精品解析：广东清远市第一中学2026-2027学年第一学期高一年级期中考试数学试卷

2026一2027学年第一学期高一年级期中考试卷 数学 本试卷共4页，19题，共150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设：实数满足且，：实数满足，则是的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则函数的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. 幂函数是奇函数 C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 设正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 已知，则不等式的解集为________． 14. 已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求，的值； （2）证明：为定值； （3）利用（2）的结论求表达式：的值. 17. 某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 （1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 18. 已知函数. （1）若，求当时的值域； （2）若，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 已知奇函数 （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）函数，，是否存在实数b，使得函数的最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026一2027学年第一学期高一年级期中考试卷 数学 本试卷共4页，19题，共150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，，两集合的公共元素为和，因此. 2. 设：实数满足且，：实数满足，则是的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分别判断能否推出、能否推出即可得到结论. 【详解】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解内层函数的取值，再将其作为自变量代入计算复合函数值. 【详解】  ，所以 . 4. 若，则函数的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】当时，函数图象如下图所示， 为得到图象， 则需要把图象向下平移个单位，如下图所示，则其图象必定不经过第二象限. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数的单调性，可得解 【详解】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质， 可知两个函数在单调递增； 由于； 由于； 综上： 故选：A 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 7. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A. 8. 已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，，，则，由，得,即， 即，再构造函数即可求解. 【详解】由题意，，，则，由，得, 即，即 设 ，则函数在上单调递减， 又，则 ， 则不等式，即， 即 ，即，所以， 又函数为定义在R上的偶函数，所以当时，，又， 所以不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. B. 幂函数是奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：因为幂函数的系数为1，所以，得， 此时函数为，定义域为，定义域关于原点对称， 设，则，所以是偶函数，故B错误； 选项C：由对数恒等式知，故C正确； 选项D：因为，故D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，使用基本不等式进行分类讨论即可判断；对于B，函数与函数定义域不相同，故不是同一个函数；对于C，（换元法）设，则，且，，由，再结合函数的图象即可判断；对于D，由函数的定义域为，即，可得，所以函数的定义域为，所以D正确. 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，（换元法）设，则，且，， 由，再结合函数的图象，可得函数的值域为．所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 11. 设正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式可判断A选项； 利用基本不等式链可判断B选项； 利用乘1法可判断C、D选项； 【详解】对于A，由基本不等式得，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，由得，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由于，则， 则， 当且仅当，即 时，等号成立，此时，最小值取不到1，但不等式正确，故C正确； 对于D，已知，则且， ，当且仅当，即时取等号，符合题意，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域需满足不等式，得且， 所以函数的定义域为. 13. 已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 14. 已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为______；若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】由过定点，又，得，解得，即可算出定点的坐标，把点坐标代入，利用“”的妙用和基本不等式即可求出答案. 【详解】由恒过定点，对于，有，则， 解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得，， 由， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以取得最小值为9. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，. 由可得. 解得. 则. 【小问2详解】 由知. 若，则，解得，此时满足题意. 若，则有，解得. 综上，实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求，的值； （2）证明：为定值； （3）利用（2）的结论求表达式：的值. 【答案】（1）， （2）证明：由，得， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式求得函数值. （2）利用函数的解析式证得为定值. （3）结合（2）的结论求得表达式的值. 【小问1详解】 已知函数， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， ． 17. 某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 （1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】（1）解析式为，该企业从第2年开始盈利；理由如下： 由题意可得， 由得且， 该企业从第2年开始盈利； （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：， 当时y取到最大值12800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 方案二：年平均盈利额万元， 当且仅当时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理. 【解析】 【分析】（1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2年开始盈利； （2）方案一：配方得到时y取到最大值12800，进而得到总利润为万元；方案二：年平均盈利额为，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为万元，得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）若，求当时的值域； （2）若，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求得的值域. （2）由进行因式分解，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. （3）利用换元法，结合二元二次方程根的分布列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 ，又， ，对称轴，开口向上， ，在处，取最小值且最小值为， 又，， ，即的值域为. 【小问2详解】 ，又， ，， 当时，不等式化为，解得，不等式解集为； 当时，方程的根为或， 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为. 【小问3详解】 令，则方程有四个不等实根， 即关于的方程有两个不相等的正实根, 即即有两个不等正实根， 则：， 解得： ， 所以实数的取值范围是:． 19. 已知奇函数 （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）函数，，是否存在实数b，使得函数的最大值为1？若存在，求出b的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）1 （2） 是上的增函数，证明如下： 设任意，，， 因为 所以， ，∴，，， ， ∴是上的单调增函数． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先利用奇函数的性质求出字母，然后检验； （2）根据函数单调性定义证明即可； （3）化简函数解析式得出，换元后，利用二次函数最值的求法，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 检验：当时，， 因为，故满足题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 令，由于，则， 即在上有最大值1， 因为二次函数开口向上，所以最大值在定义域端点处取得， 若， 此时有， 但此时，矛盾，不合题意； 若，此时有， 且此时，满足题意. 综上，存在，使函数的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $