精品解析：福建省漳州市龙文区第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

龙文一中2026~2027学年高一年上学期第一次月考 数学科试卷 高一数学备课组 202610 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则的非空真子集共有（ ） A. 6个 B. 8个 C. 12个 D. 14个 4. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 5. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，” C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知x，y为正实数，，则（ ） A. xy的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为16 11. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ） A. 集合为闭集合； B. 集合为闭集合； C. 集合为闭集合； D. 若集合为闭集合，则为闭集合． 三、填空题（本大题共有3个小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 13. 若，则的最小值为______. 14. 已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.） 15. 已知全集，，. （1）求； （2）求； （3）求. 16. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 17. （1）设a、b为实数，比较与的值的大小. （2）已知，求的取值范围； （3）写出集合的所有子集. 18. 科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小． （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围． 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙文一中2026~2027学年高一年上学期第一次月考 数学科试卷 高一数学备课组 202610 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把集合解出来化成最简形式，再利用补集和交集的定义即可得出答案. 【详解】由或，故集合或，所以， 易得集合，故. 故选：B. 2. 已知 ，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由命题所对应的集合，利用其包含关系进行判断． 【详解】命题对应的集合为， 命题对应的集合为， 由于真包含于， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知集合，则的非空真子集共有（ ） A. 6个 B. 8个 C. 12个 D. 14个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得集合，进而求得的非空真子集的个数，得到答案. 【详解】由集合， 所以集合的非空真子集的个数为个. 故选：A. 4. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例得到为假命题，举出实例得到为真命题. 【详解】对于命题：当时，，故为假命题； 对于命题：当时，，故为真命题. 故选：B. 5. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 7. 已知集合，，若中恰有个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，解得. 因为，所以. 由知，是由集合中不小于的整数构成的. 若中恰有 3 个元素，考虑到中元素的最大值为 2，则这 3 个元素只能是. 于是必须满足在集合中，而不在集合中，即且. 综上，的取值范围是. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值． 【详解】令，则， 代入得， 由基本不等式：所以，可得， 当且仅当时取等号， 所以时，面积取得最大值． 故选：A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. ， B. 命题“，”的否定是“，” C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，根据等式的性质判断A选项正误；对于B选项，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B选项正误；对于C选项，根据充要条件的定义判断C选项正误；对于D选项，根据必要不充分条件的定义判断D选项正误. 【详解】对于A选项，，解得：，， 即，，使得：，故A选项正确； 对于B选项，根据全称量词命题的否定为存在量词命题， 可得：命题“，”的否定是“，”，故B选项错误； 对于C选项，若，则，反之若，则， 所以“”的充要条件是“”，故C选项正确； 对于D选项，若，则不一定成立，如，但， 反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，故D选项正确. 10. 已知x，y为正实数，，则（ ） A. xy的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可对选项逐一判断. 【详解】A选项，因为为正实数，，则，当且仅当时取等号，故A选项正确； B选项，，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； C选项，因为，则，故，当且仅当时取等号，故C选项错误； D选项，因为 ，因为， 所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 故选：AD 11. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ） A. 集合为闭集合； B. 集合为闭集合； C. 集合为闭集合； D. 若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论. 【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确; 对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误; 对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确; 对于D：假设,.不妨取,但是, ,则不是闭集合.故D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共有3个小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 13. 若，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 14. 已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】分析集合中可能的元素组成，再求它们的积. 【详解】若，则，所以，所以. 因为方程，均无解，所以集合不可能只含有1个元素， 所以集合中含有元素的个数为3的倍数. 由，所以若集合中含有3的奇数倍个数的元素时，所有元素的积为； 当若集合中含有3的偶数倍个数的元素时，所有元素的积为. 综上可知，中所有元素之积的所有可能值为：. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.） 15. 已知全集，，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）比较和中的元素即可得出； （2）比较和中的元素即可得出； （3）先求出求，再与求交集即可. 【详解】 （1）、， （2）、， （3）、 16. 已知全集，集合， （1）若，求 （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】当时，可得，则或，然后求交集即可； 由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 因为，所以； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，，此时，满足， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为 17. （1）设a、b为实数，比较与的值的大小. （2）已知，求的取值范围； （3）写出集合的所有子集. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法得到，即可比较. （2）利用待定系数法求出，再由不等式性质得解即可； （3）化简集合写出子集即可. 【详解】由， 又a、b为实数，，，则， 所以. （2）设， 故，解得，即， 因为，，则， 则，即； （3）因为， 所以的子集为：. 18. 科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小． （1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； （2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围． 【答案】（1）200%，30 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论； （2）由（1）得到，结合一元二次不等式的解法，即可求得的范围，得到答案. 【小问1详解】 解：由题意知，当时， ，当且仅当，即时取等号； 当时，， 在上单调递减，. 又，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%. 【小问2详解】 由（1）可知，此时月研发经费， 于是，令，整理得，解得：． 因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是． 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） （3） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知3是方程的一个根，计算即可得，再解出的另一根即可得解； （2）由题意可得对任意恒成立，从而只需借助基本不等式求出在时的最小值即可得； （3）由题意可得，再分、、、与进行讨论即可得. 【小问1详解】 由的解集为，可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以； 【小问3详解】 不等式即为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $