1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时) 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题》教学设计

基本信息

学科：高中数学

教材版本：人教 A 版选择性必修第一册

课题：1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题

课时：第 1 课时

课型：新授课

授课时长：45 分钟

一、课标分析

依据《普通高中数学课程标准（2019 年版 2020 年修订）》，本节课属于“立体几何与向量”主题，是“空间向量与立体几何”单元的核心内容。课标要求：能运用向量方法解决简单的空间距离与空间角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，发展直观想象、数学运算与逻辑推理素养。学业要求：会用向量的数量积求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角；会用向量的数量积求点到直线（平面）的距离，并理解各类距离之间的转化关系。

二、教材分析

本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》（人教 A 版，2019）第一章《空间向量与立体几何》的第四节《空间向量的应用》。1.4 节共安排两个课时：1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（教材第 26 页），1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（教材第 33 页）。本课时在向量坐标化的基础上，将空间中的角（两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角）与距离（点到直线、点到平面的距离等）先转化为向量语言，再运用向量的数量积与坐标运算求解，实现立体几何问题的代数化，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。它既是 1.4.1 位置关系研究的延续，又为后续综合运用向量方法处理立体几何问题提供通法。本节课只研究空间角与空间距离的向量求法，不引入后续课时内容，不超课时范围。

三、学情分析

通过前面的学习，学生已经掌握了空间向量的基本运算，经历了用向量方法研究直线、平面位置关系的过程，在此基础上研究空间向量在求距离、夹角中的应用，能较好地体会向量方法的优势。学生的常见困难：一是对异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的空间直观想象力不足，难于在图中找到或作出相应的角；二是对“平面的法向量不唯一”“方向向量与法向量的夹角和线面角互余”等结论容易混淆；三是建系后坐标计算量较大，容易出现运算错误。教学中需要借助熟悉的正方体等模型，先让学生明确几何中的角与距离，再转化为向量运算，通过典型例题的示范与步骤总结，帮助学生形成“建系—求向量—代公式—回归几何”的解题程序。

四、教学目标

1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角，培养数学抽象的核心素养。

2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角，提升逻辑推理素养。

3.理解二面角大小与两个平面的法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小。

4.会求点到直线、点到平面等空间距离，通过空间角与空间距离的计算，强化数学运算和逻辑推理的核心素养。

五、教学重难点及突破策略

教学重点

利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角。

教学难点

根据问题的条件选择适当的基底；理解各种距离之间的转化关系并正确代入公式运算。

重难点突破策略

1.以黄道面与赤道面所成的二面角为情境，从真实背景中抽象出空间角，再逐

类生成三种角的向量公式，避免直接灌输；

2.将线线角、线面角、二面角与点到直线、点到平面的距离统一为向量数量积的语言，突出公式的同源性，破解选择公式的难点；

3.通过正方体中的典型例题，示范“建系—求坐标—代公式—回归几何”的完整过程，规范解题步骤；

4.课堂练习按“角—距离”梯度设置，当堂纠错，巩固公式运用。

六、教学准备

教师准备：多媒体课件，课本改编例题与课堂练习题，板书设计。

学生准备：预习课本 1.4.2，复习直线的方向向量、平面的法向量与向量的数量积运算，准备课堂练习本。

七、教学过程（总时长 45 分钟）

环节一：情境导入（5 分钟）

教师活动：展示地球公转示意图并讲解：地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面所成的角（即二面角的平面角）约为 23°26′。黄道面与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近南北宽 9° 以内的区域称为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分点起每 30° 便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等，这便是星座的由来。