专题5.3.2 实际问题与一元一次方程—商品销售与比赛积分（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题5.3.2 实际问题与一元一次方程—商品销售与比赛积分 教学目标 1.理解商品销售问题中的进价、售价、标价、利润、利润率、折扣等概念，掌握比赛积分问题的计分规则，能找出两类问题中的等量关系，列出一元一次方程，规范书写解题步骤，会检验解是否符合实际意义。 2.经历把销售、积分的实际情境转化为一元一次方程模型的过程，体会模型思想，提高读取信息、梳理数量关系的能力，辨析利润率、积分计算中的常见错误。 3.养成认真审题、理清数量关系、检验结果合理性的习惯，感受方程模型解决生活问题的价值，增强学好数学的信心。 教学重难点 1.重点 掌握销售问题的相关公式、比赛积分的计分规则；找准等量关系，列一元一次方程解决商品销售问题与比赛积分问题。 2.难点 （1）区分利润和利润率，理解折扣含义，正确运用利润率公式，避免公式混淆； （2）比赛积分问题中区分胜、负、平不同得分，理清总积分的组成； （3）从复杂文字情境中剥离信息，准确建立等量关系，检验解是否符合现实（场次、件数为非负整数）。 知识点01 商品销售问题 1. 商品销售问题中的基本量： 进价（成本）：购进商品时的价格。 售价：销售商品时的价格。 标价：销售商品前标出来的价格。 利润：销售商品过程中的纯收入。 利润率：利润占进价的百分比。 折扣：销售商品时打折的折数。 2. 商品销售问题中的基本等量关系： 利润＝售价－进价； 售价＝标价×折扣； 利润率＝利润÷进价×100% 【即学即练】 1．李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套”．厂长听后算了一下：若减价，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问：这种课桌每套的成本价是多少元？ 【答案】这种课桌每套的成本价是70元 【详解】解：设这种课桌每套的成本价是x元， 根据题意得：， 解得． 答：这种课桌每套的成本价是70元． 知识点02 比赛积分问题 比赛积分问题中的基本等量关系： 总场数＝胜场数＋平场数＋败场数 总积分＝胜场积分＋平场积分＋败场积分 【即学即练】 1．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】这支球队胜了9场 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 题型01 从商品销售问题中抽象出方程 【典例1】将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设这种商品每件的进价是元， ∵ 按进价提高后标价， ∴ 标价为元， ∵ 以九折优惠卖出， ∴ 实际售价为元， ∵ 每件获利元， ∴ ． 【变式1】某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这种商品每件的成本是元， ∵商品按成本价提高后标价， ∴标价为元， ∵又按标价的打折卖出， ∴实际售价为元， ∵获利85元，根据“售价=成本+利润”， ∴列方程得． 【变式2】某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． 【变式3】一件风衣按成本价提高后标价，再打七五折销售，仍可获利20元，设成本价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设成本价为元， ∵ 风衣按成本价提高后标价， ∴ 标价为， ∵ 标价再打七五折销售， ∴ 实际售价为， ∵ 获利等于实际售价减去成本价，已知获利20元， ∴ 可列方程为． 【变式4】某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵设这件商品的进价为元，商品按进价提高后标价， ∴标价为元， ∵再打八折销售，售价为元， ∴打八折后的售价为， 因此可列方程为． 题型02 列方程解决商品销售问题 【典例1】制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司制作每张餐桌的成本为500元，为尽快回收资金，欲将制作的餐桌全部出售，决定以标价的八折出售，这样全部出售后总获利31500元．求每张餐桌的标价是多少？ 【答案】(1)用木材制作桌面，木材制作桌腿 (2)每张餐桌的标价为800元 【详解】（1）解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿． 根据题意得：， 解得：， 则． 答：用15立方米做桌面，用3立方米做桌腿才能使制作的桌面和桌腿配套． （2）解：（张）， 设每张餐桌的标价是y元， 根据题意得：， 解得：． 故每张餐桌的标价是800元． 1.核心公式 利润 = 售价 − 进价 利润率 =×100\% 售价 = 标价×折扣（折扣：打8折就是乘 0.8） 推导：售价=进价×(1+利润率) 重点区分：利润率是相对于进价，不是标价、售价！ 2.四步解题技巧 圈关键词，分清概念 圈出：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率。 巧设未知数 常设：进价为x，或者标价为x；少数情况设折扣数为x。 用含x的式子表示售价、利润 根据折扣、利润率，把相关量翻译为代数式。 找等量，列方程，检验 等量一般从利润或者售价入手；结果要符合实际，价格大于 0。 【变式1】某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，元 (2)购进种商品件 (3)元或者元 【详解】（1）解：根据题意得，每件种商品利润率为， 种商品每件进价为元， 故每件种商品利润率为，种商品每件进价为元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 去括号，得， 整理，得， 解得， 答：该商场购进种商品件． （3）解：设小华打折前应付款为元， 打折前购物金额超过元，但不超过元，此时按总售价打九折， 由题意得， 解得； 打折前购物金额超过元，此时元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠， 可列方程， 去括号，得， 解得， 答：小华在购物打折前的总金额为元或者元． 【变式2】某公司租用仓库堆放3吨货物，每月租金元，这些货物原计划要销售3个月，但因为新冠肺炎疫情，公司将这批货物降价销售，结果2个月就销售完了．由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了元．问每千克货物降价了多少元？ 【答案】每千克货物降价了2元． 【详解】解：设每千克货物降价了元，由题意可得， 解得 答：每千克货物降价了2元． 【变式3】小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润元．现在按定价的八五折出售件，与按定价每件降价元出售件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？ 【答案】这种商品每件的定价是元． 【详解】解：设这种商品每件的定价为元，则每件商品的进价为元，按定价八五折出售件的总利润为元，按定价每件降价元出售件的总利润为元， ∵两种销售方式获得的利润一样， ∴， 化简得， 解得， 答：这种商品每件的定价是元． 【变式4】秋季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用480000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天超出或不足计划数的部分（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按七折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 【答案】(1)这七天共销售运动鞋1440双 (2)每双鞋的定价应为300元 (3)这批运动鞋全部销售后张老板共盈利102000元 【详解】（1）解： （双）． 答：这七天共销售运动鞋1440双． （2）解：设每双鞋的定价应为x元． 根据题意： ． 答：每双鞋的定价应为300元． （3）解：第五天的实际销售量：（双）， 第8、9天共销售：（双）， 剩余运动鞋数量：（双） 总销售额：（元）； 张老板共盈利：（元） 答：这批运动鞋全部销售后张老板共盈利102000元． 题型03 从比赛积分问题中抽象出方程 【典例1】2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 【变式1】足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该队共平了场， ∵该队共进行场比赛，负了场， ∴该队胜的场次为 ， ∵胜一场得分，平一场得分，总得分是分， ∴胜场总得分是，平场总得分是， 根据总得分列方程得：． 【变式2】2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场， ∴胜场和平场的总场次为场， ∵设胜了场， ∴平的场次为场， 又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分， ∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：． 【变式3】某球赛的比赛记分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一支球队一共进行了9场比赛，输了3场，得16分．设该球队胜了x场，则得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵总比赛9场，输3场， ∴（场） 依题意，该球队胜了x场，则平场， ∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为16分， ∴， 故选：B． 【变式4】学校组织知识竞赛，共道选择题，答对题加分，答错或不答扣分，某学生得了分，他答对了几道题？设他答对了道题，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设答对题数为x，则答错或不答题数为， ∵ 答对得分，答错扣分， ∴ 总得分方程为， 故选：A． 题型04 列方程解决比赛积分问题 【典例1】长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 1.核心等量关系 总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 胜场积分 = 胜一场得分 × 胜场数 平场积分 = 平一场得分 × 平场数 负场积分 = 负一场得分 × 负场数（很多比赛负场得0分） 总场数 = 胜场数 + 平场数 + 负场数 2.四步解题技巧 读题，记清计分规则 圈出：胜、平、负每场各得几分，有没有负场不得分。 巧设未知数 一般设胜场数为x，再用总场数减去x，表示平场、负场数量。 用含x的式子表示各项积分 分别写出胜场总分、平场总分、负场总分，相加等于题目给的总积分。 列方程 + 检验 场次必须是非负整数，不能是负数、小数。 【变式1】2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【答案】这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【详解】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场． 根据题意得： 解得： 答：这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【变式2】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【答案】他答对了19道题 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． 【变式3】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【详解】略 【变式4】某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 1．某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本， 根据题意得，， 去括号得，， 合并同类项得，， 移项得，， 系数化为1得，． 2．某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴商品的标价为元． 3．某种商品的进价为元，出售标价为440元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则商店可打（   ） A．6折 B．折 C．折 D．折 【答案】D 【详解】解：设商店可打折 ∵打折后售价为元，要保证利润率为，即利润为 ∴列方程得： 整理得 解得 因此商店可打折，故选D． 4．一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【详解】解：设未答题数为道，则答错题数为道，答对题数为道， 根据题意可得， 解得：， 故答对题数为． 5．2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【答案】 【详解】解；设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个. 根据题意列方程得： ， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为得：， 将代入得：， 中国队小组赛共进球：14个． 6．甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发．结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中____发、乙命中____发． 【答案】 8 6 【详解】解：设甲命中x发，则乙命中发， 根据题意得， 解得 答：甲中8发，乙中6发． 7．一件商品的标价是100元，打八折出售后可获利，这件商品的进价是_______元． 【答案】 【详解】解：设这件商品的进价为元，根据题意列方程得： ， 解得：， ∴这件商品的进价是元． 8．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为多少元？ 【答案】该商品每件的进价为元． 【详解】解：设该商品每件的进价为x元， 根据题意得，， 解得， 答：该商品每件的进价为元． 9．某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)， (2)小明购买了件或件乙商品 【详解】（1）解：根据题意可知，甲商品每件进价为元， 乙商品每件进价为元， 故甲商品的进价为元，乙商品的进价为元． （2）解：设小明此次购买了件乙商品， ，方案①不符合； 当购买商品总价超过元，但不超过元时， 可得， 解得； 购买商品总价超过元时， 可得， 解得， 综上，小明购买了件或件乙商品． 10．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)2；9 (3)解：可能实现 理由如下：设接下来的5场比赛D队胜场，则负场． 依题意，得， 解得， ，符合题意， 可能实现． 【详解】（1）解：对比C队和D队数据，C队比D队多胜1场，负场数相同，积分多分，故胜一场积2分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1； （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了的11场比赛中胜2场，负9场； 故答案为：2；9； （3）略 1．某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这批摆件的标价为元/套， ∵促销活动为八八折后再减8元， ∴实际售价为元， ∵每套进价为60元，要求获利18元，且获利等于实际售价减去进价， ∴列方程得． 2．如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个， 根据题意，得， 解得， 则早餐组合的收入为（元）， 故售出早餐组合的收入的范围是． 3．学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每套课桌椅的成本为元， 原订购60套，每套售价100元，每套利润为元， 原方案总利润为元； 实际购买72套，每套减价3元，实际每套售价为元，每套利润为元， 实际方案总利润为元， 两种方案利润相同， 列方程得． 4．贵州榕江足球超级联赛简称“贵州村超”．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队共踢了10场比赛，负了4场，共得了12分，那么这个足球队胜了（     ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】B 【详解】解：∵ 球队共比赛10场，负了4场 ∴ 胜场和平场的总场数为 场 设该球队胜了场，则平了场 根据得分规则和总得分列方程得 化简得 解得 ∴ 该球队胜了3场． 5．某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【答案】D 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． 6．暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，那么这个队胜了______场． 【答案】5 【详解】解：设这个队胜了场， 由题意得，总比赛9场，负2场，因此平的场数为场， 根据得分规则，总得分满足方程 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得. ∴这个队胜了场． 7．2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 【答案】 【详解】解：设这款手工生肖马窗花的标价为元．根据题意，得： 解得：， 故这款手工生肖马窗花的标价为元． 8．列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元． (2) 【详解】（1）解：设瓷青单价为元，则紫精轩单价为元， 依题意得 解得， 紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为元． （2）解：根据题意可知 紫精轩：单价元，销量（个）； 瓷青：单价元，销量个； 五月份总销售额为：元． 依题意得 ， 解得． 9．某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，求水蜜桃的进价是每千克多少元？ 【答案】水蜜桃的进价是每千克5元 【详解】解：设水蜜桃的进价是每千克元，则苹果的进价是每千克元， 根据题意可得， 解得， 答：水蜜桃的进价是每千克5元． 10．七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 10 10 40 用方程解决下列问题： (1)同学得了70分，他答对了多少道题? (2)同学说他得了80分，你认为可能吗?说明理由． 【答案】(1)他答对了15道题 (2)同学说他得了80分是不可能的，理由： 设同学答对了道题，则他答错了道题， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵应为正整数， ∴同学说他得了80分是不可能的． 【详解】（1）解：由题可知，答对1道题得5分，答错1道题扣1分 设同学答对了道题，则他答错了道题， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 答：他答对了道题； （2）解：略． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3.2 实际问题与一元一次方程—商品销售与比赛积分 教学目标 1.理解商品销售问题中的进价、售价、标价、利润、利润率、折扣等概念，掌握比赛积分问题的计分规则，能找出两类问题中的等量关系，列出一元一次方程，规范书写解题步骤，会检验解是否符合实际意义。 2.经历把销售、积分的实际情境转化为一元一次方程模型的过程，体会模型思想，提高读取信息、梳理数量关系的能力，辨析利润率、积分计算中的常见错误。 3.养成认真审题、理清数量关系、检验结果合理性的习惯，感受方程模型解决生活问题的价值，增强学好数学的信心。 教学重难点 1.重点 掌握销售问题的相关公式、比赛积分的计分规则；找准等量关系，列一元一次方程解决商品销售问题与比赛积分问题。 2.难点 （1）区分利润和利润率，理解折扣含义，正确运用利润率公式，避免公式混淆； （2）比赛积分问题中区分胜、负、平不同得分，理清总积分的组成； （3）从复杂文字情境中剥离信息，准确建立等量关系，检验解是否符合现实（场次、件数为非负整数）。 知识点01 商品销售问题 1. 商品销售问题中的基本量： 进价（成本）：购进商品时的价格。 售价：销售商品时的价格。 标价：销售商品前标出来的价格。 利润：销售商品过程中的纯收入。 利润率：利润占进价的百分比。 折扣：销售商品时打折的折数。 2. 商品销售问题中的基本等量关系： 利润＝ － ； 售价＝ × ； 利润率＝ ÷ ×100% 【即学即练】 1．李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套”．厂长听后算了一下：若减价，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问：这种课桌每套的成本价是多少元？ 知识点02 比赛积分问题 比赛积分问题中的基本等量关系： 总场数＝ ＋ ＋ 总积分＝ ＋ ＋ 【即学即练】 1．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 题型01 从商品销售问题中抽象出方程 【典例1】将一种商品按进价提高后标价，然后以九折优惠卖出，结果每件仍获利34元，这件商品的进价是多少元？设这种商品每件的进价是元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】一件风衣按成本价提高后标价，再打七五折销售，仍可获利20元，设成本价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 题型02 列方程解决商品销售问题 【典例1】制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司制作每张餐桌的成本为500元，为尽快回收资金，欲将制作的餐桌全部出售，决定以标价的八折出售，这样全部出售后总获利31500元．求每张餐桌的标价是多少？ 1.核心公式 利润 = 售价 − 进价 利润率 =×100\% 售价 = 标价×折扣（折扣：打8折就是乘 0.8） 推导：售价=进价×(1+利润率) 重点区分：利润率是相对于进价，不是标价、售价！ 2.四步解题技巧 圈关键词，分清概念 圈出：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率。 巧设未知数 常设：进价为x，或者标价为x；少数情况设折扣数为x。 用含x的式子表示售价、利润 根据折扣、利润率，把相关量翻译为代数式。 找等量，列方程，检验 等量一般从利润或者售价入手；结果要符合实际，价格大于 0。 【变式1】某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【变式2】某公司租用仓库堆放3吨货物，每月租金元，这些货物原计划要销售3个月，但因为新冠肺炎疫情，公司将这批货物降价销售，结果2个月就销售完了．由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了元．问每千克货物降价了多少元？ 【变式3】小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润元．现在按定价的八五折出售件，与按定价每件降价元出售件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？ 【变式4】秋季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用480000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天超出或不足计划数的部分（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按七折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 题型03 从比赛积分问题中抽象出方程 【典例1】2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1】足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】某球赛的比赛记分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一支球队一共进行了9场比赛，输了3场，得16分．设该球队胜了x场，则得方程（    ） A． B． C． D． 【变式4】学校组织知识竞赛，共道选择题，答对题加分，答错或不答扣分，某学生得了分，他答对了几道题？设他答对了道题，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04 列方程解决比赛积分问题 【典例1】长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 1.核心等量关系 总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 胜场积分 = 胜一场得分 × 胜场数 平场积分 = 平一场得分 × 平场数 负场积分 = 负一场得分 × 负场数（很多比赛负场得0分） 总场数 = 胜场数 + 平场数 + 负场数 2.四步解题技巧 读题，记清计分规则 圈出：胜、平、负每场各得几分，有没有负场不得分。 巧设未知数 一般设胜场数为x，再用总场数减去x，表示平场、负场数量。 用含x的式子表示各项积分 分别写出胜场总分、平场总分、负场总分，相加等于题目给的总积分。 列方程 + 检验 场次必须是非负整数，不能是负数、小数。 【变式1】2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【变式2】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【变式3】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【变式4】某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 1．某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 2．某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．某种商品的进价为元，出售标价为440元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则商店可打（   ） A．6折 B．折 C．折 D．折 4．一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 5．2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 6．甲、乙二人比赛射击，规定：若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射击10发．结果共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，甲命中____发、乙命中____发． 7．一件商品的标价是100元，打八折出售后可获利，这件商品的进价是_______元． 8．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为多少元？ 9．某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 10．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 1．某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（     ）． A． B． C． D． 4．贵州榕江足球超级联赛简称“贵州村超”．在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队共踢了10场比赛，负了4场，共得了12分，那么这个足球队胜了（     ） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 5．某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 6．暑假里，某地组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，勇士队在第一轮比赛中赛了9场，负了2场，共得17分，那么这个队胜了______场． 7．2026年春节来临之际，某非遗文创店推出了“非遗贺新春·寻味中国年”活动，其中一款手工生肖马窗花的进价为16元，按八折售出后仍盈利，则这款手工生肖马窗花的标价为__________元． 8．列方程（组）解下列问题： 荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯个、个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多元． (1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？ (2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价元，瓷青每个降价元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加，瓷青多销售个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长．求的值． 9．某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元，求水蜜桃的进价是每千克多少元？ 10．七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 10 10 40 用方程解决下列问题： (1)同学得了70分，他答对了多少道题? (2)同学说他得了80分，你认为可能吗?说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $