精品解析：江西南昌市第二中学等校2026-2027学年八年级上学期11月期中阶段性学习质量检测数学试卷

2026—2027学年第一学期八年级数学学科 期中阶段性学习质量检测卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题给出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填图在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 南昌市第二中学作为南昌市历史最悠久（125年）的两所学校之一（南昌一中和南昌二中），以校训“勤朴肃毅”为核心，以“名称永居第二位，成绩须达最高峰”为校魂．在下列微软雅黑字体下的“南”、“昌”、“二”、“中”四个字中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（ ） ①一个锐角和斜边分别相等 ②两条直角边分别相等 ③斜边和一直角边分别相等 ④斜边分别相等 ⑤一锐角和一直角边分别相等 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：____________． 8. 已知点与点关于轴对称，则________． 9. 如图所示，，，，，，则__________． 10. 南昌二中初中数学组办公室的的密码被设计成如表所示的数学问题．外校吴老师在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：初中数学组 11. 如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 12. 如图，等边，点为边的中点，为边上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、证明 （1）计算： （2）如图，，，．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，在中，于点D，，在上取一点，使，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 16. 如图，在边长为1的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求作图： （1）请在图1中画出． （2）请在图2中确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等． 17. 在平面直角坐标系中有点，实数满足以下两个等式：，． （1）时，求点P到轴的距离； （2）若点P落在第二、第四象限的角平分线上，求点P的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 我是当代“欧几里得”：人教版八年级上册数学课本第49页上有如图所示的一个探究： 探究 如图14.3-4，是的平分线，点…在上，过点…分别画与的垂线，垂足分别为与与与…，分别比较与、与与…，你有什么发现？ 可以发现，…，由此我们猜想角的平分线有以下性质： 问题： （1）请问：接下去该写的一个角平分线的性质为：________________________； （2）请你利用下图中的及角平分线，补全示意图并写出已知和求证，并证明（1）中的角平分线的性质． 已知：________________________________________； 求证：________________________________________． 19. 如图，在所给的网格中，完成下列各题 （1）画出格点关于直线的对称 （2）若点B的坐标为，在图中建立平面直角坐标系，并确定的坐标为______ （3）在上画出点P，使最小（保留找点的痕迹），此时点P的坐标为______ 20. 逆向运用幂的运算可以得到：，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则， 常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）________； （2）若，的值是________． （3）比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． （1）过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； （2）在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； （3）当时，请直接写出的长． 22. 先阅读下列材料，然后解题： 材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，． （1）类比思考，所以，即能被______整除，所以______是的一个因式，且当x＝______时，； （2）拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【学习概念】 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．如图①，是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：因为，， 所以． 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （1）【问题探究】 （1）如图②，已知，且，则_______； （2）如图③，已知，且，则当的度数为多少时，？请说明理由； （2）【应用结论】 （3）如图④，，，，，请说明：； （3）【拓展应用】 （4）如图⑤，四边形中，，平分，，，．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期八年级数学学科 期中阶段性学习质量检测卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题给出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填图在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 南昌市第二中学作为南昌市历史最悠久（125年）的两所学校之一（南昌一中和南昌二中），以校训“勤朴肃毅”为核心，以“名称永居第二位，成绩须达最高峰”为校魂．在下列微软雅黑字体下的“南”、“昌”、“二”、“中”四个字中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找对称轴，判断折叠后两旁部分是否重合即可． 【详解】解：A、“南”字找不到对称轴，不是轴对称图形，符合题意； B、“昌”字沿竖直中线折叠后两旁重合，是轴对称图形，不符合题意； C、“二”字沿竖直中线折叠后两旁重合，是轴对称图形，不符合题意； D、“中”字沿竖直中线折叠后两旁重合，是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：，错误； B选项：，错误； C选项：，正确； D选项：，错误． 3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由三边相等得，即由判定三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴， 即即是的平分线． 故选：B． 4. 如图，小星用如图①所示的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一个正方形，该正方形可直观地表示与之间的关系，则这个关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积可表示为其边长×边长或4个全等长方形的面积+中间小正方形的面积求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故选∶A． 5. 下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（ ） ①一个锐角和斜边分别相等 ②两条直角边分别相等 ③斜边和一直角边分别相等 ④斜边分别相等 ⑤一锐角和一直角边分别相等 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形判定定理分析各项，即可解题． 【详解】解：①一个锐角和斜边分别相等，可根据“”证明两个直角三角形全等； ②两条直角边分别相等，可根据“”证明两个直角三角形全等； ③斜边和一直角边分别相等，可根据“”证明两个直角三角形全等； ④斜边分别相等，不能证明两个直角三角形全等； ⑤一锐角和一直角边分别相等，可根据“或”证明两个直角三角形全等； 综上，能判定两个直角三角形全等的条件有4个． 6. 如图，点、是的边上的动点（），，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的长度，有以下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形，另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，求出此时的长度即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形， 过点M作于H，当，即时，满足是等腰三角形的点P恰好只有一个， 当时， ∵，， ∴， ∴当时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个； 当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时，， ∴， ∴， ∴此时． 综上所述，或． ∴所有正确结论的序号是①④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：____________． 【答案】 【解析】 【分析】按照多项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 8. 已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出、的值，再代入代数式利用负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 将，代入，得． 9. 如图所示，，，，，，则__________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】通过角度等量代换推出，利用边角边证明，推出，最后利用外角的定义即可求出度数． 【详解】解：，，， ． ，， ， 10. 南昌二中初中数学组办公室的的密码被设计成如表所示的数学问题．外校吴老师在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是________． 账号：初中数学组 【答案】 925 【解析】 【分析】从已知的两个等式归纳出方括号的运算规则，将待求代数式按同底数幂运算法则化简，提取各字母的指数按规则拼接即可得到密码． 【详解】解：∵ 已知，该式中的指数为3，的指数为1，的指数为8，按顺序拼接三个指数恰好得到318， 又∵ 已知，先化简括号内的代数式， 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加： ， 三个字母的指数依次为6、6、6，按顺序拼接得到666，与已知结果一致 ∴ 所以，密码为925． 11. 如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 【答案】4 【解析】 【分析】运用可得与全等的三角形有个，即可求解． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 12. 如图，等边，点为边的中点，为边上一动点，连接，将沿翻折，得到．当所在直线与的边垂直时，则__________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】分时，延长交于点F；时；，且点E在的延长线上时，设交于点；和，且点E在边上时，设的延长线交于点P，四种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 当与的边垂直时，有以下四种情况： ①当时，延长交于点F，如图1所示： ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由翻折性质得：； ②当时，如图2所示： ∴， 由翻折性质得：； ③当，且点E在的延长线上时，设交于点，如图3所示： ∴， 在中，， ∴， 由翻折性质得：， ④当，且点E在边上时，设的延长线交于点P，如图4所示： ∴， 由翻折性质得：，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 综上所述：或或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、证明 （1）计算： （2）如图，，，．求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再合并同类项即可； （2）先证明，再证明即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 15. 如图，在中，于点D，，在上取一点，使，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得，根据等边对等角得，根据，得； （2）根据三线合一得，即得的周长为16． 【小问1详解】 解：∵在中，于点D，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，于点D，，， ∴． ∴． 故的周长为16． 16. 如图，在边长为1的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按要求作图： （1）请在图1中画出． （2）请在图2中确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，，结合网格特点可得，，，可得； （2）由网格特点取格点，可得平分，取格点，由网格特点可得是线段的垂直平分线，与的交点即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在平面直角坐标系中有点，实数满足以下两个等式：，． （1）时，求点P到轴的距离； （2）若点P落在第二、第四象限的角平分线上，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了点与坐标，角平分线的性质定理，点在各个象限的坐标特征，解二元一次方程组等知识，灵活运用这些知识是关键． （1）当时，由可求得m的值，再由可求得y的值，从而可得点P的坐标，即可得点P到x轴的距离； （2）根据角平分线的性质定理及点在第一、三象限的坐标特征可可设点P的坐标为，从而可得关于a与m的方程组，消去m即可求得a的值，从而可得点P的坐标； 【小问1详解】 把代入， 得， ， 把代入， 得， ， ， ∴点P到轴的距离为． 【小问2详解】 ∵点P落在第二、第四象限的角平分线上， ∴设点P的坐标为， 把点分别代入 ，， 得， ②×3-①×2得， 解得． ∴点P的坐标为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 我是当代“欧几里得”：人教版八年级上册数学课本第49页上有如图所示的一个探究： 探究 如图14.3-4，是的平分线，点…在上，过点…分别画与的垂线，垂足分别为与与与…，分别比较与、与与…，你有什么发现？ 可以发现，…，由此我们猜想角的平分线有以下性质： 问题： （1）请问：接下去该写的一个角平分线的性质为：________________________； （2）请你利用下图中的及角平分线，补全示意图并写出已知和求证，并证明（1）中的角平分线的性质． 已知：________________________________________； 求证：________________________________________． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等 （2）已知：是的平分线，点在上，，，垂足分别为、， 求证：． 证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由发现的结果可得出角平分线的性质； （2）写出已知和求证，证明即可得． 【小问1详解】 解：接下去该写的一个角平分线的性质为：角平分线上的点到角的两边距离相等； 【小问2详解】 略 19. 如图，在所给的网格中，完成下列各题 （1）画出格点关于直线的对称 （2）若点B的坐标为，在图中建立平面直角坐标系，并确定的坐标为______ （3）在上画出点P，使最小（保留找点的痕迹），此时点P的坐标为______ 【答案】（1）如图，即为所求， （2）建立平面直角坐标系如图所示． 的坐标为， （3）点P即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据点B的坐标建立平面直角坐标系，进而可得答案． （3）连接交直线DE于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接交直线于点P，连接， 此时，为最小值，则点P即为所求． 此时点P的坐标为． 20. 逆向运用幂的运算可以得到：，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则， 常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）________； （2）若，的值是________． （3）比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，利用积的乘方逆用即可简化计算. （2）根据，逆向运用幂的运算法则将转化为，继而得到关于的方程，解方程即可得到答案． （3）根据，逆向运用幂的运算法则将转化为相同次幂的数，进而比较底数的大小即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ，解得； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题可知，，，， ， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． （1）过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； （2）在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； （3）当时，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②3 （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 22. 先阅读下列材料，然后解题： 材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，． （1）类比思考，所以，即能被______整除，所以______是的一个因式，且当x＝______时，； （2）拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值． 【答案】（1）或；或；−2或−3； （2）m＝−5． 【解析】 【分析】（1）根据材料结合整式的乘除运算可直接得出答案； （2）根据整式除法的运算法则结合材料可知，当时，，即可求出m的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴能被或整除， ∴或是的一个因式，且当x＝－2或－3时，； 故答案为：或；或；−2或−3； 【小问2详解】 ∵多项式能被整除， ∴是的一个因式， ∴当时，，即， ∴m＝−5． 【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算，正确理解材料中的方法并能灵活运用是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【学习概念】 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．如图①，是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：因为，， 所以． 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． （1）【问题探究】 （1）如图②，已知，且，则_______； （2）如图③，已知，且，则当的度数为多少时，？请说明理由； （2）【应用结论】 （3）如图④，，，，，请说明：； （3）【拓展应用】 （4）如图⑤，四边形中，，平分，，，．求的长． 【答案】（1）； （2）当时，．理由如下： 因为， 所以，． 因为， 所以． 在和中， 所以． 故当时，． （3）证明：因为，， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， 所以， 所以，， 所以． （4） 【解析】 【分析】（1）由邻补角互补可知，由三角形外角的性质可知，等量代换得，进而可证； （2）当时，，证法同（1）； （3）证明，可得，进而可证； （4）在上取一点使，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，然后可证，进而可得． 【小问1详解】 （1）解：， ， ， ， 在和中， ， 故答案为：. （2）略 【小问2详解】 （3）略 【小问3详解】 （4）解：如图，在上取一点，使得， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 在与中， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，解题的关键是熟知全等三角形的性质与判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $