1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

 选择性必修第一册　第一章 空间向量与立体几何

[学习目标]

1．理解直线的方向向量与平面的法向量，会用坐标求直线的一个方向向量与平面的一个法向量。

2．掌握用方向向量、法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的方法，并能用坐标证明平行关系。

3．掌握用数量积判断线线垂直、线面垂直、面面垂直的方法，并能用坐标证明垂直关系。

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 1．直线的方向向量

图 1 是棱长为 1 的正方体，棱 所在直线上有 、 两点，向量 与这条直线共线；把这个向量平移到直线外，得到的向量 同样与这条直线共线。两者都刻画了这条直线的方向。反过来，给定直线上的一点 和与它共线的非零向量 ，直线上的每个点 都能写成 的形式。

图 1: 棱 所在直线上， 与平移得到的 都是这条直线的方向向量

(1) 定义：若 是与直线 平行的非零向量，则称 为直线 的。直线 上任意两个不同点确定的向量都是 的方向向量；方向向量不唯一，对任意 ， 也是 的方向向量。

(2) 直线的向量表示：设点 在直线 上， 是 的方向向量，则对 上任意一点 ，存在实数 ，使 ；反之，满足这个式子的点 都在 上。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 直线 的方向向量是唯一的。（　　）

(2) 若 、 是直线 上不同的两点，则 是直线 的一个方向向量。（　　）

 2．平面的法向量

图 2 中，平面 内取两条相交直线，方向向量分别为 、。若一个向量 与 、 都垂直，则 垂直于 内的所有向量，这样的向量 给出了平面的朝向。判断 是否为法向量，只需检验两个数量积同时为零。

图 2: 与平面 内两条相交直线的方向向量都垂直， 是 的法向量

(1) 定义：如果直线 ，取 的方向向量 ，则称 为平面 的。

(2) 判定：设 、 是平面 内两个的向量，则 是 的法向量的充要条件是 且 。

(3) 求法：设 ，把平面内两个不共线向量的坐标代入上述两个方程，解出一个非零解即可。同一个平面的法向量不唯一，但任意两个法向量都。

 提醒： 方向向量与法向量都不唯一，题目问“一个”时写出其中一个非零解即可；写“所有”时才用参数表示。

判断

(1) 同一个平面的法向量有无穷多个，任意两个法向量都平行。（　　）

(2) 若 与平面 内一条直线的方向向量垂直，则 是 的法向量。（　　）

 3．用向量判定平行关系

图 3 左：直线 与平面 平行时， 的方向向量 与 的法向量 垂直，即 。图 3 右：平面 与 平行时，它们的法向量 、 平行。把位置关系换成方向向量、法向量的关系，就能用坐标判断平行。

图 3: 左： 时 ；右： 时

(1) 线线平行：设 、 的方向向量分别为 、，则 的充要条件是（即存在实数 ，使 ），且两直线不重合。

(2) 线面平行：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 的充要条件是 ，且。

(3) 面面平行：设平面 、 的法向量分别为 、，则 的充要条件是 ，且 与 。

 提醒： 数量积为零只说明直线与平面平行或在平面内，证明线面平行时必须补一句“直线不在平面内”，可用把点代入平面方程的方法检验。

判断

(1) 若直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，则 。（　　）

(2) 若两个不同的平面的法向量平行，则这两个平面平行。（　　）

 4．用向量判定垂直关系

图 4 左：直线 与平面 垂直时， 的方向向量 与 的法向量 平行。图 4 右：平面 与 垂直时，两个法向量 、 垂直。两条直线垂直则对应方向向量的数量积为零。四类垂直关系都能用数量积或平行关系判断。

图 4: 左： 时 ；右： 时

(1) 线线垂直：设 、 的方向向量分别为 、，则 的充要条件是 。

(2) 线面垂直：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 的充要条件是（即存在实数 ，使 ）。

(3) 面面垂直：设平面 、 的法向量分别为 、，则 的充要条件是 。

判断

(1) 若直线 的方向向量与平面 的法向量平行，则 。（　　）

(2) 若直线 的方向向量与平面 内一条直线的方向向量垂直，则 。（　　）

[常用结论]

1. 求平面法向量的步骤：设 ；在平面内取两个不共线的向量 、；列方程组 ，；令 、、 中的一个取便于计算的非零值，解出另外两个，得到一个法向量；最后把坐标回代两个方程检验。