专题15 一元一次方程解决实际问题 典型综合题（重难点培优讲义） 2026-2027年人教版七年级数学上册

专题15 一元一次方程解决实际问题典型综合题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 销售盈亏问题 题型02 数字问题 题型03 几何问题 题型04 动点问题 题型05 比例分配问题 题型06 一元一次方程与数轴综合应用 题型07 一元一次方程实际综合应用 题型08 一元一次方程的应用规律问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 【针对训练】 1．市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系“去年毕业的学生今年毕业的学生”即可列方程． 【详解】解：设去年毕业学生人，列方程为：． 2．2015年9月26日，在郓城南城中学多功能厅召开“怎样做初中生家长”的家庭教育报告会．设多功能厅共有x排座位，与会家长若每排坐30人，则有6人无座位；若每排坐31人，则空15个座位，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用两种坐法表示与会家长的总人数，根据总人数不变建立等量关系，即可列出正确方程． 【详解】解：∵多功能厅共有排座位，与会家长总人数固定不变， ∴第一种坐法：每排坐30人，排共坐人，还有6人无座位，因此总人数为，第二种坐法：每排坐31人，排可坐人，空出15个座位，因此总人数为， ∴根据总人数相等可得方程：． 3．某中学七年级（一）班共有学生人，男生和女生的人数比为，则这个班男女生各多少人？ ①设男生人数为人，由此可列出方程：_______； ②设女生人数为人，由此可列出方程：_______； 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． ①男生人数为人，则女生人数为人，根据总人数为人，列方程即可； ②女生人数为人，则男生人数为人，根据总人数为人，列方程即可． 【详解】①解：男生人数为人，则女生人数为人， 依题意得，， 故答案为：； ②解：女生人数为人，则男生人数为人， 依题意得，， 故答案为：． 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【针对训练】 4．某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 5．今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】设东东今年年龄为未知数，根据年龄倍数关系表示出爷爷今年年龄，再结合12年后的年龄倍数关系列方程求解． 【详解】解：设东东今年的年龄是岁， 根据题意，得：， 解得 ， 答：东东今年的年龄是9岁． 6．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】牧童总人数不变，用杏的总数分别表示两种分法下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：设共有个杏，牧童总人数固定不变， ∵第一种分法中，3人分5个杏，多10个杏，分掉的杏数为，每5个杏对应3个牧童， ∴总牧童人数为， ∵第二种分法中，4人分8个杏，多2个杏，分掉的杏数为，每8个杏对应4个牧童， ∴总牧童人数为， ∵总人数相等， ∴． 重难点典例精析 题型1 销售盈亏问题 【例1】某服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现其中一件衣服的标价被污渍遮盖了，已知这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱，求这件衣服的标价是多少元？ 【答案】这件衣服的标价是100元 【分析】本题考查了一元方程的实际应用，正确理解题意，建立方程是解题的关键． 设这件衣服的标价是元，由这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱即可建立方程． 【详解】解：设这件衣服的标价是元， 由题意得，， 解得：， 答：这件衣服的标价是100元． 【变式训练】大三学生小凡参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和2000元现金，当他工作满20天时因故结束实习，结算工资时公司给了他一台型平板电脑和500元现金． (1)这台型平板电脑公司的报价是多少元？ (2)小凡若工作天，将上述约定工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含的代数式表示）？ (3)若某电脑经销商正在经销这款型平板电脑，他按进货价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每台仍可获利340元，这款型平板电脑每台的进货价是多少元？ 【答案】(1)这台型平板电脑公司的报价是2500元 (2)他应获得150n元的报酬 (3)这款型平板电脑每台的进货价是2000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出他应获得的报酬；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设这台M型平板电脑公司的报价是x元，利用日均工资不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用日均工资这台M型平板电脑公司的报价，可求出日均工资，再利用他应获得的报酬=日均工资×小凡的工作时间，即可用含n的代数式表示出他应获得的报酬； （3）设这款M型平板电脑每台的进货价是y元，利用利润=售价-进价，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这台型平板电脑公司的报价是x元， 由题意，得：， 解得：， 因此，这台型平板电脑公司的报价是2500元； （2）解：由题意，得：， 因此，他应获得150n元的报酬； （3）解：设这款型平板电脑每台的进货价是元， 由题意，得：， 解这个方程，得， 因此，这款型平板电脑每台的进货价是2000元． 题型2 数字问题 【例2】已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数． 【答案】21，32，43，54，65，76，87，98 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意可得，则这个两位数为，新数为，再由题意可得x为2到9的自然数，y为1到8的自然数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，则这个两位数为，新数为， ∵对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9， ∴， 整理得：为恒等式， 根据题意得：x为2到9的自然数，y为1到8的自然数， ∴符合条件的两位数为21，32，43，54，65，76，87，98． 【变式训练】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②－①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______； (2)将化成分数形式，并写出推理过程． (3)若则______． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）将代入中计算即可； （2）设，则，两式相减求出的值即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：设，则， ， 解得， 即化成分数形式为； （3）解：， ． 故答案为：． 题型3 几何问题 【例3】在数轴上点A，B分别对应有理数a，b，线段，且点A、B到原点的距离相等． (1)填空：________，________． (2)若点C对应的有理数为x，点C把线段分成了两部分，其中一部分是另外一部分的3倍，求x的值． 【答案】(1)；4 (2) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据题意可得点A、B到原点的距离都为4，据此可得答案； （2）根据数轴上两点距离计算公式分别表示出，再分和两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵线段，且点A、B到原点的距离相等， ∴点A、B到原点的距离都为4， ∴； （2）解：由题意得，点C在线段上， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，． 【变式训练】如图，将一张正方形纸片第一次剪成4张大小相同的小正方形纸片，第二次将其中的一张小正方形纸片按同样的方法剪成4张更小的正方形纸片，如此继续剪下去．    (1)填写表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 ______ ______ ______ ______ ______ … (2)剪n次一共可以剪出多少张小正方形纸片（用含n的代数式表示）？ (3)能否经过若干次分割后，共得2024张纸片？请说明理由． 【答案】(1)4，7，10，13，16； (2)张 (3)不能．理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用： （1）每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个来剪．所以在4的基础上，依次多3个，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）根据（2）所求得到方程，看方程是否有正整数解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 4 7 10 13 16 … （2）解：由（1）可知，每剪一次，小正方形的数量都会比前一次多3， ∴剪n次一共可以剪出张小正方形纸片 （3）解：不能经过若干次分割后，共得2024张纸片，理由如下： 令， 解得， 此时n不是正整数， ∴不能经过若干次分割后，共得2 024张纸片． 题型4 动点问题 【例4】如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 【答案】（1）-10，（2）6秒或18秒 【分析】（1）求出点Q运动到原点O时所用时间，再求出点P所走的距离，求出点P表示的数即可； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度，分两种情况列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）当点Q运动到原点O时，点Q运动的距离为20，运动时间为20÷2=10（秒），此时，点P所走的距离为：3×10=30，点P表示的数为-40+30=-10； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度， 当点P在点Q左侧时， [20-（-40）]-3x-2x=30， 解得，x=6， 当点P在点Q右侧时， 3x+2x -[20-（-40）] =30， 解得，x=18， 答：设两点运动的时间是6秒或18秒时，P、Q两点间的距离为30个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和一元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程，注意分类讨论． 【变式训练】数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示1的点重合，则折痕处对应的点表示的数是________，此时表示数a的点与表示数________的点重合； (2)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是________； (3)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，若点P在点Q的左侧且线段PQ上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最大值是________． 【答案】(1)0； (2)0或或或2 (3) 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应用，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点所表示的数差的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想． （1）根据对称性找到折痕的点为0，根据两点间的距离可得答案； （2）根据题意分情况讨论，分别根据三条线段的长度之比为列式求解即可； （3）根据覆盖部分整点个数可得当距离为2时，点P和Q都在整点上，这时线段上恰好有3个整点，即可求出最大值． 【详解】（1）解：∵数轴上表示的点与表示1的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示数a的点与它重合的点表示的数为：， 故答案为：0，； （2）解：设表示的点是A，表示4的是D， ∴， ∴， 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 当三条线段的比值为时，，则； 故答案为：0或或或2． （3）解：根据题意得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 令 ， 解得或， 即当秒或秒时， ∴线段上恰好有3个整点， ∴时间的最大值是， 故答案为：． 题型5 比例分配问题 【例5】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为，根据他们共捐了374本，即可求出这三位同学各捐书多少册； 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本． 【变式训练】为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【答案】 【分析】设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x， 根据题意得：4x•a＋2x•（a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x）， 解得：a， 则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程． 题型6 一元一次方程与数轴综合应用 【例6】已知数轴上点在原点左边，到原点的距离为个单位长度，点在原点的右边，从点走到点，要经过个单位长度． (1)，两点分别表示的数为_______． (2)若点也是数轴上的点，点表示的数是正数，点到点的距离是点到原点的距离的倍，则点表示的数为_______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程的应用， （1）根据题意列出算式，即可得出结论； （2）根据题意并结合数轴上两点间距离列出方程，求解即可； 掌握分类讨论的思想以及数轴上的点表示的数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知：点表示的数为， ∵从点走到点，要经过个单位长度 ∴表示的数为， 即，两点分别表示的数为，， 故答案为：，； （2）设表示的数为， 依题意，得：， ∴或， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴点表示的数为． 故答案为：． 【变式训练】请利用数轴研究下列问题： (1)特例研究：数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______； (2)合理猜想：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为______； (3)结论应用： ①数轴上表示和的两点和之间的距离是______（用含的式子表示）．如果，那么为______； ②当代数式，则的值是______． 【答案】(1)3，7，5； (2) (3)①，1或；②或3 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及绝对值的意义，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离A、B两点之间的距离解题即可． （2）根据数轴上两点之间的距离即可求解 （3）①根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值． ②把原题看成点x到点和点2的距离之和，分情况求解即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为， 数轴上表示和5的两点之间的距离为， 数轴上表示2和的两点之间的距离为； 故答案为：3，7，5； （2）解：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为， 故答案为：； （3）①数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 根据题意得， 即， 所以或， 故答案为，1或； ② 数轴上表示x的点到和2的距离和为5， 若，则， 解得：； 若，则， 解得：； 若，则， 此时方程无解， 故答案为：或3． 题型7 一元一次方程实际综合应用 【例7】某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，乙种商品的利润率为_____． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共45件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打9折优惠 超过600元 其中600元部分打8.2折优惠，超过600元的部分打3折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)40；； (2)购进甲商品15件，乙商品30件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲的进价为x元/件，根据甲的利润率为，求出x的值； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲的进价为x元/件， 则， 解得：， 故甲的进价为40元/件； 乙商品的利润率为． 故答案为：40；； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， ， 答：购进甲商品15件，乙商品30件； （3）解：由题意，小华打折前应付款超过450元， 设小华打折前应付款为y元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：， （件）， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：， （件）， 综上可得小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 【变式训练】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式 由于，设① 则② ②－①得，解得，于是得． 同理可得， 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）______，______；（注：） （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______；（注： ） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环小数的转化过程中是解决本题的关键． （1）根据题干示例进行推导求解即可得解； （2）根据题干示例进行推导求解即可得解． （3）根据题干示例进行推导求解即可得解． 【详解】（1）由于 ， 设① 则② ②－①得， 解得，于是得； 由于 设①， 则②， ②①得，解得， ∴； 故答案为：；； （2） 设① 则② ②－①得，解得， ∴． （3） 设 则①，② ②①得，解得， ∴ 故答案为： 题型8 一元一次方程的应用规律问题 【例8】如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，…，按此规律排列下去，则第几个图案用的“”个数是51个？ 【答案】第⑩个图案用的“”个数是51个 【分析】 本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，由题意可得第个图案用了个“”，再根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：第①个图案用了个“”， 第②个图案用了个“”， 第③个图案用了个“”， 第④个图案用了个“”， …， 第个图案用了个“”， 由题意可得：, 解得：， 故第⑩个图案用的“”个数是51个． 2．（24-25七年级上·安徽池州·阶段练习）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个圆点，第2幅图有7个圆点，第3幅图有10个圆点，…，按照此规律排列下去． . (1)第5幅图中有______个圆点，第 n幅图中有______个圆点； (2)若第幅图和第n幅图中的圆点个数的和为128个，求n的值． 【答案】(1)16， (2) 【分析】本题考查用代数式表示图形变化的规律，一元一次方程的应用： （1）观察所给图形，找出规律，并用代数式表示； （2）结合（1）中结论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1幅图中圆点的个数为：； 第2幅图中圆点的个数为：； 第3幅图中圆点的个数为：； …， 所以第n幅图中圆点的个数为个． 当时， 个， 即第5幅图中圆点的个数为16个． 故答案为：16，． （2）解：由题知，， 解得， 所以n的值为 1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【答案】B 【分析】根据加密规则：“明文a，b，c对应的密文，，”，把7，18，15分别代入这三个式子，计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 2．如图是一枚庆祝中国共产党成立100周年的长方形纪念币，其周长是，长和宽的比为．这枚纪念币的长和宽分别是多少？若设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意可知这枚纪念币的宽为，根据周长（长宽）列方程即可． 【详解】解：设这枚纪念币的长为， ∵长和宽的比为， ∴这枚纪念币的宽为， ∵周长是， ∴． 故选：A． 3．在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故选：B． 4．如图，C、B是线段上的两点，，、分别是、的中点，且，则的长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程的应用，找出线段之间的数量关系是解题关键．设，则，，进而得到，，再结合线段的中点，得到，，最后利用的长，求出，即可得到答案． 【详解】解：设，则，， 所以，， 因为、分别是、的中点， 所以，， 因为， 所以， 即， 解得， 所以， 故选C． 5．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“售价=成本+利润”，依次表示出标价和实际售价，即可列出方程． 【详解】解：设这种商品每件的成本是元， ∵商品按成本价提高后标价， ∴标价为元， ∵又按标价的打折卖出， ∴实际售价为元， ∵获利85元，根据“售价=成本+利润”， ∴列方程得． 6．为倡导“光盘行动”健康文明就餐新风，某校食堂统一使用长方形餐桌，单张餐桌四周可坐人，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接，若一次就餐有名师生，则需要拼接餐桌的张数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知，每张餐桌有4个座位，然后再加两端的各一个，于是n张餐桌就有个座位；由此进一步求出问题即可． 【详解】解：1张餐桌的四周可坐人， 2张餐桌的四周可坐人， 3张餐桌的四周可坐人， … n张餐桌的四周可坐人； 设需要拼接餐桌的张数是x张，由题意得：， 解得：， 即需要拼接餐桌的张数是张． 7．某商场规定，如果购买不超过100元的商品时，按全额收费；购买超过100元的商品时，超过部分按八折收费．某顾客在一次消费中，向售货员交纳了260元，那么在此次消费中该顾客购买了价值_______元的商品． 【答案】300 【分析】根据可知此次消费超过了100元，再设购买了x元的商品，根据超过部分打八折列出方程，并求出解即可． 【详解】因为， 所以此次消费超过了100元． 设该顾客购买了价值x元的商品，根据题意，得 ， 解得． 所以此次消费中该顾客购买了价值300元得商品． 故答案为：300． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 8．星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，则这次小峰打扫的时间是________h． 【答案】2 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 故答案为：2． 9．为了增强学生的安全防范意识，实验校九年级（3）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共30道，记分规则如下：每答对一道得5分，每答错或不答一道扣1分．张丹一共得84分，则张丹答对的道数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设张丹答对的个数为个，根据抢答题一共30个，记分规则如下：每答对一个得（5分），每答错或不答一个扣（1分），列出方程求解即可． 【详解】解：设张丹答对的个数为个， 由题意得， 解得， 故答案为：． 10．如图，把1，2，3，4，5，6这六个数分别填入“三角形”图案的六个圆圈中，使“三角形”图案每边上的三个数之和都相等（每个数字只能使用一次）．现在小明已填了1，3，6三个数，那么A处应填的数字为_____________． 【答案】4 【分析】根据题意，，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得：， 答：处应填4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意是解题的关键． 11．某公司帮员工办理了商业医疗保险，员工可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费，然后到医保中心报销． 医疗费的报销比例标准如下表： 费用范围 500元以下（含500 元） 超过500元且不超过 10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 （自付医疗费＝实际医疗费－按标准报销的金额） (1)李叔叔在一次就医中，实际医疗费为9000元，则按标准李叔叔可以报销多少元？ (2)王叔叔某次生病就医，经过报销后自付医疗费为8650元，则王叔叔这次就医实际医疗费为多少元？ 【答案】(1)5950元； (2)36500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给报销标准列式计算即可； （2）设王叔叔这次就医实际医疗费为y元，先证明，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：元； （2）解：王叔叔这次就医实际医疗费为y元， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：王叔叔这次就医实际医疗费为36500元． 12．等边在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别是0和，若绕顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转一次后对应的数的1，则翻转2021次后点对应的数是（    ） A．不对应任何数 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】C 【分析】根据随着翻转点的变化，可找出点的变化周期为3，结合2021为3的整数倍余2，可得出数2021对应的点为C，进而得出点对应的数． 【详解】解：∵翻转1次后，数1对应的点为B，翻转2次后，数2对应的点为C，翻转3次后，数3对应的点为A，翻转4次后，数4对应的点为B，…， ∴点的变化周期为3． 又∵2021÷3=673…2， ∴连续翻转2021次后，则数2021对应的点为C， ∴数2020对应的点为B． 故选C． 【点睛】本题主要考查数轴上的规律题，关键是通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律求解即可． 13．美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【分析】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【详解】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 14．地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），已知火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的倍（地球绕太阳运行一圈需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间最为接近的是（    ）    A．2024年12月10日 B．2025年1月20日 C．2025年2月10日 D．2025年3月20日 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一年按365天计算，地球绕太阳运行一圈每天旋转度，火星绕太阳运行一圈每天旋转度，下次火星冲日时，地球比火星多旋转一圈，即多旋转360度，由此列一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设自2022年12月8日起，x天后火星再次冲日， 由题意得：， ， 在2年天后，即2025年1月22日左右，火星再次冲日， B选项中的2025年1月20日最为接近， 故选B． 15．在一次数学活动中，小明在某月的日历上圈出了相邻的三个数a，b，c，求出它们的和为33，则这三个数在日历中的排布不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用字母表示数，列代数式，列方程解应用题，掌握用字母表示数，列代数式的方法，列方程解应用题方法与步骤是解题关键． 日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意逐项列方程求解，即可判断． 【详解】解：A、设，则，， ∴， 解得， ∴，，．本选项不合题意； B、设，则，， ∴， 解得，本选项符合题意； C、设，则，， ∴， 解得， ∴，，．本选项不合题意； D、设，则，， ∴， 解得， ∴，，．本选项不合题意． 故选：B． 16．嘉淇最近对“一分钟跳绳的个数”检测了7次．已知第1次的检测成绩为95个，之后把每次的个数都与前一次进行比较，超过前一次的部分记为“”，低于前一次的部分记为“”．下表记录了她第2次到第7次的检测结果．若第6次的检测成绩为103个，则表中的值为______． 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算及一元一次方程的应用，熟练掌握根据变化量逐步推导成绩的方法是解题的关键． 先根据第1次成绩和每次的变化量，依次推导出第2到第5次的成绩表达式，再结合第6次的已知成绩建立方程，从而求出的值． 【详解】解：第次成绩， 第次成绩， 第次成绩， 第次成绩， 第次成绩， ， ， ， ， 故答案为：4． 17．考虑汽车行驶的安全性以及用车成本，一般汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议某品牌汽车前轮轮胎一般在行驶达到8万公里时报废，后轮轮胎一般在行驶达到10万公里时报废，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎．请问：应在汽车行驶__________万公里时交换前、后轮胎，能使汽车的前、后轮胎同时报废． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设应在汽车行驶里程达到x千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶y千米，两对轮胎同时报废，根据两对轮胎同时报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵前轮轮胎一般在行驶达到8万公里时报废，且每对新轮胎报废时总磨损量为1， ∴安装在前轮的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为； 同理，后轮轮胎一般在行驶达到10万公里时报废， ∴安装在后轮的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为； 设行驶x万公里时前后轮交换，前轮剩余的可磨损量为，后轮剩余的可磨损量为，然后再行驶y万公里两对轮胎同时报废．由题意可得， 解得：． 即应在汽车行驶里程达到万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． 故答案为：． 18．如图为某计算机程序示意图，现规定“输入－判断是否正数”为一次操作，若输出结果为4且运行了两次操作，则输入的数值为______． 【答案】 【分析】本题一元一次方程的应用和学生分析题目的能力． 先分析题目中的程序计算图，然后根据程序求出第一次输出的结果，再根据程序求出原数即可． 【详解】解：∵输出结果为4且运行了两次操作， ∴第一次输出结果为x， 则， 解得（舍去）或， 设原数为y， 则， 解得， 故答案为：． 19．如图，已知A，B为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动． (1)若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，设运动的时间为t秒，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整，并回答问题． 时间t（秒） 0 1 2 点在数轴上的位置所表示的数 点在数轴上的位置所表示的数 3 2 直接写出C点的速度为_________________，D点的速度为_________________． (2)若点先出发，当时，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求为何值时，C、D两点相遇．（用一元一次方程求解） (3)若动点C，D以（1）中各自的速度同时同方向运动，当时，________________． 【答案】(1)3个单位长度/秒；1个单位长度/秒 (2)当时，C、D两点相遇 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度等于路程除以时间，结合表格中的数据进行求解即可； （2）分别表示出点C与点D表示的数，根据相遇时，二者表示的数相同建立方程求解即可； （3）根据题意可推出点C和点D只能同时向右运动，则运动t秒后，点C表示的数为，点D表示的数为，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，C点的速度为个单位长度/秒， D点的速度为个单位长度/秒； （2）解：由题意得，， 解得， ∴当时，C、D两点相遇． （3）解：由（1）可知点C的运动速度比点D的运动速度大，且点B表示的数为， ∴， ∵点C和点D同方向运动， ∴当点C和点D同时向左运动时一定有，不满足， ∴点C和点D只能同时向右运动， 运动t秒后，点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或． 20．下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、整式的加减、有理数的乘法、一元一次方程的应用、数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据绝对值的性质即可判断①错误；分五种情况：、、、和，根据有理数的加减法与乘法法则即可判断②正确；根据有理数的乘法即可判断③错误；分三种情况：当点在点的左侧时、当点在点的中间时、当点在点的右侧时，利用数轴的性质建立方程，解方程即可判断④错误；分三种情况：、、，化简绝对值，计算整式的加减，由此即可判断⑤错误． 【详解】解：若，则，则说法①错误； 若， 当，且时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，所以， 综上，若，则是正数，则说法②正确； 如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误； ∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等， ∴当点在点的左侧时，则，解得， 当点在点的中间时，则，解得， 当点在点的右侧时，，解得， 综上，或或，则说法④错误； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以的最小值为2013，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是②， 故选：B． 21．如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】设点C表示的数为，根据题意折叠的意义，结合点A、B表示的数分别是，4，分类解答即可． 本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：设点C表示的数为，点A折叠后的对应点表示的数， 由点、表示的数分别是， 根据折叠的性质，得， 解得， 当在点B的左侧时，根据题意，得， 故； 当在点B的右侧时，根据题意，得， 故； 故点C表示的数为或； 故选：B． 22．在一个游戏中，玩家需要对一个正整数进行操作．对于正整数，根据除以5的余数，分以下五种情况得到另一个正整数；若余数为0，则；若余数为1，则；若余数为2，则；若余数为3，则；若余数为4，则．这种得到的过程称为对进行一次“游戏操作”．对所得的数再进行一次操作称为对进行二次操作，依此类推． （1）对正整数20进行三次操作，得到的数为_____； （2）若对正整数进行二次操作得到的数为2，则所有满足条件的的值之和为_________． 【答案】 3 50 【分析】（1）理解题意，结合，余数为0，逐步计算，即可作答； （2）理解题意，设第一次操作后得到 ，根据第二次操作得到2，即对 操作一次得，先找所有符合的 ，再找所有符合的： 【详解】解：（1），余数为0， 第一次操作后；余数为4， 第二次操作后；余数为1， 第三次操作后； （2）设对进行第一次操作后得到的数为， ∵第二次操作结果为2， 按余数分类： 依题意，余数为：则， ∴，有效； 余数为1：则， ∴，不是正整数，舍去； 余数为2：则， ∴，不是正整数，舍去； 余数为3：则， ∴，不是正整数，舍去； 余数为4：则， ∴， 此时5除以的余数为0，不等于4，不符合前提条件，舍去； 因此仅有有效； 同样按余数分类： 依题意，余数为：， ∴，有效； 余数为1：， ∴，不是整数，舍去； 余数为2：， ∴， 此时除以的余数为3，不等于2，不符合前提条件，舍去； 余数为3：， ∴，不是整数，舍去； 余数为4：， ∴， 此时13除以的余数为3，不等于4，不符合前提条件，舍去； 因此仅有满足条件； ∴所有的和为． 23．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是__________． 【答案】20或25 【分析】本题考查了探索数字规律，找到规律是解题的关键；依次计算出前几次跳动后表示的数，归纳出规律即可求解． 【详解】解：第1次跳动后表示的数为，； 第2次跳动后表示的数为，； 第3次跳动后表示的数为，； 第4次跳动后表示的数为，； 第5次跳动后表示的数为，； 第6次跳动后表示的数为，； 第7次跳动后表示的数为，； …… 一般地：第次跳动后表示的数为，第次跳动后表示的数为， 当时， 解得， 即第次跳动后的数为，距离原点23个单位长度； 当时， 解得， 即第次跳动后的数为，距离原点23个单位长度； 综上，当电子跳蚤第20次或第25次跳动后到原点的距离为23个单位长度； 即n的值为20或25； 故答案为：20或25． 24．如图，点A、O、C、B为数轴上的点，其中A，B两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：，O为原点，C表示的数是2，我们将数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度． (1)由题意可知A、B两点所表示的数________，________； (2)若点T为“折坡数轴”上一点，且，请求出点T所表示的数； (3)定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O，再上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P出发的同时，动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C，再下坡到点O，然后再沿方向移动，当点P重新回到点A时所有运动结束，设点P运动时间为t秒，在移动过程中： ①点P在第________秒时回到点A； ②当________时，．（请直接写出t的值） 【答案】(1) (2)或7 (3)①；②2或或或 【分析】（1）根据题意可得，再求出解即可； （2）先确定点T不在内，再设点T表示的数为x，分两种情况：当点T在点A左侧时，，可得答案；当点T在点A右侧时，，求出解即可； （3）①先求出点P从点A到点O所需时间为，再求出点P从点C到点O所需时间为，然后求出返回时，点P从点C到点O所需时间为，接下来求出点P从点O到点A所需时间为，最后根据点P运动的总时间为得出答案； ②当点P在上时，点Q在上，先根据，再根据得出方程，求出解； 当点P在上时，点Q在上，设点Q在上的时间为，然后分三种情况讨论：当时，点P，Q相遇，，求出解；点P，Q相遇前，，再由得出方程，求出解；当点到达点O时，点P刚好到的中点，并继续向上移动到达点C需要（秒），表示出，根据得出方程求出解； 当点Q在上，点P在向下移动时，再表示出，根据得出方程求出解； 当点P重新回到上时，设点P回到点O后运动时间为，点P回到点O时，点P，Q已经运动了（秒），此时，点Q在上移动了（秒），即，再分两种情况：当点P在点Q右侧时，表示出，根据得出方程，求出解；当点P在点Q左侧时，表示出，再根据得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， 而， ∴点T不在内， 设点T表示的数为x， 当点T在点A左侧时， ， 解得； 当点T在点B右侧时， ， 解得； 所以点T表示的数是或7； （3）解：①∵点O为原点，点A表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数是6， ∴， ∴点P从点A到点O所需时间为． ∵， ∴点P从点O到点C所需时间为， 返回时，点P从点O到点C所需时间为， 点P从点O到点A所需时间为， ∴点P运动的总时间为， 所以点P在第秒时回到了点A； ②（i）当点P在上时，点Q在上， ． ∵， ∴， 解得； （ii）当点P在上时，点Q在上，设点Q在上的时间为， a、当时，点P，Q相遇，， 解得; 点P，Q相遇前，， 由， 得， 解得 此时； b、当点Q到达点O时，点P刚好到的中点，并继续向上移动到达点C需要（秒）， ， 由，得，此时方程无解； c、当点Q在上，点P在向下移动时， ， 由，得， 解得， 此时； （iii）当点P重新回到上时，设点P回到点O后运动时间为，点P回到点O时，点P，Q已经运动了（秒）， 此时，点Q在上移动了（秒），即． a、当点P在点Q右侧时， ， 由，得， 解得， 此时； b、当点P在点Q左侧时， ， 由，得， 解得(舍去)， 综上所述，当或或或时，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 一元一次方程解决实际问题典型综合题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 销售盈亏问题 题型02 数字问题 题型03 几何问题 题型04 动点问题 题型05 比例分配问题 题型06 一元一次方程与数轴综合应用 题型07 一元一次方程实际综合应用 题型08 一元一次方程的应用规律问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 【针对训练】 1．市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．2015年9月26日，在郓城南城中学多功能厅召开“怎样做初中生家长”的家庭教育报告会．设多功能厅共有x排座位，与会家长若每排坐30人，则有6人无座位；若每排坐31人，则空15个座位，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某中学七年级（一）班共有学生人，男生和女生的人数比为，则这个班男女生各多少人？ ①设男生人数为人，由此可列出方程：_______； ②设女生人数为人，由此可列出方程：_______； 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【针对训练】 4．某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．今年，东东的年龄是爷爷年龄的 ．东东发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的 ．则东东今年的年龄是（     ） A．8 B．9 C．10 D．20 6．《算法统宗》中有一道题：原文是：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？”题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童、多少个杏？设共有x个杏，可列方程是（    ） A． B． C． D． 重难点典例精析 题型1 销售盈亏问题 【例1】某服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现其中一件衣服的标价被污渍遮盖了，已知这件衣服打九五折比打八折多盈利15元钱，求这件衣服的标价是多少元？ 【变式训练】大三学生小凡参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是型平板电脑一台和2000元现金，当他工作满20天时因故结束实习，结算工资时公司给了他一台型平板电脑和500元现金． (1)这台型平板电脑公司的报价是多少元？ (2)小凡若工作天，将上述约定工资支付标准折算为现金，他应获得多少报酬（用含的代数式表示）？ (3)若某电脑经销商正在经销这款型平板电脑，他按进货价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每台仍可获利340元，这款型平板电脑每台的进货价是多少元？ 题型2 数字问题 【例2】已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数． 【变式训练】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②－①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______； (2)将化成分数形式，并写出推理过程． (3)若则______． 题型3 几何问题 【例3】在数轴上点A，B分别对应有理数a，b，线段，且点A、B到原点的距离相等． (1)填空：________，________． (2)若点C对应的有理数为x，点C把线段分成了两部分，其中一部分是另外一部分的3倍，求x的值． 【变式训练】如图，将一张正方形纸片第一次剪成4张大小相同的小正方形纸片，第二次将其中的一张小正方形纸片按同样的方法剪成4张更小的正方形纸片，如此继续剪下去．    (1)填写表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 ______ ______ ______ ______ ______ … (2)剪n次一共可以剪出多少张小正方形纸片（用含n的代数式表示）？ (3)能否经过若干次分割后，共得2024张纸片？请说明理由． 题型4 动点问题 【例4】如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 【变式训练】数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示1的点重合，则折痕处对应的点表示的数是________，此时表示数a的点与表示数________的点重合； (2)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是________； (3)操作2：若点A、B表示的数分别是、4，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，若点P在点Q的左侧且线段PQ上（含线段端点）恰好有3个整数点，则时间t的最大值是________． 题型5 比例分配问题 【例5】甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【变式训练】为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 题型6 一元一次方程与数轴综合应用 【例6】已知数轴上点在原点左边，到原点的距离为个单位长度，点在原点的右边，从点走到点，要经过个单位长度． (1)，两点分别表示的数为_______． (2)若点也是数轴上的点，点表示的数是正数，点到点的距离是点到原点的距离的倍，则点表示的数为_______． 【变式训练】请利用数轴研究下列问题： (1)特例研究：数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______； (2)合理猜想：在数轴上，点、分别表示有理数，，则、间的距离为______； (3)结论应用： ①数轴上表示和的两点和之间的距离是______（用含的式子表示）．如果，那么为______； ②当代数式，则的值是______． 题型7 一元一次方程实际综合应用 【例7】某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，乙种商品的利润率为_____． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共45件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打9折优惠 超过600元 其中600元部分打8.2折优惠，超过600元的部分打3折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【变式训练】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式 由于，设① 则② ②－①得，解得，于是得． 同理可得， 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）______，______；（注：） （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______；（注： ） 题型8 一元一次方程的应用规律问题 【例8】如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，…，按此规律排列下去，则第几个图案用的“”个数是51个？ 【变式训练】如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图有4个圆点，第2幅图有7个圆点，第3幅图有10个圆点，…，按照此规律排列下去． . (1)第5幅图中有______个圆点，第 n幅图中有______个圆点； (2)若第幅图和第n幅图中的圆点个数的和为128个，求n的值． 1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 2．如图是一枚庆祝中国共产党成立100周年的长方形纪念币，其周长是，长和宽的比为．这枚纪念币的长和宽分别是多少？若设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 3．在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，C、B是线段上的两点，，、分别是、的中点，且，则的长为（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 5．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 6．为倡导“光盘行动”健康文明就餐新风，某校食堂统一使用长方形餐桌，单张餐桌四周可坐人，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接，若一次就餐有名师生，则需要拼接餐桌的张数是（     ） A． B． C． D． 7．某商场规定，如果购买不超过100元的商品时，按全额收费；购买超过100元的商品时，超过部分按八折收费．某顾客在一次消费中，向售货员交纳了260元，那么在此次消费中该顾客购买了价值_______元的商品． 8．星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，则这次小峰打扫的时间是________h． 9．为了增强学生的安全防范意识，实验校九年级（3）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共30道，记分规则如下：每答对一道得5分，每答错或不答一道扣1分．张丹一共得84分，则张丹答对的道数为______． 10．如图，把1，2，3，4，5，6这六个数分别填入“三角形”图案的六个圆圈中，使“三角形”图案每边上的三个数之和都相等（每个数字只能使用一次）．现在小明已填了1，3，6三个数，那么A处应填的数字为_____________． 11．某公司帮员工办理了商业医疗保险，员工可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费，然后到医保中心报销． 医疗费的报销比例标准如下表： 费用范围 500元以下（含500 元） 超过500元且不超过 10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 （自付医疗费＝实际医疗费－按标准报销的金额） (1)李叔叔在一次就医中，实际医疗费为9000元，则按标准李叔叔可以报销多少元？ (2)王叔叔某次生病就医，经过报销后自付医疗费为8650元，则王叔叔这次就医实际医疗费为多少元？ 12．等边在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别是0和，若绕顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转一次后对应的数的1，则翻转2021次后点对应的数是（    ） A．不对应任何数 B．2019 C．2020 D．2021 13．美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 14．地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），已知火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的倍（地球绕太阳运行一圈需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间最为接近的是（    ）    A．2024年12月10日 B．2025年1月20日 C．2025年2月10日 D．2025年3月20日 15．在一次数学活动中，小明在某月的日历上圈出了相邻的三个数a，b，c，求出它们的和为33，则这三个数在日历中的排布不可能的是（    ） A． B． C． D． 16．嘉淇最近对“一分钟跳绳的个数”检测了7次．已知第1次的检测成绩为95个，之后把每次的个数都与前一次进行比较，超过前一次的部分记为“”，低于前一次的部分记为“”．下表记录了她第2次到第7次的检测结果．若第6次的检测成绩为103个，则表中的值为______． 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 17．考虑汽车行驶的安全性以及用车成本，一般汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议某品牌汽车前轮轮胎一般在行驶达到8万公里时报废，后轮轮胎一般在行驶达到10万公里时报废，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮胎．请问：应在汽车行驶__________万公里时交换前、后轮胎，能使汽车的前、后轮胎同时报废． 18．如图为某计算机程序示意图，现规定“输入－判断是否正数”为一次操作，若输出结果为4且运行了两次操作，则输入的数值为______． 19．如图，已知A，B为数轴上的两点，点表示原点，点表示的数为．动点从出发做匀速运动，动点从出发做匀速运动． (1)若动点向右运动，动点向左运动，且两点同时出发，设运动的时间为t秒，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整，并回答问题． 时间t（秒） 0 1 2 点在数轴上的位置所表示的数 点在数轴上的位置所表示的数 3 2 直接写出C点的速度为_________________，D点的速度为_________________． (2)若点先出发，当时，点开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求为何值时，C、D两点相遇．（用一元一次方程求解） (3)若动点C，D以（1）中各自的速度同时同方向运动，当时，________________． 20．下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 21．如图，一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在数轴上且与点距离3个单位长度，则点表示的数是（    ） A．1 B．或 C．或 D．1或 22．在一个游戏中，玩家需要对一个正整数进行操作．对于正整数，根据除以5的余数，分以下五种情况得到另一个正整数；若余数为0，则；若余数为1，则；若余数为2，则；若余数为3，则；若余数为4，则．这种得到的过程称为对进行一次“游戏操作”．对所得的数再进行一次操作称为对进行二次操作，依此类推． （1）对正整数20进行三次操作，得到的数为_____； （2）若对正整数进行二次操作得到的数为2，则所有满足条件的的值之和为_________． 23．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是__________． 24．如图，点A、O、C、B为数轴上的点，其中A，B两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：，O为原点，C表示的数是2，我们将数轴在点O和点C处各弯折一次，弯折后与处于水平位置，线段处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“折坡数轴”，其中O为“折坡数轴”原点，在“折坡数轴”上，每个点对应的数就是把“折坡数轴”拉直后对应的数．记为“折坡数轴”拉直后点A和点B的距离：即，其中代表线段的长度． (1)由题意可知A、B两点所表示的数________，________； (2)若点T为“折坡数轴”上一点，且，请求出点T所表示的数； (3)定义“折坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，动点P从点A处沿“折坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动到点O，再上坡移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在点P出发的同时，动点Q从点B处沿“折坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动到点C，再下坡到点O，然后再沿方向移动，当点P重新回到点A时所有运动结束，设点P运动时间为t秒，在移动过程中： ①点P在第________秒时回到点A； ②当________时，．（请直接写出t的值） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $