浙江省舟山市高二数学上学期期中自编模拟卷（人教A版）

2025-2026学年浙江省舟山市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修1，第一，二，及三章第一节，第二节内容 。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 2．已知直线，且，则实数a的值为（    ） A．5 B．1 C．5或 D． 3．设点，若经过点的直线关于轴的对称直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，，.则点到面的距离是（    ） A． B． C． D． 5．若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 10．已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则直线的方程为 B．若点是圆上任意一点，则的最大值为 C．若直线与圆相切于点，则 D．若直线与圆相切，则直线的方程为或 11．已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若四点共面，则实数为_______. 13．如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为__________． 14．，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且． (1)求证：平面ACF； (2)求点E到平面ACF的距离． 16．（15分）已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程； （3）求三角形的面积.（为坐标原点） 17．（15分）已知，直线：与圆：交于，两点． (1)求证：直线过定点； (2)若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程； (3)求面积的最大值． 18．（17分）如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直， . (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 19．（17分）阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省舟山市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修1，第一，二，及三章第一节，第二节内容 。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】由两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角. 【详解】因为两点的纵坐标相等， 所以直线平行于轴， 所以直线的倾斜角为0°． 故选：A 2．已知直线，且，则实数a的值为（    ） A．5 B．1 C．5或 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答. 【详解】直线，，由解得或， 当时，直线与重合，不符合题意， 当时，直线与平行， 所以实数a的值为. 故选：D 3．设点，若经过点的直线关于轴的对称直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的斜率为，则的斜率，进而：，利用直线与圆的位置关系和点线矩公式可得，解之即可求解. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，则， 由题意知，直线的斜率为. 点关于轴对称的点为， 所以，即， 由知，圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 又直线与圆有公共点，所以， 整理得，解得， 即直线的斜率的取值范围为. 故选：C 4．在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，，.则点到面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出平面的一个法向量，再求出在方向上的投影的绝对值即可． 【详解】由题意, 设平面的一个法向量为，则 ，取，则， ∴，即到平面的距离是． 故选：A. 【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设是平面的一个法向量，是平面内任一点，则到平面的距离是． 5．若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆上点到直线距离为1的点的个数可知圆心到直线的距离为1，计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1可知圆心到直线的距离为1， 即，解得. 故选：B 6．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离. 【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量， 在平面上任取一点，则， 所以点到平面距离. 故选：C. 8．已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可. 【详解】曲线可化为， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题：题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线与轴交于，两点，，是曲线上任意两点，则（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线圈成图形的面积为 C．的最大值为 D．的面积最大值为 【答案】ABC 【分析】化简曲线方程，并作出大致图像，由图像可判断曲线是否为中心对称图形； 由对称性可先求其的面积再得到图形总面积；借助图像找到曲线上距离最大的两个点并求出距离；由图像找到使得取面积最大值的点的位置，并求出点的纵坐标的绝对值，然后求得此时的面积. 【详解】即， 则，即， 曲线是四个圆组合成图形，如图： 由图可知曲线是中心对称图形，A选项正确； 如图，∵，∴为圆的直径，∵，∴， ∴曲线圈成图形的面积为，B选正确； 如图，当且仅当两点与所在弧对应圆心四点在同一直线上时，距离最大， 由解析式可知：， ∴最大值为，C选项正确； 如图：当在曲线的最高点或最低点是三角形面积最大，即， 又，， ∴，D选项错误. 故选：ABC. 10．已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则直线的方程为 B．若点是圆上任意一点，则的最大值为 C．若直线与圆相切于点，则 D．若直线与圆相切，则直线的方程为或 【答案】ACD 【分析】由直线过圆心，再结合直线的点斜式方程即可判断A，由的最大值为，即可判断B，由勾股定理代入计算，即可判断C，分切线的斜率存在于不存在代入计算，结合列方程计算，即可判断D. 【详解】对于A中，由圆，得圆心，半径， 若圆关于直线对称，则直线经过圆心，所以直线的斜率为， 此时直线方程为，即，所以A正确； 对于B中，由，的最大值为，所以B错误； 对于C中，若直线与圆相切于点， 则，，所以C正确； 对于D中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，若直线与圆相切，则直线的方程为或，所以D正确. 故选：ACD 11．已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】由椭圆C：，得，则， 所以， 因为点P是椭圆上的一个动点，所以， 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得， ， 即，则， 所以， 所以的面积为，故B正确； 对于C，当点位于椭圆得上下顶点时，最大， 当点位于椭圆得上下顶点时，， 此时为等边三角形，故的最大值为， 所以椭圆C上不存点，使得，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 经检验符合题意，所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若四点共面，则实数为 . 【答案】8 【分析】根据空间中四点共面可得向量共面，进而可求解. 【详解】四点共面，存在实数，使得， ，解得. 故答案为：8 13．如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知得，，，长度为2，且两两夹角已知，可用三个向量表示出，表示出模长即可得到最小值. 【详解】由题意知，ABCD，CDEF都是正方形， 则，且，， 所以即为二面角的平面角，即. 因为，，设， 则，且，， 则 则， ， 则，当时，有最小值为. 所以，. 所以，线段MN长的最小值为. 14．，是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别为曲线，的离心率，为曲线，的一个公共点，若，且，则 . 【答案】 【解析】不妨设点在第一象限，设，，在中，由余弦定理可得：，，进而得到，根据范围可得到结果. 【详解】如图所示， 设椭圆的方程为，半焦距为，双曲线的方程为，，半焦距为， 不妨设点在第一象限，设，， ，， ，， 在中，由余弦定理可得：，， 两边同时除以，得， ，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的综合，通过计算得到是解题的关键，意在考查学生的计算能力和逻辑思维能力，属于常考题. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且． (1)求证：平面ACF； (2)求点E到平面ACF的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直． （2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果． 【详解】（1）解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，， ，2，，，0，，，0，，，2，， ，2，，，2，，，，，，0，． ，， ，，且，平面， 平面 （2）解：由（1）知，为平面的一个法向量，，， 向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是， 故点到平面的距离； 16．已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程； （3）求三角形的面积.（为坐标原点） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由条件得到，求椭圆方程； （2）直线的方程是，与椭圆方程联立求线段的中点，写出垂直平分线方程； （3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可计算出三角形的面积. 【详解】（1）由题意可知，， ，， 椭圆的方程是； （2）椭圆的左焦点 ,直线的方程是 ， 与椭圆方程联立，得， ，， 代入直线的方程得，线段的中点是， 并且线段的垂直平分线的斜率是-1， 线段的垂直平分线的方程是，即； （3）由（2）可知， ， ， 原点到直线的距离，. 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，意在考查直线方程和椭圆中三角形面积的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具. 17．已知，直线：与圆：交于，两点． (1)求证：直线过定点； (2)若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）将直线方程转化为，再解方程组即可求得直线恒过的定点坐标； （2）根据题意，求得，以及圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求得，即可求得直线方程； （3）由，结合直线截圆所得弦长公式，将其转化为关于的函数，结合的取值范围，即可求得面积的最大值. 【详解】（1）由：，得， 因为，故可得，解得，所以直线过定点. （2）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧． 直线与圆交于，两点，则． 圆方程为，故其圆心坐标为，半径， 在△中，由余弦定理，解得， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得； 又直线方程为：， 故有，整理得，解得， 所以，直线的方程为． （3）当时，圆心到的距离取得最大值，最大值为， 所以的取值范围为，又， 故面积为， 其中， 故当时，， 所以面积的最大值为． 18．如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理即得.. （2）以D点为原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用空间向量求得二面角的余弦值； （3）设，求得平面的法向量为，若平面平面，则，从而解得的值，找到Q点的位置. 【详解】（1）由平面平面，平面平面，平面， ，得平面，而平面，所以. （2）由，，平面，则平面， 而平面，于是，由，得， 故直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则令，得， 因此，由图得二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）假定在线段上存在点，使得平面平面， 设，则， 设平面的法向量为，又， 则，令，得， 由平面平面，得，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，此时. 19．阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【详解】（1）右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由，， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为. （2）若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. （3）   ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得， ， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： . 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省舟山市上学期期中自编模拟卷 高二数学 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C A B B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 8 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直． （2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果． 【详解】（1）解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴 建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，， ，2，，，0，，，0，，，2，，--------------------------2分 ，2，，，2，，，，，，0，． ，，--------------4分 ，，且，平面， 平面-----------------------------------------------------------------------------------6分 （2）解：由（1）知，为平面的一个法向量，，，------------------------------------------------9分 向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是， 故点到平面的距离；-------------------------------------------------------------13分 16．（15分） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由条件得到，求椭圆方程； （2）直线的方程是，与椭圆方程联立求线段的中点，写出垂直平分线方程； （3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可计算出三角形的面积. 【详解】（1）由题意可知，， ，， 椭圆的方程是；------------------------4分 （2）椭圆的左焦点 ,直线的方程是 ， 与椭圆方程联立，得， ，，----------------------------------7分 代入直线的方程得，线段的中点是， 并且线段的垂直平分线的斜率是-1， 线段的垂直平分线的方程是，即；-------------10分 （3）由（2）可知， ， ，------------------------12分 原点到直线的距离，.--------------------15分 17.（15分） 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）将直线方程转化为，再解方程组即可求得直线恒过的定点坐标； （2）根据题意，求得，以及圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求得，即可求得直线方程； （3）由，结合直线截圆所得弦长公式，将其转化为关于的函数，结合的取值范围，即可求得面积的最大值. 【详解】（1）由：，得， 因为，故可得，解得，所以直线过定点.---------4分 （2）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧． 直线与圆交于，两点，则． 圆方程为，故其圆心坐标为，半径， 在△中，由余弦定理，解得，------6 分 设圆心到直线的距离为，则，即，解得； 又直线方程为：， 故有，整理得，解得，--------------------9分 所以，直线的方程为． （3）当时，圆心到的距离取得最大值，最大值为， 所以的取值范围为，又， 故面积为，-----------12 分 其中， 故当时，， 所以面积的最大值为．----------------------------------------------------------------15分 18.（17分） 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理即得.. （2）以D点为原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用空间向量求得二面角的余弦值； （3）设，求得平面的法向量为，若平面平面，则，从而解得的值，找到Q点的位置. 【详解】（1）由平面平面，平面平面，平面， ，得平面，而平面，所以.------------------5分 （2）由，，平面，则平面， 而平面，于是，由，得， 故直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，-----------------7分 则， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则令， 得，-------------------------------------------------------------------------------------------9分 因此，由图得二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为.---------------------------------------------------------11分 （3）假定在线段上存在点，使得平面平面， 设，则， 设平面的法向量为，又， 则，令，得，-----------------14分 由平面平面，得，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，此时.-------------------17分 19．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【详解】（1）右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由，， 双曲线的标准方程-----------------------------------2分 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为.-----------------------------5分 （2）若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得：----------------------------8分 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：.---------------------------------10分 （3）   ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即，------------------12分 由 设， 由韦达定理可得，，------------------------------14分 直线，得， 直线，得， ， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： .-----------------------------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $