精品解析：重庆珊瑚中学教育集团2026-2027学年度上期九年级半期定时作业数学试卷

重庆珊瑚中学教育集团2026－2027学年度上期九年级半期定时作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 根据角的锐角三角函数值即可解答． 【详解】解：． 故选A． 2. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三视图的定义，从正面进行观察判断即可．本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，根据图示标注的方向判断是解题的关键． 【详解】解：由题意可得图中几何体的主视图是 故选C． 3. 已知，则下列结论一定成立的是（） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例式的变形和运算是关键． 根据比例，得，逐一验证各选项是否符合比例关系． 【详解】解：选项A：当时，，但，故A不一定成立. 选项B：当时，，但，故B不一定成立. 选项C：当时，，但，两者不相等，故C不一定成立. 选项D：∵，∴，故选项D成立， 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解： 解得， 故选：C． 5. 如图，已知．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】相似三角形的对应边成比例． 【详解】解：∵， ∴． 6. 如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出试验结果的概率，再逐一分析即可． 【详解】解：由图知，试验结果在附近波动，即其概率． A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故本选项不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面向上的概率是，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项符合题意． 7. 如图所示，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（ ） A. 12cm B. C. 6cm D. 3cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：垂直且平分线段， ， 四边形是矩形，对角线与相交于点，， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 8. 一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（　　） A. （x+1）（x+2）＝30 B. （x﹣1）（x﹣2）＝30 C. （x+1）（x﹣2）＝30 D. （x﹣1）（x+2）＝30 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为cm，原矩形纸片的边长为cm、cm，根据矩形面积即可列方程． 【详解】解：设正方形的边长为cm，则原矩形纸片的边长为cm、cm，依题意得： ． 故选A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是表示出长方形的长和宽，然后根据面积列方程求解． 9. 如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2．向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（　　） A. y＝x2﹣2x B. y＝x2﹣4x C. y＝x2﹣4x﹣3 D. y＝x2﹣4x+3 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴可求得，进而根据向下平移经过原点即可求得平移后的解析式 【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2 ∴ 解得 向下平移该二次函数的图象，使其经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的表达式为 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的平移，求得二次函数的解析式是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，．则下列说法：①；②；③的面积与的面积相等；④四边形的面积是面积的，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据翻折性质和正方形性质，结合三角形的内角和定理得到可判断①；过点F作直线，分别交、于点Q、P，先证明四边形是矩形得到，，，再证明，利用相似三角形的性质推导出，则，在中，由勾股定理求得，进而利用勾股定理可判断②；利用三角形的面积公式可判断③④，进而可得答案． 【详解】解：①∵点E是边的中点， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， 设， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故结论①正确； ②如图，过点F作直线，分别交、于点Q、P， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故结论②正确； ③∵，， ∴， 故③正确； ④∵， ∵将沿翻折，得到， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形的面积是面积的， 故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②③④共4个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 菱形的两条对角线长分别为8和6，则菱形的面积为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】已知菱形两条对角线的长度，利用菱形面积等于对角线乘积的一半直接计算即可． 【详解】解：∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知两条对角线长分别为和， ∴该菱形的面积为． 12. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值． 【详解】解：将代入x2＋3x＋k＝0中 可得： 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 13. 临近春节某干果店迎来了销售旺季，12月的第一周销售额为万元，第三周的销售额为万元，设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 15. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】设，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可． 【详解】解：设米 在中，，则 在中，，则 ，即，解得 即米 故答案为米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值． 16. 如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则______．当最小时，的长是______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得的长，再由折叠的性质可得， 连接，求出的长，可得点B，F，G三点共线时，最小． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， 如图，连接， ∴， ∴， 此时B，F，G三点共线时，最小，最小值为． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）运用配方法，直接开平方即可求解； （2）运用提取公因式法，进行因式分解即可求解． 【小问1详解】 解： 移项得， 配方，等式两边同时加上得，，整理得，， 直接开方得，， 移项得，， ∴，． 【小问2详解】 解： 移项得， 提取公因式得， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查配方法，因式分解法解一元二次方程，掌握配方法，因式分解法是解题的关键． 18. 为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校开展了劳动教育实践周活动．九年级提供了四类活动：A．物品整理，B．环境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每个学生必须参加且只参加其中一项活动．九年级1班学生参与四类活动情况统计，如图所示． （1）该班有15人参加A类活动，求参加C类活动的人数； （2）若该班参加活动的学生中，获得年级A类一等奖的有2名学生，获得年级D类一等奖的有2名学生．现从这4人中随机抽取2名参加学校劳动技能比赛，求抽到的两位同学恰好是1名A类和1名D类的概率． 【答案】（1）人 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）用参加A类活动的人数除以扇形统计图中A的百分比可得九年级1班学生人数，再用九年级1班学生人数乘以扇形统计图中C的百分比可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两位同学恰好是1名A类和1名D类的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：，（人）； 【小问2详解】 根据题意，将获得年级A类一等奖的有2名学生分别记为、，获得年级D类一等奖的有2名学生分别记为、， 可列表如下： 一共有12种情况，每种情况出现的可能性相同，其中满足条件的有8种情况． 所以，． 19. 如图，在平行四边形中，是其对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，在边上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图所示： （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ，平分， ， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据题意作出的角平分线和线段，连接，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，根据三线合一得出，即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下，是边上的任意一点，请直接写出的边上与点对应的点的坐标． 【答案】（1）与位似，且相似比为的和，如图即为所求； （2）或 【解析】 【分析】（1）分同侧和异侧两种情况画出位似图形； （2）根据位似的性质对应横、纵坐标分别乘以或，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，点对应的点的坐标为或． 21. 一个专营农副产品的批发公司，以60000元的成本收购了某种水果50吨，目前可以按1600元/吨的价格出售．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用2000元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元． （1）储藏2周后全部卖出，可以获得多少利润？ （2）储藏多少周后全部卖出，可以获得34000元的利润？ （3）储藏多少周后全部卖出，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）28000元 （2）5周或7周 （3）储藏6周后全部卖出，可获得最大利润，最大利润为34400元 【解析】 【分析】（1）根据“利润总售价总成本各种费用”即可求出获得的利润． （2）设储藏x周后全部卖出，可以获得利润34000元．根据“利润总售价总成本各种费用”列方程求解即可． （3）设储藏x周后全部卖出，可以获得利润为y元，依题意列出y与x之间的函数关系式，再化为顶点式，即可求出y的最大值． 【小问1详解】 解：（元）， 答：可获得28000元利润； 【小问2详解】 解：设储藏x周后全部卖出，可以获得利润34000元． 依题意得： 整理得：， 解得：， 答：储藏5周或7周后全部卖出，可获利润34000元； 【小问3详解】 解：设储藏x周后全部卖出，可以获得利润为y元，依题意得： ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为34400元． 答：储藏6周后全部卖出，可获得最大利润，最大利润为34400元． 【点睛】本题主要考查利用一元二次方程解决实际问题，以及利用二次函数求最大值，理解题意，正确地列出方程和函数关系式是解题的关键． 22. 如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】（1） （2） 函数图像如图： （3）的值1.0或2.5 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点在线段上，点在上时，当点在射线上时，点在上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质； （3）根据函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 当点在线段上，点在上时， ， 此时：，，， ， ； 当点在射线上时，点在上时， ， 此时：，， ， ； 综上所述：， 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 由函数图象可得： 函数的性质： ①当或时，随增大而增大，当时，随增大而减少； ②当时，函数有最大值4；（回答一个即可） 【小问3详解】 解：由函数图象可得： 的面积为1时的值1.0或2.5． 【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 23. 某电视台使用无人机拍摄“嘉陵江大桥”夜景，A，B，C，D，E位于同一平面，桥上有A，B两点，点B在点A的正东方向280米处，无人机悬停于E，沿着的路线进行拍摄，C在B的正北方向，E在A的北偏东方向，D在E的正东方向100米处，且在C的北偏西方向160米处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号） （2）某一时刻，一列轻轨由A向B过江，车头到达无人机E处的正南方向时，无人机同时从E出发沿进行跟踪拍摄，已知轻轨过桥速度为，无人机飞行速度为．无人机的镜头在与轻轨车头的直线距离不超过100米时（轻轨高度忽略不计），能够清晰拍摄．请问轻轨行驶到距离B处多少米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄轻轨（结果保留一位小数）？ 【答案】（1）米 （2）55.6米 【解析】 【分析】（1）过点E作交于点F，过点D作交于点G，过点C作交于点H，利用解直角三角形和勾股定理分别求得的长度，的长度，再利用线段的和差关系即可求得最终结果； （2）过点Q作于点R，过点C作于点T，设无人机飞行了米，则轻轨行驶了米，利用解直角三角形分别得出相关线段的表达式，再利用勾股定理列出方程求解x的值，从而利用线段和差关系即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：如图，过点E作交于点F，过点D作交于点G，过点C作交于点H， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：假设轻轨在P、无人机在Q时开始清晰拍摄， 如图，过点Q作于点R，过点C作于点T， ∵轻轨过桥速度为，无人机飞行速度为， ∴， 设无人机飞行了米，则轻轨行驶了米， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 即， 整理得：， 解得，， ∵，即， ∴， 此时轻轨距离B：（米）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，连接，作直线． （1）求抛物线的表达式； （2）在直线上方的抛物线上找一点，使得．的面积最大，求出此时点的坐标及的面积最大值 （3）已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），最大值为 （3）点为或， 由（2）可得，当取得最大值时，．此时 ，． 设的坐标为． 当点在点的左边，，如答图1． ， ． ． ， ∴直线为． ，且过点， ∴直线为． 直线经过点， ． 解方程，得(舍去)． ． 当点在点Q的右边，． 如答图2，过点作轴，与过点与轴平行的直线交于点． 则． ， ， ． ． ，即． ∴整理，得． 解方程，得(舍去)． ． 综上所述：满足条件的点为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线为，设的坐标为，．则．当取得最大值时，．得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）由（2）可得，当取得最大值时，， 设的坐标为，分当点在点Q的右边和当点在点的左边两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解方程组，得， ∴抛物线的解析式是； 【小问2详解】 ∵抛物线与轴交于点，故． ，，则直线为． 设的坐标为，则． ． 当时，取得最大值， ∴， ∵ ∴的面积最大值为 【小问3详解】 略 25. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 （1）如图1，当为等边三角形时，小彤发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，并证明； 【类比探究】 （2）小彤尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）刘老师提出新的探究方向：当是边长为2的等边三角形，且时，将绕点顺时针旋转得到，当直线与直线互相垂直时，请画出图形，并直接写出的面积． 【答案】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质得，，， ． 为等边三角形， ． ， 在和中 ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转的性质得，，， ，． ，， ． ． ． 在和中 ． ． ， ． ． ， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形； （3）； 【解析】 【分析】（1）由旋转得，，故，根据为等边三角形得，所以．又，证，得． （2）由旋转得，，故，．等腰直角中，得，故．又，，，证，得．由得，故，推出，结合，得四边形是平行四边形． （3）直线与第一次垂直时，旋转角．由，，得．过作，可得，故，面积为．第二次垂直时旋转角为，同理得，面积仍为．综上面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当直线与直线第一次垂直时，过作，交延长线于， 此时绕点顺时针旋转，即， ， ， 由题意，,，， ， ； 如图，当直线与直线第二次垂直时，过作，交于， 此时将绕点顺时针旋转，即， ， ， ； 综上，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆珊瑚中学教育集团2026－2027学年度上期九年级半期定时作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论一定成立的是（） A. ， B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 7. 如图所示，在矩形中，对角线与相交于点O，垂直且平分线段，垂足为点E，，则的长为（ ） A. 12cm B. C. 6cm D. 3cm 8. 一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（　　） A. （x+1）（x+2）＝30 B. （x﹣1）（x﹣2）＝30 C. （x+1）（x﹣2）＝30 D. （x﹣1）（x+2）＝30 9. 如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2．向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（　　） A. y＝x2﹣2x B. y＝x2﹣4x C. y＝x2﹣4x﹣3 D. y＝x2﹣4x+3 10. 如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，．则下列说法：①；②；③的面积与的面积相等；④四边形的面积是面积的，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 菱形的两条对角线长分别为8和6，则菱形的面积为__________． 12. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 13. 临近春节某干果店迎来了销售旺季，12月的第一周销售额为万元，第三周的销售额为万元，设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为______． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 15. 如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号） 16. 如图，正方形的边长为4，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则______．当最小时，的长是______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 18. 为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校开展了劳动教育实践周活动．九年级提供了四类活动：A．物品整理，B．环境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每个学生必须参加且只参加其中一项活动．九年级1班学生参与四类活动情况统计，如图所示． （1）该班有15人参加A类活动，求参加C类活动的人数； （2）若该班参加活动的学生中，获得年级A类一等奖的有2名学生，获得年级D类一等奖的有2名学生．现从这4人中随机抽取2名参加学校劳动技能比赛，求抽到的两位同学恰好是1名A类和1名D类的概率． 19. 如图，在平行四边形中，是其对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，在边上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求证：四边形是矩形． 20. 如图的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心画，使它与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下，是边上的任意一点，请直接写出的边上与点对应的点的坐标． 21. 一个专营农副产品的批发公司，以60000元的成本收购了某种水果50吨，目前可以按1600元/吨的价格出售．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用2000元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元． （1）储藏2周后全部卖出，可以获得多少利润？ （2）储藏多少周后全部卖出，可以获得34000元的利润？ （3）储藏多少周后全部卖出，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 23. 某电视台使用无人机拍摄“嘉陵江大桥”夜景，A，B，C，D，E位于同一平面，桥上有A，B两点，点B在点A的正东方向280米处，无人机悬停于E，沿着的路线进行拍摄，C在B的正北方向，E在A的北偏东方向，D在E的正东方向100米处，且在C的北偏西方向160米处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号） （2）某一时刻，一列轻轨由A向B过江，车头到达无人机E处的正南方向时，无人机同时从E出发沿进行跟踪拍摄，已知轻轨过桥速度为，无人机飞行速度为．无人机的镜头在与轻轨车头的直线距离不超过100米时（轻轨高度忽略不计），能够清晰拍摄．请问轻轨行驶到距离B处多少米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄轻轨（结果保留一位小数）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，连接，作直线． （1）求抛物线的表达式； （2）在直线上方的抛物线上找一点，使得．的面积最大，求出此时点的坐标及的面积最大值 （3）已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 （1）如图1，当为等边三角形时，小彤发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，并证明； 【类比探究】 （2）小彤尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）刘老师提出新的探究方向：当是边长为2的等边三角形，且时，将绕点顺时针旋转得到，当直线与直线互相垂直时，请画出图形，并直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $