精品解析：江西南昌二十八中教育集团2026-2027学年上学期期中测试卷八年级数学

南昌二十八中教育集团2026—2027学年上学期期中试题卷 八年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 体育锻炼是提高人民健康水平的重要途径，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示两个三角形全等，则x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 3. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 5. 如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A. 画出三角形三条角平分线的交点 B. 画出三角形三条高线的交点 C. 画出三角形三条垂直平分线的交点 D. 画出三角形三条中线的交点 6. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点为，则点的坐标为________． 8. 如图，自行车的主体结构设计成三角形，这是利用三角形具有______性． 9. 如图，在四边形中，连接交于点，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是______．（写出一个即可） 10. 如图，已知所在直线是的对称轴，点E，F是上的两点，若的面积为24，则图中阴影部分的面积是________． 11. 图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“”，图2是其示意图，其中，且，若，则的度数为________． 图 12. 如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知等腰三角形的周长为20，底边长为y，腰长为x． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当腰长为6时，求底边长． 14. 如图，是外角的平分线，且交的延长线于点E，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 15. 如图点、、、在同一直线上，，，．求证： （1）； （2）． 16. 如图，在中，，，若，且，，三点共线．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，作一个三角形与关于直线对称； （2）在图2中，作的边上的高． 17. 命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，平分，________． 求证：________． 证明： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． （1）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； （2）如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 19. 如图，点，的坐标分别是，，在轴上找一点，在轴上找一点，使四边形的周长最小． （1）请在图中画出四边形； （2）求此时四边形的面积． 20. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． （1）如图1，若，，则______，______°． （2）如图2，若，求的度数； （3）通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系． 22. 已知，如图，为等边三角形，，相交于点，于点Q． （1）求证：． （2）求的度数；若，，求的长． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. “一线三垂直”结构是“一线三等角”结构的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直结构”．当结构中有一组对应边长相等时，则结构中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，平面直角坐标系第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二十八中教育集团2026—2027学年上学期期中试题卷 八年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 体育锻炼是提高人民健康水平的重要途径，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，图形找不到对称轴，不是轴对称图形； 选项B，图形沿竖直中线折叠，直线两旁部分能够完全重合，是轴对称图形； 选项C，图形找不到对称轴，不是轴对称图形； 选项D，图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 2. 如图所示两个三角形全等，则x的值是（ ） A. 30 B. 45 C. 50 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，， ∵两个三角形是全等三角形， ∴， 即． 3. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据ASA证明全等解答即可． 【详解】解：由图可得，三角形已知一个锐角和一个直角，以及两角的夹边， 所以根据ASA证明三角形全等， 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形的全等，关键是根据全等三角形的判定方法解答． 4. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 5. 如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A. 画出三角形三条角平分线的交点 B. 画出三角形三条高线的交点 C. 画出三角形三条垂直平分线的交点 D. 画出三角形三条中线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的定义；对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点． 【详解】解：∵ 三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心， ∴ 应画出三角形三条中线的交点． 故选：D． 6. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查角度的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，，重力的方向，，确定，即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，重力G的方向，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点为， 点的坐标为， 故答案为：． 8. 如图，自行车的主体结构设计成三角形，这是利用三角形具有______性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键在于将三角形的稳定性与自行车的三角形具有稳定性联系起来． 【详解】解：自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定． 9. 如图，在四边形中，连接交于点，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：，，， ． 10. 如图，已知所在直线是的对称轴，点E，F是上的两点，若的面积为24，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据对称的性质，得所有阴影部分的面积和为． 11. 图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“”，图2是其示意图，其中，且，若，则的度数为________． 图 【答案】108 【解析】 【分析】由，再利用求出等腰三角形底角，最后根据平角为算出． 【详解】解： ， 12. 如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 【答案】6或或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题通过证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，，和，四种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， ①当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ③当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ④当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知等腰三角形的周长为20，底边长为y，腰长为x． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当腰长为6时，求底边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合三角形的三边关系求解即可； （2）将代入（1）中关系式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，则， 根据三角形的三边关系，得，则， 故y与x之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 故当腰长为6时，求底边长为8． 14. 如图，是外角的平分线，且交的延长线于点E，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角性质，解答即可； （2）根据角平分线的定义，三角形外角性质，解答即可 【小问1详解】 解：是的外角， ， ，， ； 【小问2详解】 平分， 是的外角， ． 15. 如图点、、、在同一直线上，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：， ， ∴． 在和中， ， ； （2）， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据得到，进而即可利用证明； （2）根据全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在中，，，若，且，，三点共线．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，作一个三角形与关于直线对称； （2）在图2中，作的边上的高． 【答案】（1）解：如图所示，即为所作； （2）解：如图，为的边上的高． 【解析】 【分析】（1）延长交于点G，即可求解； （2）延长交于点G，连接，延长交于点H，连接即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：图略． 17. 命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，平分，________． 求证：________． 证明： 【答案】平分，． 证明：， ，，． ，分别平分和， ，， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】先结合图形补全已知中对应角平分线的条件与待证的相等结论，再利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，推导得出两组角及夹边对应相等，通过ASA判定含角平分线的两个小三角形全等，最终证得对应角平分线长度相等． 【详解】略． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”．例如：在中，，，，则为“准互余三角形”，与为“准互余角”． （1）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数； （2）如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】（1） （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”． 【解析】 【分析】（1）由“准互余三角形”的定义得出运算求解即可； （2）由角平分线的定义得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵和是“准互余角”， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 19. 如图，点，的坐标分别是，，在轴上找一点，在轴上找一点，使四边形的周长最小． （1）请在图中画出四边形； （2）求此时四边形的面积． 【答案】（1）如图所示，过作关于轴的对称点，过作关于轴的对称点，连接与轴交点，与轴交点，四边形即为所得， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵点，的坐标分别是，， ，， ，， 周长， 当，，，共线时，四边形的周长最小； 【小问2详解】 解：由图可得，， 此时四边形的面积． 20. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）倍长中线至，构造全等三角形，将转化到中，再利用三角形三边关系求范围． （2）倍长中线至，构造全等得角相等，结合和对顶角推出等角，从而得到等腰三角形，求出长． 【小问1详解】 解：是边上的中线 在和中， ， ， 已知，， ， 在中，由三角形三边关系： 即，化简得， ， 【小问2详解】 解：延长至，使，连接． 是边上的中线， 在和中， ， ，， ，，， ，， ， ， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． （1）如图1，若，，则______，______°． （2）如图2，若，求的度数； （3）通过以上的探索过程，直接写出与，的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． （1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数； （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，即可求出的度数； （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【小问1详解】 解：垂直平分， ． ． 同理， ． ， ． 故答案为：112；44； 【小问2详解】 解：垂直平分， ． ． 同理， ． ． 【小问3详解】 解：由（1）知当时， ． 由（2）知时， ， 综上，或． 22. 已知，如图，为等边三角形，，相交于点，于点Q． （1）求证：． （2）求的度数；若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）； 【解析】 【分析】（1）先得出，，再根据定理即可得证； （2）先得出，再根据三角形的外角性质可得；然后根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，进而可得的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）已得：，， ∴， ∴． ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. “一线三垂直”结构是“一线三等角”结构的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直结构”．当结构中有一组对应边长相等时，则结构中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，平面直角坐标系第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， 又， ； （2） （3）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据，，，证明； （2）证明得到，； （3）根据为等腰直角三角形构造“一线三垂直结构”求解即可，注意根据，，三种情况讨论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：于D，于E， ， ， ， ， 又， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ，， 、， ，， 点P的横坐标为，纵坐标为， ； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ，， 、， ，， 点P的横坐标为，纵坐标为， ； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ，， 设， 、， ，，，， ，解得， ； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $