1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 　 求方向向量与法向量 1.若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） 　 A.（1，2，3） B.（1，3，2） C.（2，1，3） D.（3，2，1） 解析：A　＝（2，4，6），与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量.故选A. 2.（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，下列结论中，正确的是（　　） A.直线BD1的一个方向向量为（－2，2，2） B.直线BD1的一个方向向量为（2，2，2） C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D.平面B1CD的一个法向量为（1，1，1） 解析：AC　由题意，B（1，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），D1（0，1，1）， ∵＝（－1，1，1），∴向量（－2，2，2）为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 设平面B1CD1的法向量为n＝（x，y，z），则 由＝（0，－1，1），＝（－1，0，1）得 令x＝1，得n＝（1，1，1），故C正确； 设平面B1CD的法向量为m＝（a，b，c），则 由＝（0，－1，1），＝（－1，0，0）得 令b＝1，得m＝（0，1，1），故D不正确.故选A、C. 3.已知向量n＝（－3，1，2）和平面α，点A（0，－3，－1），B（k，k＋3，2）都在平面α内.（1）若向量n是直线AB的一个方向向量，则k＝　　　　；（2）若向量n是平面α的一个法向量，则k＝　　　　. 答案：（1）－　（2）6 解析：由点A（0，－3，－1），B（k，k＋3，2），得＝（k，k＋6，3）. （1）若向量n是直线AB的一个方向向量，则n∥，所以＝k＋6＝，解得k＝－. （2）由n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量，且点A，B∈α，得n·＝0， 因此－3k＋k＋6＋2×3＝0，所以k＝6. 用向量解决直线、平面的平行问题 4.空间中，若直线l的方向向量为a＝（0，－1，2），平面α的法向量为m＝（－3，2，1），则（　　） A.l∥α B.l⊥α C.l∥α或l⊂α D.l与α斜交 解析：C　因为m·a＝－3×0＋2×（－1）＋1×2＝0，所以a⊥m，所以l∥α或l⊂α. 5.已知直线l上有两点A（1，2，3），B（2，1，1），平面α的一个法向量为n＝（－3，2，m），若l∥α，则m＝（　　） A.2 B.1 C.－ D.－ 解析：D　因为直线l上有两点A（1，2，3），B（2，1，1）， 所以直线l的一个方向向量为＝（1，－1，－2）. 又因为l∥α，且平面α的一个法向量为n＝（－3，2，m）， 所以n⊥，即n·＝（－3）×1＋2×（－1）－2m＝0，解得m＝－.故选D. 6.已知a＝（0，1，m），b＝（0，n，－3）分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝　　　　. 答案：－3 解析：根据题意可知，若α∥β，则a∥b， 又a＝（0，1，m），b＝（0，n，－3）可得＝，即可得mn＝－3. ｜知识总结｜ 空间中平行关系的向量表示 线线 平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面 平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0 面面 平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 用向量解决直线、平面的垂直问题 7.（2026·浙江嘉兴八校联考）已知m＝（－2，t，5），n＝（3，－2，t）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则t的值为（　　） A.1 B.2 C.－1 D.－2 解析：B　因为m＝（－2，t，5），n＝（3，－2，t）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β， 所以m⊥n，即m·n＝（－2，t，5）·（3，－2，t）＝－6－2t＋5t＝－6＋3t＝0，解得t＝2.故选B. 8.（2026·湖北六校期中）若平面α的法向量为u＝（2，－2，4），平面β的法向量为v＝（m，1，－2），直线l的方向向量为a＝（k，2，－4），则（　　） A.若α∥β，则m＝1 B.若l⊥α，则k＝－2 C.若k＝－2，则l∥α D.若m＝－5，则α⊥β 解析：B　A错误：若α∥β，则u∥v，可得＝＝，解得m＝－1. B正确，C错误：l⊥α等价于a∥u，即＝＝，解得k＝－2. D错误：若m＝－5，则v＝（－5，1，－2），可得u·v＝2×（－5）－2×1＋4×（－2）＝－20≠0， 所以平面α与平面β不垂直. 9.[一题多解]棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BD的中点，G为AA1的中点.利用向量法证明： （1）EF∥平面ABC1D1； （2）平面BDC1⊥平面BDG. 证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），E（0，0，1），F（1，1，0），A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），C1（0，2，2），G（2，0，1）. 方法一：＝（1，1，－1），＝（0，2，0），＝（－2，0，2）. 设平面ABC1D1的一个法向量为n＝（x，y，z），由 取x＝1，得n＝（1，0，1），所以·n＝1×1＋1×0＋（－1）×1＝0，故⊥n. 又EF⊄平面ABC1D1，所以EF∥平面ABC1D1. 方法二：＝（1，1，－1），＝（－2，－2，2），所以＝－2，故∥. 又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，所以EF∥平面ABC1D1. （2）由（1）知＝（2，2，0），＝（2，0，1），＝（0，2，2）. 设平面BDG的一个法向量为m1＝（a，b，c）. 由 令a＝1，得m1＝（1，－1，－2）. 设平面BDC1的一个法向量为m2＝（e，f，g）. 由 令e＝1，得m2＝（1，－1，1）， 由m1·m2＝1×1＋（－1）×（－1）＋（－2）×1＝0，得m1⊥m2，故平面BDC1⊥平面BDG. ｜知识总结｜ 空间中垂直关系的向量表示 线线 垂直 设u1，u2 分别是直线 l1 ， l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 线面 垂直 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn 面面 垂直 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 　 1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝3，AB＝2，以点B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PBC的法向量为n，则（　　） A.点P的坐标为（0，0，3） B.＝（4，0，－3） C.n可以是（0，2，－2） D.平面PAB⊥平面PBC 解析：D　如图， A错误：PA＝3，AB＝2，所以P（0，2，3）. B错误：易知BC＝2，C（2，0，0），B（0，0，0），＝（2，0，0），＝（0，2，3），＝（2，－2，－3）. C错误：设n＝（x，y，z），因为·n＝2×y＋3×z＝0，且·n＝2x＝0. 令y＝2，可得z＝－，所以n不可能是（0，2，－2）. D正确：由C选项知n可以为，显然平面PAB的一个法向量为m＝（1，0，0）. 因为m·n＝0，所以平面PAB⊥平面PBC. 2.[模块融合]若平面α，β的法向量分别为a＝（－sin θ，cos θ，2），b＝，θ∈[0，π），且α⊥β，则θ的值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵平面α，β的法向量分别为a＝（－sin θ，cos θ，2），b＝，α⊥β， ∴a⊥b， ∴a·b＝－sin2θ＋cos2θ＋1＝－sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ＝2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝0，即cos θ＝0. ∵θ∈[0，π），∴θ＝.故B正确. 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝2，M在AB上.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n＝（1，2，1），则＝（　　） A. B. C. D.1 解析：B　设AM＝x，则A1（4，0，2），M（4，x，0），＝（0，x，－2）， 因为平面MCA1的一个法向量为n＝（1，2，1），则n·＝0，即2x－2＝0，解得x＝1， 故AM＝1，MB＝3－1＝2，故＝.故选B. 4.（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　） A.两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝（2，3，－1），b＝（－2，－3，1），则l1∥l2 B.直线l的方向向量是a＝（1，－1，2），平面α的法向量是u＝（6，4，－1），则l⊥α C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝（2，2，－1），v＝（－3，4，2），则α⊥β D.两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝（2，－1，0），v＝（－4，2，0），则α∥β 解析：ACD　对于A，因为a＝－b，且直线l1，l2不重合，则l1∥l2，A正确； 对于B，因为a·u＝6－4－2＝0，则a⊥u，所以l⊂α或l∥α，B错误； 对于C，因为u·v＝－6＋8－2＝0，则u⊥v，所以α⊥β，C正确； 对于D，因为v＝－2u，即u∥v，又平面α，β不重合，则α∥β，D正确. 5.（2026·浙江绍兴期中）如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在线段BD上，且BE＝BD，点F在线段CB1上，且CF＝CB1，若平面ADD1A1上存在一点G使得B1G⊥平面DEF，则点G的坐标为　　　　　. 答案：（8，0，16） 解析：易知D（0，0，0），B1（4，4，4），B（4，4，0），C（0，4，0）. 由点E在线段BD上，且BE＝BD，可得＝＝（4，4，0）＝（3，3，0）； 由点F在线段CB1上，且CF＝CB1，可得＝＝（4，0，4）＝（1，0，1），则＝＋＝（1，4，1）. 又点G是平面ADD1A1上一点，所以可设G（a，0，b），则＝（a－4，－4，b－4）. 由B1G⊥平面DEF，可得B1G⊥DE，B1G⊥DF， 即得解得 故点G的坐标为（8，0，16）. 6.如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝1，AD＝3，CD＝2.若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC＝90°的点E的个数是　　　　　. 答案：2 解析：易知底面ABCD为直角梯形，取CD的中点F，则FD＝CD＝1，∴AB＝FD，∴底面ABFD是矩形，∴BF⊥CD，结合SB⊥底面ABCD，可建立如图所示的空间直角坐标系.∴B（0，0，0），A（0，1，0），C（3，－1，0），D（3，1，0）. ∵E是线段AD上的动点，设E（t，1，0），t∈[0，3]，设点S（0，0，h）， ∴＝（t，1，－h），＝（t－3，2，0）.∵∠SEC＝90°，∴·＝t（t－3）＋2＋（－h）·0＝0，化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1或t＝2.∵t∈[0，3]，∴两个解均有效，∴满足条件的点E共有2个. 7.[教材例题变式]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别是AA1，BC，C1D1的中点. （1）证明：B1D⊥平面EFG； （2）在直线DB上是否存在点P，使得B1P∥平面EFG？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由. 解：（1）证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图. 则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），C1（0，2，2），B1（2，2，2）， 由中点坐标公式可得E（2，0，1），F（1，2，0），G（0，1，2）， 则＝（－2，－2，－2），＝（－1，2，－1），＝（－2，1，1）， ∵·＝－2×（－1）＋（－2）×2＋（－2）×（－1）＝0， ·＝－2×（－2）＋（－2）×1＋（－2）×1＝0， ∴⊥，⊥， 即B1D⊥EF，B1D⊥EG. 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴B1D⊥平面EFG. （2）假设存在点P，使B1P∥平面EFG，设＝λ， 则＝＋＝（－2，－2，－2）＋λ（2，2，0）＝（－2＋2λ，－2＋2λ，－2）. 由（1）知，是平面EFG的一个法向量， 则·＝（－2，－2，－2）·（－2＋2λ，－2＋2λ，－2）＝12－8λ＝0， 解得λ＝，故存在点P，满足＝，使B1P∥平面EFG. ｜技巧点拨｜ 用向量法解决探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $