精品解析：福建泉州市晋江市侨声中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段考试数学试卷

2026年秋季高一年第一次阶段考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题“关于x的方程在上有解”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】因为原命题即为“，”是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即为“，”， 故选：B 2. 已知，使成立的必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由，得，A是； 对于B，取，满足，而，B不是； 对于C，取，满足，而，C不是； 对于D，取，满足，而，D不是. 3. 下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义依次判断各个选项. 【详解】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，故A错误； 对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误； 对于C，即，满足函数的定义，故C正确； 对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误. 故选：C. 4. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合,然后求交集. 【详解】由图知，阴影部分表示的集合为， 或，. 或或，， . 故选：B 5. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值. 【详解】因正数a，b满足， 则， 当且仅当，即， 所以当时，取得最小值9. 故选：A 6. 在下列各组中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为R，定义域为，C不是； 对于D，函数与的定义域都为R，且，即对应法则也相同，D是. 故选：D 7. 定义集合运算：且，若集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由题且，，， 所以. 根据集合的基本性质：若一个集合含有个元素，则其真子集的个数为， 所以的真子集个数为. 8. 已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为，再利用基本不等式求最值. 【详解】由题意可知，有解，即， 因为，所以， 那么 ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设集合，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由集合特征可确定集合间关系，据此可得答案. 【详解】对于A，对于，， 则，，从而，故A错误； 对于B，，存在，使，则集合是集合的子集，B正确； 对于C，显然，令，则，使，从而集合与集合不相等，C正确； 对于D，，设， 若为偶数，则，使， 若为奇数，则，使， 从而可得：集合为的子集， ，若，则，使， 若，则，使，从而集合是集合的子集， 从而，又，则，D正确. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，当时，，故A不正确； 对于B，由，且可得，故B正确； 对于C，若，由的单调性可知，故C正确； 对于D，当时，，故D不正确. 11. 已知正数，且，满足，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由代数等价变形可得，再结合可判断选项正误；对于B，由题设结合基本不等式可判断选项正误；对于C，由A分析可得，然后由基本不等式可判断选项正误；对于D，由基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于A，因，则， 若，则，矛盾，故， 所以 从而，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，由A分析， ，当且仅当，时取等号，C正确； 对于D，由A分析可得，则，故D错误. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 某高中学生运动会，某班 60 名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有 17 人，参加径赛的有 23 人，则田赛和径赛都参加的学生人数为________ 【答案】 【解析】 【详解】由题意，班级共名学生，其中一半学生未参加比赛，因此参加比赛的学生总人数为. 设田赛和径赛都参加的学生人数有人，根据题意做出如图所示的图. 由图知，只参加田赛一项比赛的有人，只参加径赛一项比赛的有人， 由题意又有，整理后解得， 即同时参加田赛和径赛的学生人数为10人. 14. 已知函数 的定义域是不等式 的解集，则函数 的定义域为________ 【答案】 【解析】 【详解】的解集为，所以的定义域为， 因为，所以， 故，解得，即. 故定义域为. 四、解答题：本题共 5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合或，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求得集合，利用交集的意义可求得，利用补集的意义可求得，进而利用并集的意义可求得； （2）由已知可得，进而列出所满足的不等式，可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，又或， 所以，， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，或， 所以或，解得或. 所以实数的取值范围为. 16. （1）证明不等式：已知，求证：. （2）若，求函数的最大值. 【答案】（1）由，得， 所以， 又，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质证明即可； （2）根据基本不等式求解可得. 【详解】（1）略 （2）， 因为，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 所以， 所以当且仅当时，函数取得最大值，最大值为. 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）写出满足的关系； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） 且. （2） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据给定解集求出关系式. （2）由（1）的结论化简不等式，再解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 由关于的不等式的解集为， 得，且，因此，解得且， 所以满足的关系为且. 【小问2详解】 由及不等式，得， 而，则， 当时，，解得； 当时，，不等式的解集为； 当时，，解得， 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，不等式解集为. 18. 设函数. （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）当时，成立，求的取值范围； （3）设不等式对于满足的一切的取值都成立，求的取值范围. 【答案】（1）的取值范围为 （2）的取值范围为 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）由题意可得对恒成立，可得，进而求解即可； （2）令，分，和三种情况讨论，可求得的取值范围； （3）以为主元，令，由题意可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由对恒成立，即对恒成立， 所以，整理得，所以， 解得，所以的取值范围为； 【小问2详解】 当时，成立，得对恒成立， 令，则的对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 所以，则， 解得，又，故无解； 当，即时，所以， 则，所以，解得，又 所以； 当，即时，则在上单调递减， 所以，则，解得； 又，所以； 综上所述：的取值范围为； 【小问3详解】 由，得，令， 因为不等式对于满足的一切的取值都成立， 所以，所以，整理得， 对于不等式，，不等式解集为； 由不等式，得，解得或； 所以不等式组的解集为， 所以的取值范围为. 19. 笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学．对于非空数集，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”． （1）若，求和； （2）若是非空数集，证明：“”的充要条件是“”； （3）若集合H是有限集，将集合H中的元素个数记为．若，，且满足，当取得最大值时，求的最小值． 【答案】（1）；. （2） ①证明“”是“”的充分条件. 证明：若， 任取，则对于任意，有， 因为，则，所以， 故；任取，则对于任意，有， 因为，则，所以，故； 综上可知，，得证. ②证明“”是“”的必要条件. 证明：若，设， 则，且， ，且， 故，得证； 综上所述：“”的充要条件是“”，得证. （3）2 【解析】 【分析】（1）由定义列举可得； （2）分别证明充分性与必要性，借助互为子集证明集合相等. （3）利用基本不等式求出最值何时取到，代入式子，消元再整体换元，再次使用基本不等式求函数最值. 【小问1详解】 由题意知，， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，， 则，且. 所以有，即， 则 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值. 当取得最大值时，有，则， 则，令，且，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故当取得最大值时，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点：一是理解定义，应用定义解决求解新的集合及探索集合间的关系；二是根据不同分式型结构选择求函数最值的方法，如第（3）问中，将“齐二次比”型函数，通过分式同除以运算转化为，以及利用整体换元，将转化为函数最值，进而利用基本不等式得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一年第一次阶段考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题“关于x的方程在上有解”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，使成立的必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 6. 在下列各组中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 定义集合运算：且，若集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设集合，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知正数，且，满足，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 不等式的解集为________ 13. 某高中学生运动会，某班 60 名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有 17 人，参加径赛的有 23 人，则田赛和径赛都参加的学生人数为________ 14. 已知函数 的定义域是不等式 的解集，则函数 的定义域为________ 四、解答题：本题共 5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合或，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）证明不等式：已知，求证：. （2）若，求函数的最大值. 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）写出满足的关系； （2）解关于的不等式. 18. 设函数. （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）当时，成立，求的取值范围； （3）设不等式对于满足的一切的取值都成立，求的取值范围. 19. 笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学．对于非空数集，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”． （1）若，求和； （2）若是非空数集，证明：“”的充要条件是“”； （3）若集合H是有限集，将集合H中的元素个数记为．若，，且满足，当取得最大值时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $