1.2 空间向量基本定理讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.2空间向量基本定理 知识归纳与题型总结 考点01 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 考向01 空间向量基底概念及辨析 【例1】已知是空间一个基底，向量，，，若//，则的值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为是空间一个基底，向量，，，则，所以， 即，， 所以. 考向02 用空间基底表示向量 【例2】如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，由，转化为直线与所成的角，利用向量的运算法则，求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设，，， 因为，且，， 则，且，，则， 在平行六面体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 又因为，， 可得， 且，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【对点1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 【对点2】如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在平行六面体中， 根据向量加法的三角形法则，可得：. 因为点 是 的中点，所以. 在平行四边形 中，由向量加法的平行四边形法则可知：. 又因为在平行六面体中，，， 所以. 从而 . 又因为， 所以. 考点02 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 考点03 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 考向01 空间向量基本定理及其应用 【例1】在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 【对点1】（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 一、单选题 1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用空间向量基本定理可得出关于、、的两个表达式，结合空间向量基本定理可得出的值. 【详解】因为，则，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为上的点，设，即，即， 又因为为上的点，设，即，即， 因为 ， 因为、、不共面，所以， 上述三个等式全加得. 2．下列说法错误的是（    ） A．是向量，共线的充要条件 B．若，，则存在唯一的实数，使得 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若空间向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得 【答案】A 【分析】因为成立的前提是、反向且，所以判断其是否为、共线的充要条件，需对比充分性和必要性是否同时成立可判断A；根据向量的共线定理可判断B；根据空间四点共面的充要条件可判断C；根据空间向量共面的基本定理可判断D. 【详解】选项A： 若向量共线，当它们方向相反且时，才有； 如果两向量同向共线，等式变为，显然不满足原式， 因此只是反向共线且模长满足条件的充分条件，并非共线的充要条件，A错误； 选项B：根据向量的共线定理可知：若且，则存在唯一实数使得，B正确； 选项C： 空间四点共面的充要条件是：对任意点，若，则， 本题中，满足四点共面条件，C正确； 选项D：由空间向量共面的基本定理：若不共线，则与共面的充要条件是存在唯一有序实数对使得，D正确. 3．已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的数量积运算及几何意义求解 【详解】设，由题意，得.将拆分为， 代入所求数量积，得. 由于向量两两互相垂直，所以任意两个不同向量的数量积为0， 故 又， 其中，且， 故，则， 当且仅当与同向时取等号，故最大值为. 4．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 【答案】B 【分析】对于A，由向量的加减法运算即可判断；对于B，，代入条件即可；对于C，将分解为，求模长即可；对于D，直线与平面所成的角即，余弦定理即可求解. 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确.    5．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 6．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 7．如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①点的轨迹在矩形边界及内部； ②若，则点的轨迹为线段且长度为； ③若，则点的轨迹的长度为； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】对①：由题意可得在矩形边界及其内部；对②：由正方体性质可得平面，结合中点在平面内，可得点的轨迹为矩形边界及其内部与平面交线，即为线段，计算即可得；对③：由正方体性质可得平面，则点的轨迹为矩形边界及其内部与平面交线，即为线段，其中为的中点，解出即可得；对④：利用椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆与矩形边界及内部相交部分，计算即可得解. 【详解】   对于①，由于点满足，则点的轨迹在矩形边界及内部，故①正确； 对于②，由，，，平面， 可得平面，又因为的中点在平面内，则平面内任意一点到点和到点的距离相等， 又因为点的轨迹在矩形边界及内部， 则当时，点的轨迹是矩形边界及内部与平面的交线，即为线段， 又因为，故点的轨迹长度为，故②错误； 对于③，由，，，平面， 可得平面，又因为平面，故， 由②知平面，又因为平面，故， 又因为，平面，故平面， 若，则点的轨迹是矩形边界及内部与平面的交线，即为线段，其中为的中点， 由于，所以点的轨迹的长度为，故③正确； 对于④，若，因,则点的轨迹是以为焦点的椭圆的一部分， 以为原点建立如图平面直角坐标系，如图所示：    则该椭圆方程为，点的轨迹为该椭圆与矩形边界及内部相交部分， 设，则，则，即的最小值为，故④正确； 综上所述，序号①③④正确. 8．正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四面体性质以及空间向量基本定理可得，再由锥体体积公式计算可得结果. 【详解】设中心为，如下图： 由正四面体性质可知， 利用勾股定理可得，即，解得； 因此可得； 所以； ，可得，即， 当且仅当时，等号成立. 此时满足， 易知， 因此. 二、多选题 9．（多选）已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AB 【分析】A、B选项，通过向量线性运算检验是否存在非零线性组合为零向量进行判断；C、D选项，都满足线性关系式，可得共面. 【详解】由题知不共面. 对于A，假设存在实数，使得，即，则， 即不共面，可以构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，假设存在实数，使得，即，则， 即不共面，可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 10．（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 11．（多选）已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（    ） A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 【答案】BC 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断AB选项；求出平行六面体的高，分析可知四棱锥的体积是平行六面体体积的，结合柱体的体积公式可判断C选项；求出三棱锥棱切球的半径，结合球体体积公式可判断D选项. 【详解】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 所以 ，所以，故A错误； 因为， 则 ， ， 所以， 所以，异面直线和所成角的余弦值为，故B正确； 四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为，故C正确； 三棱锥为正四面体，棱长为6， 设正四面体的棱切球球心为，且也为其外接球球心，则， 则，即，解得， 取线段的中点，连接，则， 且， 所以，正四面体的棱切球的半径为， 故球的体积为，故D错误. 三、填空题 12．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 13．已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【分析】由三角形重心的向量性质以及向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 14．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 15．在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】设，，将用，表示，再利用空间向量四点共面的结论可得到，则可转化为一个关于的函数，即可求解. 【详解】设，，，则，， 因为点为侧棱中点，所以，同理. 故； 又因为，所以， 由于，，，四点共面，所以， 则 所以， 而， 令，令， 则，由对勾函数单调性易得 从而 四、解答题 16．如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. (1)试用基底表示向量. (2)设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置. 【答案】(1) (2)时，，则点在的延长线上且. 【分析】（1）利用空间向量线性运算表示向量； （2）设，由共面定理可得存在实数满足，列方程组求值即可得到点的位置. 【详解】（1）由题意知. （2）因为为的中点，所以. 由（1）知. 因为，所以，则. 因为四点共面，所以存在实数满足， 即，整理得， 因为不共面，所以解得. 当时，，则点在的延长线上且. 17．如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解； （2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解. 【详解】（1）设基向量，，， 则，，    因为，    所以，    因为、、三点共线，设， 则，    所以，，，得． （2）因为，且，， 设，，， 所以，    得， 即，    故，即，所以长度的取值范围为． 18．在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）由题意知：， ，； （2），，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 19．如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 20．在如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形， ， ， (1)若点 在边 上，证明：存在 ，使得 ； (2)若到平面ABCD 的距离为 2，将梯形绕边 AB 旋转一周，求所形成旋转体的体积. 【答案】(1) ， ， 设， 则. 令，得，所以. 即存在 ，使得 ，此时，即. (2) 【分析】（1）设，并用表示，可证得时，成立； （2)利用面面垂直的判定定理及性质定理，作出点在平面的射影，利用到平面ABCD 的距离为 2，求出，即可得梯形绕边 AB 旋转一周，所形成旋转体的特征，由此可求得其体积. 【详解】（1）略 （2）取的中点，记作，连接，则； 取的中点，记作，连接，则， 因为∥，所以. 由，得， 所以. 连接，则∥，且， 因为∥所以∥，且， 所以四边形是等腰梯形，所以是平面内的两条相交直线， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 过作，则由平面，平面平面， 得平面. 因为到平面ABCD 的距离为 2，所以. 等腰梯形中，. 所以. 过作，则， 所以. 将梯形绕边 AB 旋转一周，所形成旋转体是由两个相同的圆锥及一个圆柱组成的组合体. 其中圆锥的高为，底面半径为，所以一个圆锥的体积为； 圆柱的高为，底面半径为， 所以圆柱的体积为. 所以将梯形绕边 AB 旋转一周，所形成旋转体的体积为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.2空间向量基本定理 知识归纳与题型总结 考点01 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 考向01 空间向量基底概念及辨析 【例1】已知是空间一个基底，向量，，，若//，则的值是（ ） A． B．2 C． D． 考向02 用空间基底表示向量 【例2】如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【对点1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【对点2】如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（    ）. A． B． C． D． 考点02 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 考点03 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 注：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 考向01 空间向量基本定理及其应用 【例1】在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【对点1】（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 一、单选题 1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（    ） A．是向量，共线的充要条件 B．若，，则存在唯一的实数，使得 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若空间向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得 3．已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 5．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 6．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B. C． D． 7．如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①点的轨迹在矩形边界及内部； ②若，则点的轨迹为线段且长度为； ③若，则点的轨迹的长度为； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 8．正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知是空间的一个基底，则下列向量组中，也能构成空间基底的有（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 11．（多选）已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（    ） A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 三、填空题 12．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 13．已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 14．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 15．在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 四、解答题 16．如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，.设，，. (1)试用基底表示向量. (2)设为的中点，点在直线上，且.若，，，四点共面，求实数的值，并说明此时点的位置. 17．如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． (1)若、、三点共线，求； (2)若，求长度的取值范围． 18．在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 19．如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 20．在如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形， ， ， (1)若点 在边 上，证明：存在 ，使得 ； (2)若到平面ABCD 的距离为 2，将梯形绕边 AB 旋转一周，求所形成旋转体的体积. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $