-2026‑2027学年人教版九年级数学上册期中考试押题卷 （测试内容：第25章一元二次方程---第28章旋转）

（人教版2024版）九年级数学上学期 数学期中考试押题卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（     ） A．B．C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（     ） A． B． C．或 D． 4．如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 7．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为（    ） 9．如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，，在边，，，上分别取点E，F，G，H，使．设的长为x，四边形的面积为y，则下列图象能反映y与x之间关系的是（   ） A． B． C．D． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 12．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 13．已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为一元二次方程的一个实数根，则这个三角形的面积为________． 14．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 15．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 16．如图1，在钝角中，，为边上一动点（不与点重合），以点为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角，连结．设，，若关于的函数图象如图2所示，则（1）________；（2）面积的最大值为________． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分解方程： (1)(用配方法解)；(2) 18．（8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是平行四边形的两条对角线的长． (1)当时，求的值． (2)当为何值时，四边形是矩形？ 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度； 请画出平移后的． 如果看成一次平移，则平移的距离是____________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的． 20．（8分）坪山聚龙公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入达到元？ 21．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 22．（10分）【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃．实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．一只微型机器狗起跳后的最高点距地面，起跳点与落地点的距离是． 【数学建模】如图，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，机器狗在水平地面上的起跳点为，落地点为，以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．      【问题解决】 (1)请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． (2)如图，若机器狗从点正上方的台面点处起跳，落地点为，点在轴的正半轴上，求落地点到原点的水平距离的长． (3)实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形， ， ．机器狗从距离左侧的点处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进 ，才能刚好安全通过障碍物．（请直接写出答案） 23．（10分）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 24．（12分）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ （人教版2024版）九年级数学上学期 数学期中考试押题卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．结合各选项所给图形进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项正确，符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意． 2．反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在中，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限是解题的关键． 由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴． 故选：D． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 【详解】解：∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ． 4．如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，根据旋转角的定义，得，解答即可． 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 根据旋转角的定义，得， 故选：C． 5．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x=m≥1，故可得出关于m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y=（x-m）2-2，中，a=1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴x=m≥1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 6．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 7．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 8．如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为（    ） A. 3 B． C．4 D． 【答案】A. 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 故选：A． 9．如图，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角可得，过点作轴于，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点的坐标，再把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】如图，过点作轴于，连接， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得． 10．如图，在菱形中，，，在边，，，上分别取点E，F，G，H，使．设的长为x，四边形的面积为y，则下列图象能反映y与x之间关系的是（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形性质、二次函数的实际应用、三角形面积计算；核心方法是割补法求面积，关键是先算菱形总面积，再用总面积减去 4 个全等三角形的面积，易错点是三角形面积公式的应用和二次函数顶点坐标的判断． 首先菱形边长为 2，，总面积。设，则 4 个全等三角形的总面积为．四边形面积，化简为开口向上的二次函数，对称轴，最小值为​，对应选项 A． 【详解】菱形边长，，菱形面积公式为： 设，则，， 的面积为： 4 个这样的三角形总面积为： 该函数开口向上，对称轴为，当时，y 取得最小值： 当或时，． 因此，y 与 x 的关系是开口向上、顶点为的抛物线． 故选： A． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式等于0，列关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， 解得． 12．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算即可得到结果． 【详解】解：原抛物线的解析式为．向左平移个单位长度，对自变量加上平移单位，得． 再向下平移个单位长度，对常数项减去平移单位，得． 即得到的抛物线解析式为． 13．已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为一元二次方程的一个实数根，则这个三角形的面积为________． 【答案】6 【分析】由因式分解法求出或，然后根据三角形三边关系选出合适的第三边，再根据勾股定理逆定理得出三角形为直角三角形，进而可求出三角形面积． 【详解】解：， 或， 解得或， 当时，，满足三角形三边关系， 且，此时三角形为直角三角形， 则这个三角形的面积为：， 当时，，不满足三角形三边关系，故构不成三角形， 综上：这个三角形的面积为6． 14．某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【答案】 【分析】根据可知与成反比例，即为定值，设时功率为，则时功率为，列方程求出即可求解． 【详解】解：根据题意，，即． 设当时，电功率为，则当时，电功率为， 电源电压不变， ， 解得， ， 关于的函数关系式为， 当时，． 15．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，且旋转角为锐角，连接，当点B恰好落在直线上时，线段的长为_____． 【答案】 【分析】连接，令与的交点为O，结合旋转的性质，证明，得到，从而得出垂直平分，由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，令与的交点为O， ∵点B恰好落在直线上， ∴、、B三点共线， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴​． 16．如图1，在钝角中，，为边上一动点（不与点重合），以点为直角顶点，以为一条直角边作等腰直角，连结．设，，若关于的函数图象如图2所示，则（1）________；（2）面积的最大值为________． 【答案】 【分析】由图象端点横坐标，D运动到A时最大，，求得；利用D、A重合的特殊位置，通过全等求出线段长度，构造面积二次函数，用二次函数顶点求最大面积． 【详解】由图2可知，自变量最大值为，即运动至点时，， ． 过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． 是等腰直角三角形，， ． ，， ． 在和中， ， ． 当与重合时，，， 代入，， 解得， ． 在中，，， 由勾股定理： ． ，， ． ， ． $$ ，抛物线开口向下， 当时，取最大值． 将代入： ． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分解方程： (1)(用配方法解)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， ∴， ∴ 解得，． （2）原方程可变形为 ，或 ∴，． 18．（8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是平行四边形的两条对角线的长． (1)当时，求的值． (2)当为何值时，四边形是矩形？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入一元二次方程，求解关于的一元一次方程． （2）根据矩形对角线相等的性质，得方程有两个相等的正实数根，结合判别式与根的符号求解． 【详解】（1）解：∵是方程的实数根， ∴代入得， ， ， 解得． （2）解：∵平行四边形是矩形， ∴对角线，且，． ∵，是方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的正实数根， ∴，且两根之和、两根之积均为正．， 令，即， 因式分解得， 解得，． 由根与系数的关系，得，， ∵对角线长为正数， ∴且，即， ∴不符合题意，舍去． 综上所述，． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标依次为，，． (1)平移，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度； 请画出平移后的． 如果看成一次平移，则平移的距离是____________个单位长度． (2)请在图中画出关于原点中心对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； ； (2) 如图，即为所求． 【分析】（）根据平移的性质得出坐标，然后连接进而画出图形即可； 根据平移的性质及勾股定理即可求解； （）根据中心对称的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：∵先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，，，， ∴，，， 连接； 如图，连接， ∴， ∴如果看成一次平移，则平移的距离是个单位长度， 故答案为：； （2）略 20．（8分）坪山聚龙公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入达到元？ 【答案】(1)米 (2)元或元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （2）设日租金上涨元，则日租金收入，据此列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， ∴（舍去），， 故道路的宽为米． （2）解：设日租金上涨元，则日租金收入， 故， 整理得， 即， ∴，， ∴日租金上涨（元）或（元） 故当每个摊位的日租金上涨元或元时，美食节的日租金收入达到元． 21．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2) (3)4 【分析】（1）先将代入求出的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 22．（10分）【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃．实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．一只微型机器狗起跳后的最高点距地面，起跳点与落地点的距离是． 【数学建模】如图，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，机器狗在水平地面上的起跳点为，落地点为，以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系．      【问题解决】 (1)请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． (2)如图，若机器狗从点正上方的台面点处起跳，落地点为，点在轴的正半轴上，求落地点到原点的水平距离的长． (3)实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形， ， ．机器狗从距离左侧的点处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进 ，才能刚好安全通过障碍物．（请直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，即顶点N的纵坐标为50，从而写出顶点坐标；设出顶点式，把代入即可求得函数解析式； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出x的值，进而求出的长即可； （3）设机器狗至少要向障碍物前进，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，再确定机器狗刚好安全通过该障碍物时，抛物线过点，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为50， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵抛物线经过原点， ∴，解：， ∴． （2）解：∵抛物线的形状不变，点， ∴函数图像可以看作由抛物线向上平移22个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为： ， 当时，，解得：，（舍去）； ∴落地点到原点的水平距离的长． （3）解：设机器狗至少要向障碍物前进，新抛物线是由抛物线向右平移得到的， 设新的函数解析式为：， ∵纵切面为矩形，，，机器狗从距离左侧的点处起跳， ∴即抛物线经过点D上方点的横坐标为160， ∵障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过， ∴抛物线经过点时，机器狗恰好通过障碍物， ∴，解得：或100， ∴机器狗至少要向障碍物前进，才能刚好安全通过障碍物． 23．（10分）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2），见解析；（3）线段的长为或 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时， 同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 24．（12分）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)，线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点和常数项，把，代入解析式，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出系数，即可得到抛物线的表达式； （2）先求出点C坐标，利用B、C两点求出直线解析式，由轴得到点和点横坐标相同，用抛物线上点M的纵坐标减去直线上点N的纵坐标，得到关于t的二次函数，对二次函数配方，结合自变量取值范围，求出线段的最大值； （3）构造点，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接，通过证明，利用等角转化结合分两种情况即可得到两个符合条件的P点． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 轴， ， ， ，， ，当且仅当时等号成立， 线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，， ，，， ， ， ，， 令，，，解得或， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 令， 整理得， 两边同时乘得， 解得或， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， ， ， 综上所述，点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $