1.3 空间向量及其运算的坐标表示（Word版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 知识点一　空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. [提示]　在空间直角坐标系中，点（a，b，c）的几个特殊的对称点的坐标： （1）关于原点O的对称点为（－a，－b，－c）； （2）关于x轴的对称点为（a，－b，－c）； （3）关于y轴的对称点为（－a，b，－c）； （4）关于z轴的对称点为（－a，－b，c）； （5）关于Oxy平面的对称点为（a，b，－c）； （6）关于Oyz平面的对称点为（－a，b，c）； （7）关于Ozx平面的对称点为（a，－b，c）. 以上规律可以总结为“关于谁对称，谁不变”.例如，①点（a，b，c）关于z轴的对称点，z坐标不变，其余坐标变为相反数；②点（a，b，c）关于Oxy平面的对称点，x，y坐标不变，z坐标变为相反数. 知识点二　空间向量运算的坐标表示 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）. 1.空间向量运算的坐标表示 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）， a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）， λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R）， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 2.两个向量平行、垂直的充要条件的坐标表示 （1）当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）； （2）当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 3.模、夹角和距离公式 （1）｜a｜＝＝； （2）cos＜a，b＞＝ ＝； （3）若点A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2），则A，B两点间的距离 AB＝｜｜＝. 角度一　空间向量运算的坐标表示 [例1]　已知空间向量a＝（－2，0，－5），b＝（3，2，－1），求： （1）向量a在向量b上的投影向量的坐标； （2）｜a＋2b｜； （3）（3a＋2b）·（a－b）. [解]　（1）∵a＝（－2，0，－5），b＝（3，2，－1）， ∴｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝－6＋5＝－1， ∴向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞·＝b＝－b＝. （2）∵a＝（－2，0，－5），b＝（3，2，－1）， ∴a＋2b＝（－2，0，－5）＋2（3，2，－1）＝（4，4，－7）， ∴｜a＋2b｜＝＝9. （3）方法一：（3a＋2b）·（a－b） ＝3｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝3×29＋1－2×14＝60. 方法二：∵3a＋2b ＝3（－2，0，－5）＋2（3，2，－1） ＝（0，4，－17），a－b＝（－5，－2，－4）， ∴（3a＋2b）·（a－b）＝0×（－5）＋4×（－2）＋（－17）×（－4）＝60. 角度二　空间向量运算的坐标表示在立体几何中的应用 　　[例2]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是棱AA1，A1B1的中点. （1）求BM的长； （2）求BA1与CB1所成角的余弦值； （3）求证：BA1⊥C1N. [解]　（1）根据题意，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图.（巧用垂直关系建系） 　　依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）， 根据空间两点间的距离公式得， BM＝＝. （2）由（1）得，A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），则＝（1，－1，2），＝（0，1，2）， ∴·＝3.又｜｜＝，｜｜＝， ∴cos＜，＞＝＝. ∴BA1与CB1所成角的余弦值是. （3）证明：由（1）得，C1（0，0，2），N， 　　∴＝， ∴·＝－＋0＝0， ∴⊥，即BA1⊥C1N. [反思]　若求出的两个向量夹角的余弦值为负值，那么它们的绝对值是它们对应的异面直线夹角的余弦值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $