精品解析：福建泉州市晋江市季延中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

高一数学第一次单元考 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的阴影部分表示的集合是(　　) A. A∩(B∩C) B. (∁UA)∩(B∩C) C. C∩∁U(A∪B) D. C∩∁U(A∩B) 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 6. 关于 x 的不等式的解集为 ，则不等式的解集为（　　） A. 或 B. . C. 或 D. 7. 设、是非空集合，定义且，若，，则等于（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 8. 若关于 的不等式 的解集中恰有 4 个整数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列各题中，是的充要条件的有（ ） A. ：关于的方程有唯一解 B. ：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例 C. ； D. 是一元二次方程的一个根； 10. 下列结论正确的是（    ） A. 若，，，则的最小值9 B. 若，，，则的最大值9 C. 若，则 D. 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 13. 设集合，，且，则________. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 16. 已知集合． （1）若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的值. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集. （2）若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第一次单元考 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，故. 2. 如图所示的阴影部分表示的集合是(　　) A. A∩(B∩C) B. (∁UA)∩(B∩C) C. C∩∁U(A∪B) D. C∩∁U(A∩B) 【答案】C 【解析】 【详解】由于阴影部分在C中,且不在A,B中,则阴影部分表示的集合是C的子集,也是∁U(A∪B)的子集,即是C∩∁U(A∪B).故选C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 4. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，的否定为，， 所以为，. 5. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 又，代入上述不等式可得 设（），整理得， ∵ ，∴解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 6. 关于 x 的不等式的解集为 ，则不等式的解集为（　　） A. 或 B. . C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知一元二次不等式的解集确定二次项系数符号及系数a、b、c的关系，代入目标不等式化简求解. 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，， 解得，， 将、代入不等式，得 ， 因为，得 ，即 ， 因式分解得，所以， 故不等式的解集为. 7. 设、是非空集合，定义且，若，，则等于（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【详解】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 8. 若关于 的不等式 的解集中恰有 4 个整数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先因式分解，再按 、、 讨论解集． 【解答】原不等式可化为 （）． 当 时，解集为 ． 其中恰有个整数 ，则 ，即 ，解得 ； 当 时，解集为 ，含无穷多个整数，不合题意； 当 时，原不等式为 ，解集为 ，也不合题意． 综上，的取值范围为. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列各题中，是的充要条件的有（ ） A. ：关于的方程有唯一解 B. ：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例 C. ； D. 是一元二次方程的一个根； 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：当时，方程无解，当时，方程有唯一解， 故是的充分必要条件；故A正确； 对于B：两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导， 故是的充要条件；故B正确； 对于C：，则或，故不是的充要条件.故C错误； 对于D：将1代入方程，可得， 反之，若，则， 代入方程，可得， 解得或，所以是一元二次方程的一个根， 故是的充要条件.故D正确. 10. 下列结论正确的是（    ） A. 若，，，则的最小值9 B. 若，，，则的最大值9 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，B，C，D，分别用均值不等式依次判断，注意取等条件即可. 【详解】对于A，因为，，则， 当且仅当时取等号，A错误. 对于B，因为，，则， 当且仅当时取等号，B正确. 对于C，，则， 当且仅当即时取等号，C正确. 对于D，， 当且仅当即时取等号，D正确. 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 【答案】 44 【解析】 【分析】利用三集合容斥原理的计数公式，代入已知的各集合元素个数、两两交集元素个数、三者交集元素个数，即可计算得到总人数. 【详解】设集合，，， 根据三集合容斥原理，测绘队总人数为三个集合的并集的元素个数， 对应公式为：   由题意得：，，，，，，， 代入公式计算：   因此这支测绘队共有44人. 13. 设集合，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【小问1详解】 易知，又， 所以，. 【小问2详解】 已知全集，易知或，， 因此或. 16. 已知集合． （1）若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【小问1详解】 对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. 【小问2详解】 由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）将代入，利用一元二次不等式的解法即可求解. （2）根据不等式的解集确定方程的根，再利用韦达定理即可求解. 【详解】解：（1）时，不等式即为， 它等价于，则. 时，原不等式的解集为. （2）不等式的解集为， ，且，是关于的方程的根. ，. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、由一元二次不等式的解求参数的取值，属于基础题. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）． 【解析】 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集. （2）若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 （1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $