精品解析：重庆市南岸区江南新城珊瑚中学校2025-2026学年 2025-2026学年九年级上学期 期中考试数学试题

2025-2026学年度上期九年级半期质量监测数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图片分别是新能源汽车“智己”“理想”“极氪”“蔚来”的徽标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是反比例函数的图象上的任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积为6，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 6. 如图，直线，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 7. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点为位似中心，若，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 有一块周长为米的矩形菜地，为扩大种植面积，将菜地的长、宽各增加米，结果菜地面积增加了，求原来菜地的长和宽．若设原来菜地的长为米，根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 图， 点E为正方形的边上的一点， DE=1，CD=4，连接为边延长线上一点，且，连接，过点作交 于点，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中是正整数，，，，，是自然数，若，．下列说法：若，，则满足条件的整式有且仅有个；若，则满足条件的整式中有个五次四项式；若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 已知，则________． 12. 若是方程的一个根，则______． 13. 有两个袋子，装着形状、大小相同的小球，其中甲袋有红球2个、白球1个，乙袋有红球1个、白球1个，从两个袋中各随机摸出一个球，两个都是红球的概率是__________． 14. 如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为_____． 15. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，将沿着直线翻折到矩形所在的平面，得到，延长交线段于点．若，则_____，_____． 16. 如果一个各位数字均不相同的四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则______；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. （1）解一元二次方程：； （2）计算：． 18. 某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）现从八、九年级所有被抽取学生中，选取测试等级为“非常了解”的学生，再从中随机抽取两名参加市级竞赛．请用列表法或树状图，求所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 21. 某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 22. 如图，正方形中，点是的中点，点是边上任意一点（与点，点不重合），点在边上，连接，交射线于点，已知，，设，，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留一位小数）； （2）小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数） 24. 如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． （1）求的值； （2）点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧， ①连接，，为直线上的一个动点，连接，若，求的最小值； ②如图2，过点作交直线的延长线于点，若，求点的坐标． 25. 如图1，在中． （1）若于点，且点为的中点，，点在上，连接，作于点，连结． ①，求的长； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）如图2，若，，点是边上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期九年级半期质量监测数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 下列图片分别是新能源汽车“智己”“理想”“极氪”“蔚来”的徽标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，找到从左面看到的图形即可．会从不同方向看出几何体的图形是解题的关键． 【详解】解：图2的左视图为： ， 故选：B． 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出三角函数值即可. 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5， ∴sinB＝=． 故选D． 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键. 5. 如图，是反比例函数的图象上的任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积为6，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数图象所在的象限确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于6， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，直线，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 7. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点为位似中心，若，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的位似和平面直角坐标系，过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为点和点，根据题意可知，证得，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为点和点． 根据题意可知． ∵，， ∴． ∴，． ∴，． ∴点的坐标为． 故选：C 8. 有一块周长为米的矩形菜地，为扩大种植面积，将菜地的长、宽各增加米，结果菜地面积增加了，求原来菜地的长和宽．若设原来菜地的长为米，根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来菜地的长为米，原来菜地的宽为米，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设原来菜地的长为米， 由题意得，， 故选：． 9. 图， 点E为正方形的边上的一点， DE=1，CD=4，连接为边延长线上一点，且，连接，过点作交 于点，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作GH⊥BC于点H，先证明△ADE≌△ABF，可得AE=AF，从而得到EG=FG，再根据△FGH∽△FEC，可得，，进而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠ABF=90°， ∴GH∥CD， ∵DE=BF=1，AD=CD=4， ∴CF=5，CE=3， 在△ADE和△ABF中， ∵AD=AB，∠D=∠ABF，DE=BF， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴AE=AF， ∵AG⊥EF， ∴EG=FG， ∵GH∥CE， ∴△FGH∽△FEC， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明△FGH∽△FEC是解题的关键． 10. 已知整式，其中是正整数，，，，，是自然数，若，．下列说法：若，，则满足条件的整式有且仅有个；若，则满足条件的整式中有个五次四项式；若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的有关概念，根据，进行逐一判断即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵是正整数，，，，，是自然数，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴只有个，为，故正确； 当，则， ∵要满足五次四项式， ∴，，，，中有两个为，其余为， ∴，，，，，，共个，故正确； ∵，， ∴， ∵，且为自然数， ∴，解得：， ∴，， ∴当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； 当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； 当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； ∴满足条件的整式共有个，故正确； 综上可知：正确的个数是个， 故选：． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质可得，代入已知条件即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可． 【详解】 m是方程的一个根， ， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 13. 有两个袋子，装着形状、大小相同的小球，其中甲袋有红球2个、白球1个，乙袋有红球1个、白球1个，从两个袋中各随机摸出一个球，两个都是红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共6种等可能的结果，其中两个都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共6种等可能的结果，其中两个都是红球的结果有2种， 两个都是红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 根据条件可得反比例函数解析式，利用解析式求出当时值即可． 【详解】解：∵在中，轴，点， ∴， ∴点的坐标， ∵反比例函数的图象在第一象限内经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴点的横坐标为3． 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，将沿着直线翻折到矩形所在的平面，得到，延长交线段于点．若，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】证明，可得，再由，可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到；由折叠的性质得：，，，，再结合，可得，从而得到，设，则，在中，利用勾股定理可求出x的值，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：； 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等角对等边，折叠性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 16. 如果一个各位数字均不相同的四位数满足，，那么称这个四位数为“十一数”．将“十一数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如四位数，，不是“十一数”；又如四位数，，，是“十一数”，．若是最大的“十一数”，则______；对于“十一数”，若能被7整除，则满足条件的最小的“十一数”为______． 【答案】 ①. 829 ②. 1987 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“十一数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被7整除，只需能被7整除即可，结合，，得出可以为0或7或14，再求解即可． 【详解】解：一个四位数满足，， ，，且，，，，且、、、为整数， ，由题意得 ， ， ， 若是最大的“十一数”，则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 当时，， 则此时，不符合题意， 当时，， 则此时，符合题意， 则； ， 要使能被7整除，只需能被7整除即可， ，， ， 可以为0或7或14， 当时，，此时，不符合题意； 当时， 要使最小，则应尽可能小， ， 满足条件的最小的“十一数”为1987， 故答案为：829；1987． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. （1）解一元二次方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和特殊角三角函数值的计算： （1）使用配方法解方程； （2）代入特殊角三角函数值进行计算． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2） ． 18. 某数学学习小组在自主探究筝形（两组邻边分别相等的四边形叫筝形）的性质中，发现：过筝形较长对角线的中点作这条对角线的垂线，与筝形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用垂直平分线的性质以及证明三角形全等等知识得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，筝形中，，，点是的中点．用尺规过点作的垂线，与，分别交于点，点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：经过的中点，且， ，① ，，， ． ② 于点， ③ ． ， ． ④ 四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知垂线的尺规作图方法和菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据已知推理过程，结合菱形的判定定理和线段垂直平分线的性质和判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂等知识，根据分式的运算法则先化简分式，根据零指数幂，负整数指数幂求出，再代入进行计算即可，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 由， ∴原式． 20. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）现从八、九年级所有被抽取学生中，选取测试等级为“非常了解”的学生，再从中随机抽取两名参加市级竞赛．请用列表法或树状图，求所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 【答案】（1）82，78，20 （2） 八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78； （3） 【解析】 【分析】本题考查了从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，求概率． （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）先求出八、九年级“非常了解”的人数，再画出树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：八年级“非常了解”的人数为； 九年级“非常了解”的人数为2； 设八年级2人为A、B，九年级2人为C、D， 作图如下： 可知共12种情况，其中所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的情况有2种， 即所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 21. 某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】（1）型设备每小时铺设的路面长度为90米 （2）的值为10 【解析】 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； 【小问2详解】 根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 22. 如图，正方形中，点是的中点，点是边上任意一点（与点，点不重合），点在边上，连接，交射线于点，已知，，设，，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1），； （2） 图象如下： ； 当时，的最小值为0；在区间内，随的增大而减小； （3）时的取值范围为． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识． （1）分和两种情况求得，证明，利用相似三角形的性质求得； （2）根据函数关系式列表，描点，连线，作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象下方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 当时，， 当时，， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 综上，，； 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 6 3 0 3 8 4 2 描点，连线，图象略； 【小问3详解】 解：联立方程组， 解得或（舍去）， 观察图象，时的取值范围为． 23. 如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留一位小数）； （2）小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数） 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，在中， 可得，在中，可得，即可求解； （2）设，则，可得，在中，可得，从而得到，在中，可得，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 在中，， ， 由题可得，， 在中， ， 千米， 即的长度为千米． 【小问2详解】 解：如图，由题意，设，则， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 即， 解得：， ∴千米， 即小红与游客中心点的距离是千米． 24. 如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． （1）求的值； （2）点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧， ①连接，，为直线上的一个动点，连接，若，求的最小值； ②如图2，过点作交直线的延长线于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①10 ；② 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可； （2）①先根据面积求得，再过作轴于点，可得，作点关于的对称点，则，从而可得，当且仅当三点共线时取等，而当垂直轴时有最小值，据此求解即可； ②过点作交延长线于点，作于点，证明，可得，用表示出点的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：①如图，过点作轴于点， 对于， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在反比例函数上， ∴设点的坐标为，则， 在上， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ， ， ， 过作轴于点， 则， ， ， ， 作点关于的对称点，则，延长交轴于点， ， 当且仅当三点共线时取等，而当垂直轴时有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 设直线解析式为， 将点代入得，， ∴直线解析式为， 联立， 解得， 即， ∵关于点对称， ， ∴， 即的最小值为 10 ； ②如图 ，过点作交延长线于点，作于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ∵点是反比例函数的图象上的一点， ， 解得：， ∵点在点的右侧， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查的是相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图1，在中． （1）若于点，且点为的中点，，点在上，连接，作于点，连结． ①，求的长； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）如图2，若，，点是边上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】（1）①， ②． 理由如下： 作，交于点，如图1， ∵， ∴； ∵是中点， ∴， 即， 又∵四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据四边形是平行四边形，得出，，则，根据于点，且点为的中点，得出，则，求出，勾股定理求出． ②作，交于点，如图1，根据，得出；结合，得出，根据四边形是平行四边形，得出；，，则，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则，结合，即可得； （2）连接，，利用证明可得，进而可得，再过点作，且使，连接，构造出，得出，再得出，取中点，连接，得出，由两点之间线段最短得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵于点，且点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ②略 【小问2详解】 解：如图2，连接，， ∵在中，，， ∴，是菱形， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∴， 过点作，且使，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 取中点，连接， ∴， ， ∵， ∴当、、三点在同一直线上时最大，最大值为. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $