 6学科网 组卷网 4” +n2+n- (2)3 3 【解析】 【分析】山先由数列a,子的前”项和S和通项的关系式求出相邻项之间的关系， 判断出数列 ,}的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解： (2)利用分组求和法及公式法进行求和即可. 【小问1详解】 解：因为8，=2a,-l,neN,0 所以有4=1，S=20-1② ②-①得a=2a.(n∈N) 所以数列a,成以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以0n=2 又数列6，}是等差数列，且=4，b+6,=6」 所以4=1.d=1 所以名二n 【小问2详解】 an,n为奇数， 因为，=b,n为偶数， 设数列c,的前2n项和为， 所以2。=a+6+a+6++a1t6 第20页/共29页 6学科网命组卷网 =(a1+a3+…+a2m-i)+(b2+b+…+b2n) =2°+22+？.+22m-2+2+4+?.+2n +n+n- 3 3 18已知函数f(x)=xhx-mx+1(m∈R) (1)当m=1时，求f()的单调区间， (2)若x∈(0，+o）,f()≥0，求m的取值范围. 【答案】(1)f()的单调递增区间为1，+o）,单调递减区间为(0,1)， (2)m的取值范围为0，刂 【解析】 【分析】(1)代入参数求导，根据导函数正负直接判定单调区间； (2)分离参数转化为恒成立问题，构造新函数求最小值，进而得到参数m的取值范围. 【小问1详解】 当m=1时，f()=xhx-x+l;f()的定义域为0，+o), f(x)=hx+x.I-1-x 令'()>0，得x>1:令f'()K0,得0<x<1, 所以f(四)的单调递销区间为，+切），单调递减区间为0,1)， 【小问2详解】 对r∈(0，+o）,f()=xhx-mx+1≥0恒成立， 所以msnx x对于x∈(0，+oo)恒成立， 第21页/共29页 6学科网命组卷网 段-ax+0.e士-， ◆8()=0.得x=1,令8'()>0，得x>1,令8()<0，得0<x<1, 所以8()的单调递增区间为，+o）,单调递减区间为0,1， 所以当x=1时.&()取袋小台，月0=h+1 所以m≤1，即m的取值范围为(-0， 6km B 19.某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距 6的观测站A和B,观察人员分别 在A,B处观测该动物种群如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观察人员从两个观测站分别测得 ∠BAC=30,∠ABC=60,经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观察人员从两个观测站分 别测得∠B1D=75,∠MBD=45(注本BGD在同-平面肉) (1)求△ABD的面积： (2)求点C,D之间的距离 【答案】(1)9+3V3 (2)V15 【解析】 第22页/供29页 命学科网组卷网 【分析】(I)在△ABD AD,BD 中利用正弦定理依次求出 即可求解： (2)先由愿设得到∠4CB=90 AC,BC 接着依次求出 再在△ACD 中，由余弦定理 【小问1详解】 在△MBD中， ∠BAD=75°∠ABD=45°m ,则∠ADB=60 因为AB=6,sin75=sim(30°+45)）sin302eos45+cos30Psin45=xV2+3xV2_V2+v6 2222- 4, AB AD BD 所s604575手2a4Dsn4526.BDsn7532士6 sin60° sin60° 所以A1Bm的酒贺为S-分x8×4Dxsn75=方×6x26x645-9+35, 4 【小问2详解】 在AA C中，∠BAC=30°∠ABC=60 则∠ACB=90,∠CAD=∠BAD-∠BAC=75°-30°=450 因此AC=ABsin60=3V3,BC=ABsin30°=-3 在4AC D中，由余弦定理CD2=AC2+AD2-2×AC×4Dxcos∠CAD 27+24-2x33x26×2=51-36=15 因此CD=V5 20已超6黄-r+总a>0) )当a=1时，求曲线y=f(~在(0，f(0刃处的切线方程； 第23页/共29页 6学科网6组卷网 （2)求/(x在(0，+切)上极值点个数： (3)设函数8()=lnr- ，是香存在10，o）.使背儿小80-：来在在，东a的资有 可能取值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) x+y-1=0 2)f(x)在(0，+o)上极值点个数为1 (3) 存在，a的所有可能取值为e. 【解析】 【分析】(1)求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程： (2)求导得/'()=x-g=e-a 日2.今M=e-a,求导.可行以在0，回L华两福.过 存在∈(0，)，使得h()=c-a=0,即f()=0,进而可得结论： 》则3来海/Q+o)的2钱5式+ 利用导数求得g(x)在(0，+∞)的值域 为 构造函数，利用导数求得不等式 5+ 5 2的解即可求解。 【小问1详解】 *0- 第24页/共29页 6学科网列组卷网 所以曲线y=f(y在(0，f(O》处的切线方程为y-1=-1(x-0）,即x+y-1=0, 【小问2详解】 b刻-+a0,利reg, 令h()=e-a,求导得h()=e+e=(x+e 又x∈(0，+o）,所以h(x)=e+e=(x+l)e>0 所以h()在(0，+切)上单调递增， 又h(0)=-a<0,h(a=ae-a=a(e°->0」 所以存在6∈(0，a),使得h()=c-a=0,即f()=0, 当x(Q,)时.h(<0,即f(四<0，所以f(四)在(0，x)上单调递藏， 当x(,o)时，h()>0,即f()>0,所以f()在(：，+o)上单调递增， 所以是f(☒在0，+o)上的极小值点，也是难一的极信点： 故f()在(0，+0）上极值点个数为1 【小问3详解】 存在，a的所有可能取值为e.理由如下： 由(2)可知是f(在(0，+切)上的唯一极小值点， 2)+品，又=，mef)+ 第25页/供29页 6学科网列组卷网 所以f(x)在(0，+∞)上的值域为2 由8闭=nx后，和8(-士号=a x a ar,又xe6=a, 所以当r∈(0，)时，8()>0，所以8（四在(0，）上单调递增。 当x∈(，+）时，8'()<0，所以8(x)在(，+∞)上单调递减， 所以g问的品大准为8()=n飞一店=n气 g产a球hx 由存在s.1e(0o）.使阳f⊙)-80-. 闭+-h+求导得)=1-(+0 当x∈(0,1)时，p(<0,所以p(四在(0，)上单调递藏， 当×∈(L,+o)时，p'(x)>0,所以()在（L,+o)上单调递增， iu心e以=o0-xp+1-h1+片. 所以a的所有可能取值为e. 第26页/共29页 6学科网命组卷网 21.对于无穷数列a,},记4=max{a,4,a}-mim{a,4,a},keN,称，}是a,}的r收 缩数列.其中，max{a,4,a},min{a,4,…,a,}分别表示4,4，，4中的最大数和最小数. (1)若a。=2n+ ,直接写出，}的前4项， (2)证明： 么，的收箱数列仍是，}。 3)记a,}的前项和为3，若+码+…+8=们4+2-6 2a+ 2 2 neN,求所有满足该条 件的{o} 【答案】(1)0,2,4,6 （2)因为max{a,a,…,a,}≤max{a,a,,a}cn=l,2,3,), min{a,a,,a}2min{a,a,…,aa}(n=l,2,3,…), 所以max{a,4,,am}-min{a,4,,0n}≥max{a,4,,a}-min{a,4,,a} 所以b1≥6。n=l,2,3,) 又因为B=a-a=0,所以max6,6,,b.}-min{4,h,…,b}=b,-h=b. 所以6，}的收缩数列仍是b,} a,n=1 (3)所有满足该条件的a}为：a,一 a2,n>1,a2≥a 【解析】 【分析】山)根据“收缩数列”的概念求数列，}的前4项 (2)根据“收缩数列”的概念进行证明即可 第27页/供29页 6学科网命组卷网 (3)先用归纳猜测猜出满足条件的数列a,}的通项公式，再根据给出的条件进行验证，还需说明除此之 外的数列都不能满足条件 【小问1详解】 由a。=2n+1 可得a,}为递增数列， 所y4=a-4=3-3=0.6=4-4=5-3=26=4-4=7-3=4h,=4,-4=9-3=6 故么}的前4项为0,2,4,6 【小问2详解】 略 【小问3详解】 自+9+…+a+?少6，之，3.)：可得当时.60 2 2a+ 2 当n=2时.2a+4=3a+b,即5=a-a,所以4≥4， 当n=3时，3a+2a,+4=6a+36,即36，=2(4-4)+(4，-a)() 若4≤4<4，则么=4-4，所以由)可得4=4，与4<4茅盾， 若4<4≤a,则=a-4,所以由()可得4-4=3(4-4) 所以44与4-4同号，这与4<4≤4矛盾 若4≥4，则么=4-4，由)可得4=4. 2+ :o满足S+$++S。”+a+)b。n=1,2,3,)的数列以 a,n=1 an= a2,n>1,a2≥a· 第28页/供29页 学科网命组卷网 经验证，左式=+8++=a+[+2+…+(n-月4，=m+n-。 2 a2 o-a)m n(n-1) 右式22a+ 2 2 2 下面证明其它数列都不满足(3)的题设条件 a,n=1 由上述n≤3时的情况可知，n≤3时，0 (a2,n>1,4≥a是成立的. 假设0，是首次不符合只，只，1 a,n>1,a2≥a的项，即a≤a2=a,=…=a1≠a4' 2a1+ 由题设条件可得 +--2a+4传+4+-h.)】 2 2 2 若4≤a<4,则由)式化简可得4=a与4：<4矛盾： k&-(a-a） 若a4<a≤4，则b=4,-a,所以由()可得4，-4=2 所以4：-4与4-4同号，这与4<4≤4矛盾； 所以4≥4，则b=4-4,所以由(）化简可得4=4。 这与假设4，≠0矛盾。 a,n=1 所以不存在数列不满足8，一Q,n>1,4≥4的4}符合题设条件。 第29页/共29页