精品解析：安徽省阜阳市第七高级中学2026-2027学年高二上学期段一考试数学试卷

阜阳七中（合肥一中阜阳分校）2026-2027学年度第一学期 高二上学期段一考试数学试卷 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在轴上的截距为且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ） A. 2 B. －2或1 C. －1 D. －1或2 3. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 4. 已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 点斜式 可以表示任何直线 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 点到直线的最大距离为 10. 已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的长为 C. 直线过定点 D. 的最小值是 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则（　　） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则 C. 若圆包含曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且倾斜角为的直线方程是_____． 13. 已知点，动点满足，则面积的最大值为_____________. 14. 已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜率． 16. 已知半径大于1的圆与轴，轴均相切，圆心在第一象限，点在圆上． （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程． 17. 在平面直角坐标系中，已知曲线与坐标轴的交点都在圆上，点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）求满足的点的轨迹方程，并判断该轨迹与圆的位置关系. 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线，与椭圆分别交于点（异于点），为弦的中点. （i）求点的轨迹方程； （ii）设为坐标原点，当直线与的斜率均存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 19. 已知圆. （1）设点为圆上的任意一点，证明：过点与圆相切的直线方程为； （2）已知是圆上两不同的点，且，，直线过点. （i）证明：； （ii）过点作圆的切线，直线与分别交于点，连接交于点，证明：点在直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳七中（合肥一中阜阳分校）2026-2027学年度第一学期 高二上学期段一考试数学试卷 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在轴上的截距为且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得直线的斜率为，进而求解即可. 【详解】由题意，直线的斜率为， 则所求直线方程为，即. 故选：B 2. 若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ） A. 2 B. －2或1 C. －1 D. －1或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行，求得的值，结合两平行线的距离公式，即可求解. 【详解】因为两直线：，：平行， 可得且，解得或， 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，符合题意； 当时，，，即， 可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去. 故选：A. 3. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，计算圆心距与半径之和及半径之差的绝对值之间的关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】圆可化为， 所以的圆心为，半径为； 圆可化为， 所以的圆心为，半径为. ， 所以圆与圆相交. 故选：B 4. 已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 5. 若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，得k最小， 此时设，故，解得或（舍去）， 即． 故选：C. 7. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由直线与直线互相垂直可知，所以，解方程即可得出答案. 【详解】令可得，则，所以， 所以，因为直线与直线互相垂直， 所以， 所以在中，，所以， 所以，所以， 所以或（舍去）， 所以的离心率为. 故选：C. 8. 如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等面积法，由此可求出所求的值. 【详解】由题意知的内切圆的半径为， 又， 所以的面积， 因为， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 点斜式 可以表示任何直线 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A错误； 对B：在轴上的截距为，故B正确； 对C：点关于的对称点为，故直线关于对称的直线方程是，故C错误； 对D：，即，其恒过定点， 又， 故点到直线的最大距离为，故D错误. 10. 已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的长为 C. 直线过定点 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，已知曲线的方程为，则（　　） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则 C. 若圆包含曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，点，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】曲线的方程为，可知曲线关于轴对称，先解决第一象限的图像，然后根据对称画出其他象限图像，根据图像很容易判断出每个选项的对错. 【详解】根据曲线的方程为，可知曲线关于轴对称 先分析第一象限：，曲线方程可化为，其余象限关于轴对称，曲线由四段半圆围成， 如图所示：曲线围成的图形面积为四个半圆与一个正方形的面积和， ，A正确； 由图象可知第一象限最高点纵坐标为，，结合图象关于轴对称性可知，最大值为， 再结合图象关于轴对称性可知,最小值为， 故，B正确； 由图象可知：上点到原点最远为，故，C错误； 点在曲线外，由图象可知取得最大值时，在第三象限或第四象限， 在第三象限时，第三象限半圆的圆心为和的距离为5，此时的最大值为； 在第四象限时，第四象限半圆的圆心为和的距离为，故的最大值为； 而，所以的最大值为；不是，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且倾斜角为的直线方程是_____． 【答案】 【解析】 【详解】由已知直线倾斜角为，所以直线斜率不存在，则直线方程为. 13. 已知点，动点满足，则面积的最大值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知点P的轨迹为，由图形可知，面积，所以面积的最大值为的最大值，由此得解． 【详解】设，由，可知，化简整理：，由图形可知，面积，所以面积的最大值为的最大值，当时，的最大值为，所以的最大值为. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，利用几何关系式直接得出轨迹方程．利用函数的思想建立面积的函数关系式求解． 14. 已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，则，，，则，再由，可得，当时，取得最大值，即当在短轴上时，取得最大值，从而求出离心率的范围； 【详解】解：不妨设， 则，，， 所以，， 则， 又 所以， 因为，所以, 所以当时，取得最大值，即当在短轴上时，取得最大值， 因为椭圆上存在一点使， 所以（为短轴顶点）， 设，则， 又因为， 所以离心率， 又因为，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查了转化思想、计算能力．属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【小问1详解】 由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． 【小问2详解】 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 16. 已知半径大于1的圆与轴，轴均相切，圆心在第一象限，点在圆上． （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可设 ，则圆C的方程为，将带入圆C方程，求得a，即可得出答案； （2）可设直线l的方程为，根据，可得圆心C到直线l的距离，再根据点到直线的距离公式求得k，即可得解. 【小问1详解】 由题意得，圆心到x轴与到y轴的距离相等，设， 则圆C的方程为， 将带入圆C方程，得，整理得， 解得，或， 因为圆C半径大于1，即，所以， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 因为，所以圆心C到直线的距离， 所以，整理得，解得，或， 所以直线的方程为或 17. 在平面直角坐标系中，已知曲线与坐标轴的交点都在圆上，点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）求满足的点的轨迹方程，并判断该轨迹与圆的位置关系. 【答案】（1） （2）或； （3）；与圆相交. 【解析】 【分析】（1）求出三个交点，利用待定系数法即可求圆的方程； （2）分为斜率存在与不存在两类，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解； （3）设点的坐标，利用列出方程化简即可求得轨迹方程，再利用圆心距即可判断两圆的位置关系. 【小问1详解】 令得；令得. 则圆过点. 设圆的方程为， 则 解得. 所以圆的方程为，即. 【小问2详解】 圆的圆心，半径. 当直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即. 则圆心到直线的距离，解得. 所以切线为，即. 所以切线的方程为或. 【小问3详解】 设，由得， 化简得，即. 该轨迹是以为圆心，半径为的圆. 两圆心距为. 因为，所以两圆相交. 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线，与椭圆分别交于点（异于点），为弦的中点. （i）求点的轨迹方程； （ii）设为坐标原点，当直线与的斜率均存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）因为，.由得， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，进而可得，即得； （2）（i）用中点坐标表示，再代入椭圆方程即可求得; （ii）表示出和，结合椭圆方程即可求出定值. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设，，因为为弦的中点， 所以，即，则. 代入椭圆得：，即. 因为异于点，则轨迹去掉点， 所以点的轨迹方程为. （ii）略. 19. 已知圆. （1）设点为圆上的任意一点，证明：过点与圆相切的直线方程为； （2）已知是圆上两不同的点，且，，直线过点. （i）证明：； （ii）过点作圆的切线，直线与分别交于点，连接交于点，证明：点在直线上. 【答案】（1）圆的圆心，半径， 点在圆上，则. 当时，， 因为切线与垂直，所以切线斜率，则切线方程为， 即； 当时，则，切线方程为，满足方程； 当时，则，切线方程为，满足方程. 综上，过点与圆相切的直线方程为. （2）（i）直线过点，则三点共线，即. 又，所以 整理即得 （ii）切线. 令得；同理. 所以直线方程为， 则①； 直线方程为， 则②. ①-②得. 又因为，即， 所以. 因为，所以，即. 所以交点恒满足直线的方程，即点在直线上. 【解析】 【分析】（1）用圆心到直线距离等于半径； （2）（i）由共线列式化简即可；（ii）写出坐标，联立直线方程，再利用（i）的结果化简即可得到点坐标满足的方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $