1.2 空间向量基本定理 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 1.2　空间向量基本定理

 选择性必修第一册　第一章 空间向量与立体几何

[学习目标]

1．理解空间向量基本定理，能用三个不共面的向量表示空间中的任意向量。

2．理解空间向量的基底与基向量，会判断三个向量能否构成空间的一个基底。

3．了解单位正交基底，体会由平面向量基本定理推广到空间向量基本定理的过程。

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 1．空间向量基本定理

在平面内，两个不共线的向量可以表示该平面内的任意向量。把这一结论推广到空间：平行六面体从同一个顶点出发的三条棱对应的向量不共面，沿这三条棱的方向依次平移，可以到达空间中的任意一点。平行六面体 - 中，，，，则体对角线向量 。

图 1: 平行六面体中

(1) 如果三个向量 、、 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在 的有序实数组 ，使得 。

(2) 上述结论叫做空间向量基本定理。由唯一性，若 ，则 ，，。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 若三个向量 、、 两两不共线，则任意空间向量都可以表示为 。（　　）

(2) 若 、、 不共面，则任意空间向量表示为 时，系数唯一。（　　）

 提醒： 定理的前提是三个向量不共面，两两不共线只是必要条件。正方体中从同一顶点出发的两条棱向量与底面对角线向量两两不共线，但三个向量共面，与它们不共面的向量无法用它们表示。

 2．基底与基向量

由空间向量基本定理，三个不共面的向量一旦确定，空间中的每一个向量都对应唯一的一组系数。因此，可以用这样的三个向量作为标准，描述空间中的所有向量。平行六面体 - 中，、、 就可以作为描述各条棱与对角线向量的标准。

(1) 如果三个向量 、、 不共面，那么称 为空间的一个 ，、、 都叫做 。

(2) 基底中的三个向量必须 ，因此基向量都是 向量。

(3) 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，一个基底中含有 个向量。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 空间中任意三个非零向量都能构成空间的一个基底。（　　）

(2) 若 是空间的一个基底，则 ，且这种表示是唯一的。（　　）

 提醒： 判断三个向量能否构成基底，关键看它们是否共面；三个向量都非零、两两不共线，仍可能共面。零向量与任意向量共面，所以基底中不会出现零向量。

 3．单位正交基底

正方体从同一顶点出发的三条棱两两垂直且长度相等。沿这三条棱分别取单位向量，就得到三个两两垂直的单位向量。用这样的三个向量作基底，向量的表示式具有最简单的形式。

(1) 如果空间的一个基底的三个基向量 ，且都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底。

(2) 在单位正交基底 下，，。

(3) 把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量正交分解。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 空间中任意三个两两垂直的向量都能构成单位正交基底。（　　）

(2) 若 是单位正交基底，则 ，。（　　）

图 2: 三条棱两两垂直，沿三条棱取单位向量得单位正交基底

 提醒： 单位正交基底要求两两垂直与都是单位向量同时成立。三个向量两两垂直但长度不都为 1 时，只构成空间的一个基底，不是单位正交基底。

[常用结论]

1．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；基底中的向量都是非零向量。

2．判断三个向量能否构成基底，可设 ：若只能推出 ，则三个向量不共面，构成基底；若存在不全为零的 、、 使等式成立，则三个向量共面，不能构成基底。

3．用基底表示向量，通常从所求向量的起点出发，沿几何体的棱依次走到终点，每走一段就换成基向量，再把各段相加。

4．若 是基底，且 ，则 ，，，这是比较系数求参数的依据。

5．在单位正交基底 下，，。

6．平行六面体 - 中，，，，常用向量的表示如下表。

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 题型一　判定空间的一个基底

[典例 1-1] 已知 是空间的一个基底，则下列向量组中能构成空间一个基底的是（　　）

[典例 1-2] 已知 是空间的一个基底，判断 能否构成空间的一个基底，并说明理由。

 

 

 

 

 

 

名师点评　判定基底的两种方法

(1) 定义法：设 ，整理后由 、、 不共面得到关于 、、 的方程组，若只有零解，则三个向量不共面，构成基底。

(2) 观察法：若其中一个向量能写成另外两个向量的形式，则三个向量共面，不能构成基底。