精品解析：广东东莞市黄江中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中质量检测

2026-2027学年第一学期期中质量检测 九年级数学 （总分：120分，时长：120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数图象，则下列点中不在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 其图象经过点 B. y随x的增大而减小 C. 其图象位于第一、第三象限 D. 当时， 8. 已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ）. A. B. C. 且 D. 且 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若方程的两根为和，且，则；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是______． 12. 如果是抛物线图像上的两点，那么__________．（填“>”、“＜”或“＝”） 13. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 14. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，A、B的纵坐标分别是2和4，连接OA、OB，则△OAB的面积是___________． 15. 如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形OABC的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则的值为_________． 三、解答题（共3小题，每题7分，共21分） 16. 解一元二次方程 17. 密闭容器内有一定质量的一氧化碳，当容器体积V（单位：）变化时，气体密度ρ（单位：）随之变化．在一定范围内，密度ρ是体积V的反比例函数，其图象如图所示． （1）求密度ρ关于体积V的函数解析式； （2）当时，求V的取值范围． 18. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 四、解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，且，求k的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为_________． （3）连接，求的面积． 21. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元． （1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润； （2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元?最大利润为多少元? 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 （1）任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． （2）任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． （3）任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中质量检测 九年级数学 （总分：120分，时长：120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据，得，得顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即顶点坐标是， 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项与B选项均含两个未知数，不符合要求． C选项中未知数最高次数为1，不符合要求． D选项仅含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义． 3. 已知反比例函数图象，则下列点中不在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：反比例函数满足． ∵，， ∴点不在此函数图象上． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 5. 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即． 6. 班级元旦晚会，同学们互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了1560件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积．每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：D． 7. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 其图象经过点 B. y随x的增大而减小 C. 其图象位于第一、第三象限 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】由于，图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小，再逐项验证是否符合性质即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小； A．当时，， ∴图象经过点，正确； B．未限定“同一象限”，直接说“随增大而减小”错误； C．∵， ∴图象位于第一、三象限，正确； D．当时，， ∴当时，，且， ∴，正确． 8. 已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ）. A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点与的符号有关，可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象和x轴有交点， ∴，且， ∴且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，明确的符号决定了抛物线与x轴的交点个数是解题的关键． 9. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 10. 二次函数（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若方程的两根为和，且，则；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称轴，即可判断①结论；根据二次函数的性质可知，二次函数与轴的交点为和，代入二次函数解析式，求得，即可判断②结论；根据函数图象，得出，解得或，即可判断③结论；利用①结论，即可判断④结论． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， ，①结论正确； 二次函数的图象过点，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点为， ， 解得：， ， 二次函数的图象开口向下， ， ， ，②结论正确； ， ， ， ， ， 或， 方程的两根为和，且， ，③结论正确； 由①结论可知，， ， ，④结论错误， 正确的结论有①②③． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像位于第一、三象限时，比例系数大于零是解题的关键． 反比例函数图像位于第一、三象限时，比例系数大于零，即，再解不等式即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴比例系数， 解得：． 故答案为：． 12. 如果是抛物线图像上的两点，那么__________．（填“>”、“＜”或“＝”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线开口向上，对称轴为，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 【详解】解：点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵抛物线开口向上，且， ∴． 故答案为：>． 13. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得：，从而可得，然后代入并进行计算，即可解答． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，A、B的纵坐标分别是2和4，连接OA、OB，则△OAB的面积是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可． 【详解】解：∵点A、B在反比例函数的图象上，A、B的纵坐标分别是2和4， ∴A（4，2），B（2，4）， 作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，如图所示： ∴S△AOD＝S△BOE＝×8＝4， ∵S△OAB＝S△AOD＋S梯形ABED−S△BOE＝S梯形ABED， ∴S△AOB＝． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是掌握（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 15. 如图，正方形OABC的顶点B恰好在函数的图象上，若正方形OABC的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作BD⊥x轴，连接OB，根据正方形性质可知OA=OB，∠A=90°可得∠BOD=60°，再由勾股定理即可得，将点B代入即可求解； 【详解】解：作BD⊥x轴，连接OB， 根据正方形性质可知OA=AB，∠A=90°， ∴∠AOB=45°， ∵∠AOD=15°， ∴∠BOD=60°， ∵ ∴， ∴， 将点B代入得， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键． 三、解答题（共3小题，每题7分，共21分） 16. 解一元二次方程 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， ， 即． 17. 密闭容器内有一定质量的一氧化碳，当容器体积V（单位：）变化时，气体密度ρ（单位：）随之变化．在一定范围内，密度ρ是体积V的反比例函数，其图象如图所示． （1）求密度ρ关于体积V的函数解析式； （2）当时，求V的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）密度ρ与体积V是反比例函数关系，设函数解析式为，根据已知条件将代入即可得出解析式； （2）先分别求出和的对应的V值，再根据反比例函数单调性确定V的取值范围． 【小问1详解】 解：设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为：， 将点代入解析式得，解得， ∴密度ρ关于体积V的反比例函数解析式为：． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴当时，． 18. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 四、解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为，且，求k的值． 【答案】（1）证明： ∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出_________，_________，一次函数表达式为_________； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为_________． （3）连接，求的面积． 【答案】（1）；2；； （2）或； （3）3 【解析】 【分析】（1）将、的坐标代入中，即可求出m、n的值，再根据待定系数法求解即可； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【小问1详解】 解：把点代入， 得，， ∴， 代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：根据图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴的解集为：或； 【小问3详解】 解：将代入，得    ∴，即， ∴． 21. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元． （1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润； （2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元?最大利润为多少元? 【答案】（1）销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； （2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解； （2）设商品的利润为w元，得到w与x的二次函数关系式并配成顶点式，根据自变量取值范围和二次函数的性质，即可求出当x=50时，w有最大值，此时w=1200，问题得解． 【小问1详解】 解：由题意得， 整理得， 解得， 由题意得， ∴不合题意，舍去， ∴， 答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； 【小问2详解】 解：设商品的利润为w元，由题意得 （）， ∵-2＜0， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当x=50时，w有最大值，此时w=1200， 答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，熟知二次函数的性质，根据题意正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解题关键，解题时一定要注意商品单价的取值范围． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 （1）任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． （2）任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． （3）任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 【答案】（1）； （2）10 （3）不能 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，裁剪了，据此写出代数式即可； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【小问1详解】 解：根据题意无盖收纳盒的底面长；底面宽； 【小问2详解】 解：∵无盖收纳盒的底面长；底面宽；底面积为， ∴， 解得或， ∵底面宽，即， ∴舍去， ∴， 答：裁去小正方形的边长x的值为10． 【小问3详解】 解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴收纳盒的高为，，， ∵书本为，宽为，厚度为， ∴书本的最大边长大于收纳盒的最大边长， ∴书本不能完全放入该收纳盒内． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $