精品解析：北京市通州区2026-2027学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷

通州区2026—2027学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2026年11月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知为正实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 2500 B. 2600 C. 4950 D. 5050 5. 已知数列为等比数列，且，公比，则数列的前7项的和为（ ） A. 121 B. 129 C. 185 D. 241 6. 若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 已知函数，若对于任意，都有（，），且的最小值为，则的一条对称轴方程可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数（，，），则下列结论正确的个数是（ ） ①在区间上有极小值 ②在区间上没有极大值 ③在区间上没有最小值 ④在区间上有最大值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，是的中点，，，的面积为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则________；的值域为________． 12. 已知向量，满足，，，则________． 13. 如图所示，三棱锥中，平面平面，，且，点为的中点，，则三棱锥的体积为________；的长为________． 14. 如图，已知是以为圆心，为半径的扇形舞台，且，米，现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，点，分别在线段，上，且，点，在弧上，则可升降舞台面积的最大值约为________（精确到0.1平方米）． （参考数值，） 15. 设数列的前项和为，若存在非零实数、，使得对于任意，都有 ，则称数列具有性质．给出下列四个结论： ①若，则数列不具有性质； ②若，则数列具有性质； ③存在等差数列具有性质； ④存在等比数列具有性质． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，且． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 在中，，． （1）求； （2）再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若不等式恰有个整数解，求的取值范围．（直接写出结果即可） 20. 已知函数，函数． （1）求的最值； （2）求证：当时，存在极大值； （3）设函数，若对于任意的实数，的图象在区间上与曲线无交点，求的取值范围． 21. 若非空数集满足，不存在，，，使得（允许），则称为无和集．无和集的元素个数记为． （1）直接判断集合和是否为无和集； （2）设集合，无和集，求的最大值； （3）设正整数集为，若不存在无和集，使得无和集 ，求证：为无限集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2026—2027学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2026年11月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 已知为正实数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由指对数函数的单调性，根据充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若，结合已知有，又在定义域上递增，故，充分性成立； 若，则，又在定义域上递增，故，必要性成立； 所以是的充要条件. 故选：C 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 2500 B. 2600 C. 4950 D. 5050 【答案】D 【解析】 【分析】先由递推关系判定原数列为等差数列，求出通项后，将所求的偶数项和转化为新等差数列的前50项和，代入求和公式计算即可. 【详解】∵， ∴是以2为公差的等差数列，从而是以4为公差的等差数列. 又∵，∴，从而，. ∴. 5. 已知数列为等比数列，且，公比，则数列的前7项的和为（ ） A. 121 B. 129 C. 185 D. 241 【答案】C 【解析】 【详解】已知数列为等比数列，且，公比，则． 令数列的前项的和为， 则 ． 6. 若，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、线面的位置关系，结合平面法向量的概念及性质判断各项的正误即可. 【详解】A：若，，则或，而，故，对； B：若，将视作的法向量所在直线，又，易知，对； C：若，，则，而，故，对； D：若，，则平行、异面、相交都有可能，错. 故选：D 7. 已知函数，若对于任意，都有（，），且的最小值为，则的一条对称轴方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先结合二倍角正弦公式，利用辅助角公式化简函数，然后利用函数最值及对称性可得函数的周期，进而求得，，利用整体法求得对称轴方程，即可判断. 【详解】， 若对于任意，都有（，），且的最小值为， 所以函数的最小正周期，，所以，所以， 所以， 令，则， 当时，的对称轴方程是，当时，的对称轴方程是， 当时，的对称轴方程是， 当时，的对称轴方程是， 结合选项可知A选项符合题意. 8. 已知定义在上的奇函数（，，），则下列结论正确的个数是（ ） ①在区间上有极小值 ②在区间上没有极大值 ③在区间上没有最小值 ④在区间上有最大值 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义得到，再对参数范围进行分类讨论并利用导数求解极值与最值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以在处有定义， 则，可得，得到，， 当时，，当时，， 当时，令，可得， 令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得的极小值为，的极大值为， 此时在区间上有极小值，有极大值，有最大值，有最小值， 当时，令，可得， 令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得的极大值为，的极小值为， 此时在区间上有极小值，有极大值，有最大值，有最小值， 综上可得在区间上有极小值，有极大值，有最大值，有最小值， 则列结论正确的个数是2个，故B正确. 9. 已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意将分段函数分类讨论，再利用分离参数法并结合导数求解参数取值范围即可. 【详解】由题意得在上恒成立，且， 当时，可得，即， 当时，满足，符合题意， 当时，得到，可得， 令，则， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，得到， 当时，可得，化简得， 令，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得，得到， 综上可得，即实数的取值范围为，故B正确. 10. 在中，，是的中点，，，的面积为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立坐标系，由面积得，用向量线性运算表示出，坐标，将坐标化化简，再用基本不等式求最小值. 【详解】以为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系， 设，，，由， 得， 由的面积为，有， 解得，由题意得， 于是，， 因为以为起点，所以， 又是的中点，故， 因此， 计算数量积： ， 代入，得，故， 由基本不等式，， 等号成立当且仅当，即，结合，解得，，满足条件， 所以， 即的最小值为. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则________；的值域为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】将代入，可得． 因为指数函数的底数，定义域为全体实数， 所以其在定义域内单调递增，且有， 所以，即其值域为． 12. 已知向量，满足，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过将问题平方并展开为，代入已知条件求值后再开平方即可求解. 【详解】由题意得，且， 即，则. 13. 如图所示，三棱锥中，平面平面，，且，点为的中点，，则三棱锥的体积为________；的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意， 平面，求得为等腰直角三角形，求得，以点为原点，建立空间直角坐标系，由，求得，得到三棱锥的高为，结合锥体的体积公式和向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】由，可得， 因为为的中点，且为等腰直角三角形，所以，且， 由平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又由，且，可得为等边三角形，所以， 同理可得，为等边三角形，所以， 在中，由，且，所以， 所以为等腰直角三角形，其面积为， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 设，由，且， 可得，所以， 所以点到平面的距离，即为点到平面的距离为， 即三棱锥的高为，所以其体积为， 又由，可得，则， 所以线段的长度为. 14. 如图，已知是以为圆心，为半径的扇形舞台，且，米，现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，点，分别在线段，上，且，点，在弧上，则可升降舞台面积的最大值约为________（精确到0.1平方米）． （参考数值，） 【答案】 【解析】 【分析】设，分别在和中用表示边和的长度，进而表示矩形的面积，最后利用两角和差公式等三角函数公式化简并求最值. 【详解】 记中点为，连结、、，易证和全等， 故，设为，则，. 因为，所以，. 在中，，故. 在中，，. 在中，， 由正弦定理有，所以. 矩形的面积 因为，所以，当即时， 取最大值（）. 15. 设数列的前项和为，若存在非零实数、，使得对于任意，都有 ，则称数列具有性质．给出下列四个结论： ①若，则数列不具有性质； ②若，则数列具有性质； ③存在等差数列具有性质； ④存在等比数列具有性质． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】①②是否正确取决于能否求出、的值，③④是存在性命题，可举特例说明其正确性. 【详解】对于①：时，；时，； 也符合，故. 等式左边，右边， 当且即，时恒成立， 所以数列具有性质，①错误； 对于②：，，，，. 假设数列具有性质，则存在非零实数、使得 即，而此方程组无解，假设不成立，②错误； 对于③：举特例，若是首项为、公差为的等差数列，则， 由①知，具有性质，③正确； 对于④：举特例，若是首项为、公比为的等比数列，则， 当为奇数时，，；当为偶数时，，. 令，得， 故存在，使得恒成立，具有性质，④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，且． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先结合诱导公式及的范围求得，根据最小正周期公式求的最小正周期，以为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （2）以为整体，结合正弦函数有界性分析求解. 【小问1详解】 因为函数，且． 所以，即， 又，所以，所以， 所以的最小正周期； 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，则， 可得， 当，即时，取得最小值.； 当，即时，取得最大值. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）取的中点为，连接， 因为为中点，所以， 而，，则，，故， 所以，则四边形为平行四边形， 故，而平面，平面，故平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角空间向量法计算求解即可； （3）根据点到平面距离空间向量法计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量可以为， 由题意可得平面的一个法向量可以为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由题意得，， 所以点到平面的距离为. 18. 在中，，． （1）求； （2）再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择条件①或条件③时，存在且唯一，面积为；选择条件②时，不存在，不符合要求 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合倍角公式可得，即可得角； （2）对于①：利用余弦定理解得，，进而可得面积；对于②：利用正弦定理分析判断；对于③：利用正弦定理可得，再利用余弦定理解得，进而可得面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 即， 且，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 若选择条件①：因为，即，且， 由余弦定理可得， 即，解得，，存在且唯一， 所以的面积为； 若选择条件②：因为，且， 由正弦定理可得，可得， 这与相矛盾，不存在； 若选择条件③：因为，且，则， 由正弦定理可得，可得， 由余弦定理可得， 即，解得或（舍去），存在且唯一， 所以的面积为. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若不等式恰有个整数解，求的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入求出切点坐标与切线斜率，再利用点斜式方程化简即可求得切线方程. （2）先求导函数，再分和两类讨论导函数的正负与零点，从而确定原函数的单调区间. （3）先排除并明确解必为正整数，再分离参数构造函数，利用其单调性锁定最小的两个正整数解并列出不等式组求解. 【小问1详解】 当时，，则， 且，在处的切线斜率， 则切线方程为，整理得. 【小问2详解】 由题意得， 当时，因为恒成立，因此恒成立， 此时的单调递增区间为，无单调递减区间. 当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【小问3详解】 当时，恒成立，无解， 当时，由（2）知在上单调递增， 且当时，，因此会产生无数个负整数解，不符合题意， 所以，且的整数解只能是正整数(若该不等式一定不成立)， ，设， 题意转化为在图象的上方，且恰好覆盖个正整数的横坐标， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，因为在上单调递增，所以， 若只有2个解，则这2个解一定是最小的两个正整数和， 进而有，即，即， 综上，的取值范围是. 20. 已知函数，函数． （1）求的最值； （2）求证：当时，存在极大值； （3）设函数，若对于任意的实数，的图象在区间上与曲线无交点，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，无最小值； （2）函数，， 令，，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，， 因为，所以，所以，， 所以，使得， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数存在极大值. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数计算求解即可； （2）求导，令，根据导数及零点的存在性定理可得，使得，进而根据导数与极值的关系计算即可证明； （3）根据题意结合（1）可得在区间上恒成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，， 所以函数在处有最大值为，无最小值； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对于任意的实数，的图象在区间上与曲线无交点， 所以当时，函数或， 由题意可得， 由（1）可得，当时，， 又因为时，，所以不恒成立， 故，即，即， 令，， 当，恒成立， 所以， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 21. 若非空数集满足，不存在，，，使得（允许），则称为无和集．无和集的元素个数记为． （1）直接判断集合和是否为无和集； （2）设集合，无和集，求的最大值； （3）设正整数集为，若不存在无和集，使得无和集 ，求证：为无限集． 【答案】（1）是无和集，不是无和集. （2） （3）反证法，设有限，设为中的最大元素，取， 令，任取， 若，，由是无和集， ，故， 若至少一个为，则，， 所以是无和集且 ，与条件矛盾，故为无限集. 【解析】 【分析】(1)根据无和集的定义，逐一验算集合内任意两元素之和是否属于该集合，直接进行判断； (2)先构造集合，验证它是无和集，得到一个可行的元素个数，再用反证法结合排序作差、抽屉原理证明元素个数不能超过； (3)采用反证法，假设是有限集，取出中的最大元素，选取一个足够大的新正整数并入，验证得到的新集合仍然是无和集，与题设条件矛盾，从而完成证明. 【小问1详解】 ，任意，，均不在中，故是无和集， ，取，满足，故不是无和集. 【小问2详解】 取，共个元素，任意，， 故，是无和集， 设是无和集，排序， 若，考察，共个差，与在内必有重合， 存在，故. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $