精品解析：浙江舟山市六校联盟2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

舟山市六校联盟2026学年第一学期期中考试 高二数学试题卷 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（     ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 故选：C. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底的定义，结合共面向量定理，列出方程组，结合方程组解的情况，即可求解. 【详解】A中，设，可得，解得， 所以向量共面，所以不能作为空间基底，所以A错误； B中，设，可得，此时方程组无解， 所以可以作为空间的一个基底，所以B正确； C中，设，可得， 解得，不能作为空间基底，所以C错误； D中，设，可得，即， 所以不能作为空间基底，所以D不正确. 故选：B. 3. 已知直线：，：若，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】依据直线平行的公式计算可求出的值，注意检验直线重合. 【详解】，，解得：或. 当时，直线：，直线：，两直线重合； 当时，经检验，满足题意； 综上，. 故选：C 4. 如果方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，列出不等式，即可求解. 【详解】若方程为椭圆方程，则满足，解得且. 故选：D. 5. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由圆关于直线对称， 得该圆的圆心在直线上，则， 所以. 6. 如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值. 【详解】连接、， 因为， 因为是线段上一点，且，则， 因此， 因此，. 故选：A. 7. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船的正东方向距离40km的A处，沿直线以28km/h的速度驶往位于海监船的正北方向30km的B处，则该轮船被海监船雷达检测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.5小时 C. 0.75小时 D. 0.25小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，求出直线方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，结合勾股定理求出弦长，最后根据路程、速度、时间的关系求解. 【详解】以海监船为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 依题意，设轮船出发点位于，目的地位于，则直线的方程为， 整理得，因为圆心到直线的距离， 则直线与以为圆心，半径为25km的圆相交， 而轮船在监测区域内航行的路程即为该圆被直线截得的弦长， 因弦长， 又因轮船的航行速度为. 则轮船在监测区域内航行的时间(小时). 8. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，分别在，和中，利用相似比求出，再根据即可得解. 【详解】不妨令点在第一象限，设， 因为， 在中，则， 即，所以， 在中，则， 即，所以， 在中，则， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 即的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ∥ D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，直接求出两向量的模进行判断，对于B，通过求两向量的数量积判断，对于C，由共线向量定理判断，对于D，利用向量的夹角公式求解判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，所以与不垂直，所以B错误， 对于C，若∥，则存在唯一实数，使，所以， 所以，方程组无解，所以与不平行，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以D正确， 故选：AD. 10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点是上的动点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的面积的最大值为 D. 的周长为12 【答案】BD 【解析】 【分析】由给定的椭圆方程求出，再逐项求解判断. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的离心率，A错误； 对于B，，以线段为直径的圆与椭圆无公共点，即点在该圆外，因此，B正确； 对于C，在中，令点的纵坐标为，则该三角形的面积，C错误； 对于D，的周长为，D正确. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，G是上的动点.则（ ） A. G为的中点时，平面平面 B. G为的中点时，平面 C. P是所在直线的动点，则的最大值为 D. 存在点G，使得直线与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用圆柱性质和等腰直角三角形性质证明平面，结合面面垂直判定定理可判断A；利用直线平行的传递性证明，然后由线面平行判定定理可判断B；建立空间直角坐标系，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置得，从而结合三角形两边之差小于第三边得当（P在延长线上）三点共线时取得最大值为，求出即可判断C；求出平面的法向量，根据线面角的向量公式列方程求解可判断D. 【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内， 由圆柱性质可知平面， 又平面，所以， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，因为为圆柱底面圆的直径，所以， 由A，，所以， 由棱柱性质可知，，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，以中点为原点，所在直线为轴，圆柱的旋转轴为轴， 过点垂直于平面的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则中点（即弧所在圆的圆心）的坐标为， 如图，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置， 则平面平行于底面，且，， 则由三角形两边之差小于第三边可知当（P在延长线上）三点共线时取得最大值为， 又弧所在圆圆心为、半径为2， 所以， 所以P是所在直线的动点，则的最大值为，故C正确； 对于D，由C可得则， 因为点在以为直径的半圆上，所以可设， 则， 设平面的法向量为， 则， 显然，即，令则得， 若存在点，使得直线与平面所成的角为， 则， 整理得， 令，得， 因为，即方程无解， 所以不存在点G，使得直线CF与平面所成的角为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：P是所在直线的动点，求的最大值关键是以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置得到，将求的最大值转化成的最大值，从而结合三角形两边之差小于第三边将问题转化成求而得解. Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】首先整理可得，解方程组即可得解. 【详解】由可得： ， 所以， 解得，所以定点坐标为， 故答案为：. 13. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 14. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，又点到直线的距离的倍，分析求解即可. 【详解】 如图，右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的倍， 则，即. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量，． （1）求，； （2）若向量与垂直，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量坐标运算法则计算可得； （2）首先求出与的坐标，再由垂直得到，解得即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 又向量与垂直，所以， 解得. 16. 已知圆的圆心为，且圆经过点，直线：. （1）求圆的标准方程； （2）若直线：与圆相交于，两点，求弦的长. （3）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【答案】（1） ； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）依题求出圆的半径，即得其标准方程； （2）先求出圆心到直线的距离，利用弦长公式计算即得； （3）先求出所求直线的斜率，由点斜式方程即得. 【小问1详解】 因圆心为，且圆经过点， 则圆的半径为 ， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 因 圆心到直线的距离为 ， 则弦的长为； 【小问3详解】 由直线：可知其斜率为1，则与之垂直的直线斜率为， 故所求直线方程为，即. 17. 已知椭圆：的离心率为，椭圆的长轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于、两点，点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）由于直线过定点，该点在椭圆内， 所以直线与椭圆必有两个交点， 由，消去并化简得， 设，，则，， ， ， ， . 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程. （2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数关系，进而计算出为定值. 【小问1详解】 依题意可得：，解得，，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）； （3） 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 平面直角坐标系中，，其中,直线与直线交于点 的轨迹为椭圆 的一部分． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与E交于两点， ①若 ，求实数的取值范围； ②已知点，直线与分别交于另一点为，令直线的斜率为，求 的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意表示出直线的方程和直线的方程，将两式相乘，化简即可求得答案； （2）①设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，由，可得，代入根与系数的关系，结合不等式性质求解，即可得答案；②由三点共线，推得，设直线（斜率不为0）的方程并联立椭圆方程，结合根与系数的关系可求出C点坐标，同理得D点坐标，即可表示出，结合化简，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得，直线的方程为； 直线的方程为，即； 两式相乘得，化简得； 故结合题意可知椭圆E的方程为； 【小问2详解】 ①由于直线l的斜率大于0. 故设直线l的方程为，， 由得， 需满足，解得， 则， 而， 由，可得 ， 由于，故，则，则， 故，即； ②由于三点共线，所以，即， 整理得， 设直线（斜率不为0）的方程为， 联立，得，， 则， 又，， 故， 所以， 同理可得， 则， 将代入上式，得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舟山市六校联盟2026学年第一学期期中考试 高二数学试题卷 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（     ） A. B. C. 1 D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成一个基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：若，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 与 4. 如果方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 5. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船的正东方向距离40km的A处，沿直线以28km/h的速度驶往位于海监船的正北方向30km的B处，则该轮船被海监船雷达检测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.5小时 C. 0.75小时 D. 0.25小时 8. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ∥ D. 10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点是上的动点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的面积的最大值为 D. 的周长为12 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，G是上的动点.则（ ） A. G为的中点时，平面平面 B. G为的中点时，平面 C. P是所在直线的动点，则的最大值为 D. 存在点G，使得直线与平面所成的角为 Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线过定点______. 13. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则_________． 14. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间向量，． （1）求，； （2）若向量与垂直，求实数的值． 16. 已知圆的圆心为，且圆经过点，直线：. （1）求圆的标准方程； （2）若直线：与圆相交于，两点，求弦的长. （3）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 17. 已知椭圆：的离心率为，椭圆的长轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于、两点，点，求证：为定值. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 平面直角坐标系中，，其中,直线与直线交于点 的轨迹为椭圆 的一部分． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与E交于两点， ①若 ，求实数的取值范围； ②已知点，直线与分别交于另一点为，令直线的斜率为，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $