精品解析：江西省樟树中学2026-2027学年高一上学期第一次诊断作业数学试题

樟树中学2029届高一上学期第1次诊断作业 数学试卷 考试范围：第一章至第二章单调性 考试时间：2026.10.27 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，在每题给出的四个选项中，第1-8小题只有一个选项正确，9-12题有多个选项正确.全部选对的得全分，选不全的得一半分，有选错或不答的得0分. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则当时，，故A错误； 对于B，若，则当时，，当时，，故B正确； 对于C，若，则当时，无意义，故C错误； 对于D，若，则当时，，故D错误； 故选：B. 3. 若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离常数后求其值域即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 4. 已知，，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求得，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】令， 则，解得，则， 因为，所以， 因为，所以， 则，即. 故选：B. 5. “”是“函数在上具有单调性”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】的图象开口向上，对称轴为． 若函数在区间上具有单调性，则，解得， 因为是的真子集， 故“”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，分类讨论与两种情况，结合根的判别式得到不等式，从而得解. 【详解】因为的定义域为， 所以不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得； 综上，，即的取值范围是. 故选：D. 8. 已知，若存在，，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，通过分离参数得到；利用重要不等式得到与的不等关系，再利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】由，得； ，，则； 若存在，，使得成立等价于. ，当且仅当时等号成立； ，当且仅当即时等号成立. 则，解得或时等号成立； ，得，即的取值范围为. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则集合的真子集的个数为 B. 命题：，都有，则命题的否定：，使得 C. 若，，则 D. 已知的定义域为，则的定义域为 【答案】AC 【解析】 【详解】A：，共 3 个元素，真子集个数为，正确. B：全称命题的否定是特称命题，条件不变只否定结论，故的否定应为，使得，错误. C：表示全体奇数，也表示全体奇数，故，正确. D：定义域为，则需满足，解得，错误. 10. 已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对C，举反例说明；对ABD，利用不等式性质判断. 【详解】对于A，由，又，，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，又，所以，故B正确； 对于C，取，，但，，则，故C错误； 对于D，由，则，得，故D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 已知正实数，满足，若恒成立，则实数的最大值为 D. 已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用配凑法求函数解析式结合定义域判断A，根据基本不等式求最值判断B，利用基本不等式求最值，再由恒成立问题求解判断C，根据函数单调性、定义域建立不等式组求解判断D. 【详解】因为，所以，定义域不同，故A错误； ， 令，则，， 当且仅当，即，也就是时等号成立，故B正确； 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立.由知， 此时有最小值，由恒成立可得，解得， 当时，满足题意，所以实数的最大值为，故C正确； 因为函数是定义在区间上的减函数，且， 所以，即，解得，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，，原不等式两边同乘，得 ，整理得，解得. 结合分母不为零，原不等式的解集为. 13. 已知命题：“，”，命题：“，”，若命题和是真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】若命题为真，由，得，故. 若命题为真，则方程有实根，判别式，解得 . 两命题均为真，取交集，得. 故实数的取值范围是. 14. 已知，关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析确定函数在不同区间和的取值范围；将不等式转化为，根据的取值情况，和结合图象进行分类讨论，进而推导的取值范围. 【详解】，图象如图所示： 由图可知，时，，函数在上单调递减，且，，，，，，. 时，，函数在上单调递减，且，，. 由，得. ①当时，不等式的解集为. 由有且只有两个整数解，得，符合题意，则，即. ②当时，不等式的解集为，不符合题意. ③当时，不等式的解集为. 若，函数无整数解，不符合题意； 若，则仅有满足，此时，则对应的整数解为和，符合题意； 若，则和均满足条件，此时，，则有和和和四个整数解，不符合题意； . 综上所述，实数的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合A={x|2≤x<7}，B={x|3<x<10}，C={x|x<a}． （1）求A∪B，(∁RA)∩B; （2）若A∩C≠⌀，求a的取值范围． 【答案】（1）A∪B={x|2≤x<10}，(∁RA)∩B={x|7≤x<10}；（2）(2，+∞)． 【解析】 【分析】（1）根据A={x|2≤x<7}，B={x|3<x<10}，利用并集、交集和补集的运算求解. （2）根据A∩C≠⌀，由交集的运算求解. 【详解】（1）因为A={x|2≤x<7}，B={x|3<x<10}， 所以A∪B={x|2≤x<10}． 因为A={x|2≤x<7}， 所以∁RA={x|x<2或x≥7}， 所以(∁RA)∩B={x|7≤x<10}． （2）因为A={x|2≤x<7}，C={x|x<a}，且A∩C≠⌀， 所以a>2， 所以a的取值范围是(2，+∞)． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算及其应用，属于中档题. 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【小问1详解】 由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 17. 志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm. （1）设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； （2）计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽. 【答案】（1） （2）队徽的长和宽分别为 【解析】 【分析】（1）在直角三角形ADE中，由勾股定理得出DE的长度； （2）由三角形面积公式结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意可得，且，可得，由， 在直角三角形ADE中，可得， 即，化简可得； 【小问2详解】 ， 当且仅当时，即队徽的长和宽分别为，可得△ADE的面积取得最大值. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，解不等式； （2）若，求关于的不等式的解集（结果用表示）. 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由不等式 的解集为 ，可知 是对应方程 的两个根且 ，利用韦达定理求出，再解一元二次不等式即可； （2）代入 后因式分解得 ，先分析，再分析时，抓住 与 1 的大小关系，结合开口方向分类讨论，写出对应的解集. 【小问1详解】 不等式的解集为， 和是方程的两个根，且， ，解得， 则由可得， 解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 ， ， ①当时，不等式为，解得； 当时，由，可得，， 对不等式， ②当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； ③当时，图象开口向下，，不等式的解集为. 综上所述，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为. 19. 已知集合，，若存在，使得成立，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 【答案】（1）函数在区间上不具有性质，理由如下： 当时，． 因为在上单调递减，所以． 因为不是的子集，故该函数在上不具有性质． （2）． （3）或． 【解析】 【分析】先把化为区间，将B⊆A转化为f的值域包含区间B；再逐问求值域，比较端点．第（3）问要抓住B的长度恒为2，m唯一等价于值域长度恰为2，再按对称轴位置分类． 【小问1详解】 函数在区间上不具有性质，理由略； 【小问2详解】 当时，． ①当时，在上单调递减，，而，故，不合题意． ②当时，在上递减、在上递增，所以. 由得且． 因为，故必须，即；结合，得． 当时，且，成立． 综上，实数的取值范围是． 【小问3详解】 对任意，，长度为． 设在上的值域，则 ，得， 且，即. 所以满足条件的存在且唯一，当且仅当，即. 又，，对称轴为． ①当时，在上递减，，，则，不合题意． ②当时，在上递增，，，． 令得，矛盾． ③当时，，． ⅰ当时，，，． 令，得（，舍去），符合． ⅱ当时，，．令，得，符合． 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 樟树中学2029届高一上学期第1次诊断作业 数学试卷 考试范围：第一章至第二章单调性 考试时间：2026.10.27 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，在每题给出的四个选项中，第1-8小题只有一个选项正确，9-12题有多个选项正确.全部选对的得全分，选不全的得一半分，有选错或不答的得0分. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，下列对应关系是从集合M到集合N的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数在上具有单调性”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若存在，，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则集合的真子集的个数为 B. 命题：，都有，则命题的否定：，使得 C. 若，，则 D. 已知的定义域为，则的定义域为 10. 已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 已知正实数，满足，若恒成立，则实数的最大值为 D. 已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 不等式的解集为________. 13. 已知命题：“，”，命题：“，”，若命题和是真命题，则实数的取值范围是________. 14. 已知，关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合A={x|2≤x<7}，B={x|3<x<10}，C={x|x<a}． （1）求A∪B，(∁RA)∩B; （2）若A∩C≠⌀，求a的取值范围． 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17. 志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm. （1）设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； （2）计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，解不等式； （2）若，求关于的不等式的解集（结果用表示）. 19. 已知集合，，若存在，使得成立，则称函数在区间上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $