精品解析：广东广州市西关外国语学校2026-2027学年第一学期九年级上期中考试卷

2026学年第一学期期中考初三数学 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四种电路符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 3. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 4. 已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，绕点逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，顶点，在双曲线上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的倍，则的值是（ ） A. 30 B. C. D. 70 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____________． 12. 设是方程的两个实数根，则___________． 13. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． 14. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 15. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有__________（填序号）． 16. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 19. 若关于x的一元二次方程有一个根是， （1）求b的值及方程的另一个根； （2）若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 20. 甲同学进行羽毛球训练，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系．训练中，甲同学进行了一次发球，发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下表： 水平距离 竖直高度 根据以上数据，回答下列问题： （1）当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_________； （2）若在水平距离处放置一个高的球网，羽毛球_________（填“能”或“不能”）过网； （3）根据表格数据，求出该二次函数的解析式． 21. 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． （1）直接写出m，n的值； （2）求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： （3）从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若为x轴上的一动点，连接，当的面积为3时，求点P的坐标． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）该品牌头盔的进价为元个，商家经过调查统计，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． ①设头盔售价上涨元，月销售总利润为元，则单个利润为：_________元；销售量为：_________个；与的函数关系式为：_________； ②物价部门规定，该头盔售价不得高于元个，请问售价定为多少元时，每月获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 问题背景：如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 尝试应用：如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求DF：DE的值． 拓展创新：如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； （3）若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考初三数学 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四种电路符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，，熟练掌握根的情况与判别式的关系是本题求解的关键． 通过计算判别式的值，判别式的值为，可判断一元二次方程有两个不同的实数根． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可． 【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2， a=3>0，抛物线开口向上，A正确， x=1是对称轴，B正确， 抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确， 由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题． 4. 已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 函数图象在第二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，正确掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数 的图象和性质，逐一判断即可求解． 【详解】解：反比例函数 中，， 函数图象在第一、三象限，故选项A正确；选项B错误； 又， 在每个象限内， 随 的增大而减小，故选项D错误； 但选项C未限定“在每个象限内”，因此表述不准确，故选项C错误． 故选：A． 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规则即可直接求解 【详解】解：∵ 抛物线平移规则：左加右减，上加下减， 将 向左平移2个单位，得 ； 再向上平移4个单位，得 ， ∴ 所得到的抛物线的函数表达式为 ， 故选A 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 8. 如图，在中，，绕点逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，，则，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 10. 如图，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，顶点，在双曲线上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的倍，则的值是（ ） A. 30 B. C. D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设点H是的中点，可证明的面积是面积的倍，则可证明，则点E为的中点，根据中点坐标公式推出点D的横坐标为4，则，根据平行四边形的性质推出，根据，可得． 【详解】解：如图所示，连接，设点H是的中点， ∵四边形的面积是面积的倍， ∴四边形的面积是面积的倍， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积是面积的倍， ∴，即， ∵点H为的中点， ∴，即点E为的中点， ∴点H的横坐标为， ∴点D的横坐标为， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴的中点坐标与的中点坐标相同， ∴， ∴， ∵， ∴． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标规律，即两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标均互为相反数． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是 ． 故答案为：． 12. 设是方程的两个实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和． 【详解】解：方程中，，，根据根与系数的关系，． 故答案为：． 13. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】先求解给定的一元二次方程，再分两种情况讨论等腰三角形的边长组合，结合三角形三边关系排除无法构成三角形的情况，最终计算有效组合的周长． 【详解】解：∵ 已知方程为 ∴ 直接开平方得或 ∴ 解得方程的两个解为，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 1．当底边长为2，腰长为4时，三角形三边长为2，4，4， ∵ ，满足三角形任意两边之和大于第三边的构成条件， ∴ 该组合可以构成三角形，此时周长为； 2．当底边长为4，腰长为2时，三角形三边长为4，2，2， ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边的构成条件， ∴ 该组合无法构成三角形，需舍去； ∴ 综上，的周长为10． 14. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 15. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有__________（填序号）． 【答案】 ②③④ 【解析】 【分析】根据图象开口方向判断的符号，结合对称轴判断与的关系，根据与轴交点判断的符号；利用对称性确定时的函数值符号；利用函数的最值性质判断不等式 . 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上 ， ， 对称轴为直线， ，故②正确； ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，即，故③正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最小值， 当时，， ，即，故④正确 综上所述，正确的结论是②③④ . 16. 如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线；交x轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定，，的解析式为，图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的解析式为， 根据题意，得函数图象开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等， ∵， ∴m与时的函数值相等， 当时，． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 则或， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ， 则或， 所以． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到，画出并写出点B的对应点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，． 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称作图，旋转变换作图，轴对称作图． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 19. 若关于x的一元二次方程有一个根是， （1）求b的值及方程的另一个根； （2）若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【答案】（1），方程的另一个根为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【小问1详解】 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． 【小问2详解】 解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 20. 甲同学进行羽毛球训练，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系．训练中，甲同学进行了一次发球，发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下表： 水平距离 竖直高度 根据以上数据，回答下列问题： （1）当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_________； （2）若在水平距离处放置一个高的球网，羽毛球_________（填“能”或“不能”）过网； （3）根据表格数据，求出该二次函数的解析式． 【答案】（1） （2）能 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性求出其对称轴，即可得解； （2）由抛物线的对称性可知，当时，， 即可得解； （3）由（1）得到， ，再将点代入解析式求解，即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可知，当时，；当时，， ∴对称轴为直线， ∴当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， 当时，， ∴由抛物线的对称性可知，当时，， ∵， ∴羽毛球能过网； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∴， ∵过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． 21. 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． （1）直接写出m，n的值； （2）求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： （3）从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】（1）， （2）本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 （3）从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【解析】 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，． 【小问2详解】 ∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． 【小问3详解】 ∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若为x轴上的一动点，连接，当的面积为3时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）先求出，表示出，根据的面积为3，表示出，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：（1）函数的图象经过， ， 解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 函数的图象经过， ， ， 由图可得，不等式的解集是：或； 【小问3详解】 如图： 在中，当时，得， 解得：， ， ， ， ，， ， 解得：或8， 点P的坐标为或． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）该品牌头盔的进价为元个，商家经过调查统计，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． ①设头盔售价上涨元，月销售总利润为元，则单个利润为：_________元；销售量为：_________个；与的函数关系式为：_________； ②物价部门规定，该头盔售价不得高于元个，请问售价定为多少元时，每月获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）①；； ②售价定为元时，利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可； （2）①根据题意，用含x的式子表示出单个利润和销售量，再根据“总利润单个利润销售量”，列出与的函数关系式；②根据题意，先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，不合题意，舍去， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：①单个利润为元， 销售量为个， ，即； ②， ， ，， 当时，取得最大值，为（元）， （元）， 答：售价定为元时，利润最大，最大利润元． 24. 问题背景：如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 尝试应用：如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求DF：DE的值． 拓展创新：如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值． 【答案】（1）旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是；（2）；（3）+1 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得出，，，，证明，由旋转性质即可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得，，得出，由直角三角形性质得，则可计算出答案； （3）过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE，由直角三角形的性质求出BE、PE的长即可得解． 【详解】解：（1）∵，都是等边三角形， ∴，，，，， ， ， 可以由绕点A顺时针旋转得到， 即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是； （2）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设BF=x，则CF=DF=2x，DE=3x， ∴； （3）， ∴ 点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD， ， 如图，过点A作，且使AE=AD，连接PE，BE， ∵ 将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AP， ，PA=AC． ， ， ， ∴ PE=CD=1． ∵ AB=2，AE=AD=1， ∴ BE===， ， ∴ BP的最大值为+1． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握旋转的性质是解题关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于D，E两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若P是抛物线上的点且在直线l的上方，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及该面积的最大值； （3）若Q是抛物线上的点，连接，且，请求出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为，该面积的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得一个点的坐标；然后延长至点，使得，连接，先求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得另一个点的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入得：， 解得， 所以抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意，设点的坐标为， 如图，过点作轴，交直线于点，则， ∴， 联立，解得或， ∴，， ∴，的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为，该面积的最大值为． 【小问3详解】 解：将代入得：， 解得或， ∴， ∴， 如图，过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点是满足条件的点， 联立，解得（即为点）或， ∴此时点的坐标为； 如图，延长至点，使得，连接， ∴，点是的中点， ∴，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴直线与抛物线的另一个交点也是满足条件的点， 联立，解得（即为点）或， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $