精品解析：北京市通州区2025-2026学年高三上学期期中质量检测数学试卷

通州区2025—2026学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2025年11月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由解得，所以， 所以 故选：A 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到复数，再根据复数的乘法计算可得. 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标是， 所以，所以. 故选：C 3. 已知命题“”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论， 所以命题“”的否定是. 故选：C 4. 下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的判定方法及函数在上单调递增，逐项求解即可判断. 【详解】对于A，，定义域为，，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，定义域为，， 所以为奇函数，又和都为上的增函数， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，函数是奇函数，但在上不是单调函数，故C错误； 对于D，，定义域为， 因为，所以为奇函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故D错误. 故选：B 5. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断AC；利用基本不等式判断BD. 【详解】对于A，若，则，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，当，，则，错误； 对于D：若，则，所以，正确. 故选：D. 6. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的运算律以及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】对于非零向量， 若，则，即； 反之，，则或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 7. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以. 故选：A 8. 已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过图象变换得到和的函数表达式，再根据重合条件逐一验证选项. 【详解】根据图象变换规则，甲得到的对应的函数为，乙得到的对应的函数为. 因为与重合，故. 选项A，，则，， 两者不相等，排除. 选项B，，则，， 两者不相等，排除. 选项C，，则，， 两者不相等，排除. 选项D，，则，， 两者相等，符合条件. 故选：D 9. 设函数，关于有下列四个结论： ①的导函数为周期函数，且最小正周期为； ②在上单调递增 ③的图象关于对称； ④方程在上有唯一解，则实数的值为． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求出，再举反例判断①，利用换元法结合复合函数的性质判断②，利用函数轴对称的定义判断③，利用三角恒等变换并结合换元法得到，再求出和的对应关系，进而确定参数值判断④即可. 【详解】对于①，由积化和差公式得 ， 则，而，， 不满足，则不可能是最小正周期为的函数，故①错误， 对于②，而，令，则可化为， 由二倍角公式得， 令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递减， 由余弦函数性质得在上单调递减， 由复合函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增，故②正确， 对于③，由题意得 ， 可得的图象关于对称，故③正确， 对于④，由题意得 ， 而，令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，，则， 当时，可得，解得，此时对应个， 当时，结合题意可得此时对应个， 若方程在上有唯一解，则与在上有唯一交点， 可得此时对应个，得到，而可化为， 此时，即，故④正确. 综上可得，其中正确结论的个数为3个，故C正确. 故选：C 10. 如图，正方形的边长为5cm，第一次操作：取正方形各边的中点，作第二个正方形；第二次操作：取正方形各边的中点，作第三个正方形，依此方法一直操作下去．若经过次这样的操作后，使得到所有正方形（包括正方形）的面积之和大于cm2，则的最小值为（ ） （参考数据：） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析正方形面积的等比数列规律，利用等比数列求和公式和对数运算求解不等式，确定的最小值. 【详解】第一个正方形面积，后续每个正方形面积是前一个的， 故面积构成首项，公比的等比数列. 经过次操作后，所有正方形（共个）的面积和为： ， 解不等式： ， 两边取对数（）： ， 故的最小值为. 故选：A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由被开方数不小于0,得出关于的对数不等式,求出的范围,即是定义域. 【详解】由, 所以函数的定义域是. 故答案为:. 【点睛】本题考查函数的定义域,解题的关键是对函数成立的限制条件要熟悉,属于基础题. 12. 已知向量，若，则实数的一个值为__________． 【答案】（或填） 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 解得或. 故答案为：（或填） 13. 已知数列为等差数列，，则__________；若，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先通过等差数列的项求出公差和首项，得到通项公式；再对数列进行裂项相消求和. 【详解】设等差数列的公差为. 由，，得，即. 又，故. 由，则. 所以. 故答案为：； 14. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，底面为矩形，．若m，m，m，且与平面所成角的正弦值均为，则该五面体的体积为__________m3． 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面夹角正弦值，可得直线与平面夹角正切值，结合题意可得几何体的高，再把几何体作如图分割，可得答案. 【详解】如图，做平面，取中点为， 则四点共线，，. 连接，则, , , 则， 则，如图作， 则，则五面体的体积为： m3. 故答案为： 15. 已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合．给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则都有． 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①②③，先根据新定义写出的等式，再结合函数的具体表达式，通过解方程判断解集，从而确定结论的正误；对于④，利用数形结合的方法，作出相关图象分析即可确定结论的正误. 【详解】对于①，已知，，则，所以，解得，即，所以①正确； 对于②，已知，，则，所以，解得，即，所以②正确； 对于③，已知，，当时，若，即，有，所以，无解， 若，即，有，所以，解得； 当时，，则，所以，无解.综上，，所以③错误； 对于④，已知，作图如下，将的图象左移个单位，即可得的图象， 则当时，总有使得，此时，所以④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求，再结合正弦定理和角的范围求； （2）利用正弦定理求边，再代入面积公式计算面积. 【小问1详解】 由，根据余弦定理得. 因为，所以. 又，即，，解得. 因为，所以，故. 【小问2详解】 由（1）知， . 由正弦定理，得. 三角形面积. 17. 设函数，且． （1）求的值； （2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：的图象关于点对称； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）利用的值求得. （2）条件①：通过正弦函数值域判定方程无解，函数不存在. 条件②：利用极值点求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. 条件③：利用对称中心求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. 【小问1详解】 由，得，又，故. 【小问2详解】 条件①：由，得，即. 因正弦函数的值域为，而，故此条件下函数不存在. 条件②：由是极值点，得（），解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得，则. 当时，，， 故的取值范围为. 条件③：由图象关于点对称，得（），解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得时，，则. 当时，，， 故的取值范围为. 18. 如图，在六面体中，为正方形，． （1）求证平面； （2）若二面角为直二面角，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接、. 由，，得且， 故四边形为平行四边形，从而且. 又为正方形，故且，因此且， 四边形为平行四边形，得. 因平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造中点，通过平行四边形证明线线平行，进而证得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求平面法向量，进而求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由二面角为直二面角，即平面平面，且交线为， 平面，所以平面， 由于平面，所以，所以两两互相垂直， 由此以为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，. 得，. 设平面的法向量为，则， 令，得，，即. 平面的法向量为. 则平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数有三个零点记为，其中和． （1）求实数的取值范围； （2）记曲线在点处的切线为，设直线与轴交点的坐标为，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据及，可知为的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式求解即可； （2）利用导数的几何意义求得直线的方程为，令得，结合得，，构造函数利用导数法求解值域，即可求得的范围. 【小问1详解】 ，显然， 由题意，为的零点， 因为和，为开口向上的抛物线， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 由得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令得， 由（1）知， 所以， 又及得， 所以，， 记，，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以的范围为. 20. 已知函数的定义域为，其导函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若，求证：函数的图象恒在函数的图象的上方； （3）若为的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意即证恒成立，令，即证恒成立，利用导数说明函数的单调性，即可求出，从而得证； （3）依题意可得在处左侧，右侧，结合（1）分和两种情况讨论，得到的单调性，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 因为定义域为， 令，则， 令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 要证函数的图象恒在函数的图象的上方， 即证恒成立， 令，即证恒成立， 又， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以恒成立，原命题得证. 【小问3详解】 因为为的极大值点， 所以在处左侧（不要求为），右侧（不要求为）， 当时，恒成立， 所以即在上单调递增，又， 此时当时，当时， 则在处取得极小值，不符合题意； 当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 则，即，解得， 此时当时，当时，则为的极大值点，符合题意； 综上可得实数的取值范围为. 21. 设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． （1）若为的覆盖数阵，求的值； （2）当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． （3）设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 【答案】（1）、、、、 （2）可为与 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义可得，则可得符合要求的值，即可得解； （3）构造有序数阵，计算可得该有序数阵也是的覆盖数阵，且，则可得的覆盖数阵成对出现，即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 则且，故，， 综上，有、、、、； 【小问2详解】 由，则，， 故， 又， 故， 则有， 即， 由，则， 当时，，不符； 当时，，不符； 当时，，符合， 实际上，符合要求； 当时，，符合， 由（1）知，符合要求； 综上所述：时，可为与； 【小问3详解】 若为的覆盖数阵， 则有，， 则存在有序数阵， 有，满足条件②， ，满足条件①， 故也为的覆盖数阵， 假设，则有，又， 则有，， 由，则与需恒为偶数，显然不可能， 故，故覆盖数阵成对出现，即为偶数，即有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2025—2026学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2025年11月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题“”，则为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，关于有下列四个结论： ①的导函数为周期函数，且最小正周期为； ②在上单调递增 ③的图象关于对称； ④方程在上有唯一解，则实数的值为． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，正方形的边长为5cm，第一次操作：取正方形各边的中点，作第二个正方形；第二次操作：取正方形各边的中点，作第三个正方形，依此方法一直操作下去．若经过次这样的操作后，使得到所有正方形（包括正方形）的面积之和大于cm2，则的最小值为（ ） （参考数据：） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______. 12. 已知向量，若，则实数的一个值为__________． 13. 已知数列为等差数列，，则__________；若，则__________． 14. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，底面为矩形，．若m，m，m，且与平面所成角的正弦值均为，则该五面体的体积为__________m3． 15. 已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合．给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则都有． 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 17. 设函数，且． （1）求的值； （2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：的图象关于点对称； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 如图，在六面体中，为正方形，． （1）求证平面； （2）若二面角为直二面角，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数有三个零点记为，其中和． （1）求实数的取值范围； （2）记曲线在点处的切线为，设直线与轴交点的坐标为，求的范围． 20. 已知函数的定义域为，其导函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若，求证：函数的图象恒在函数的图象的上方； （3）若为的极大值点，求实数的取值范围． 21. 设有序数阵，集合，（其中）．若满足：① ；②，则称 为集合的覆盖数阵． （1）若为的覆盖数阵，求的值； （2）当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵． （3）设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $