精品解析：上海市建青实验学校2026-2027学年高一上学期期中数学试题

上海市建青实验学校2026学年第一学期 高一年级期中数学试卷 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的运算规律，计算即可 【详解】. 故答案为： 2. 若全集，或，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依据补集的定义，在实数全集范围内求解集合的补集即可. 【详解】全集，集合或. . 3. 若，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用指对数关系及，即可求解. 【详解】由题设，则. 故答案为：8 4. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 5. 用反证法证明命题：“已知，若，则或”时应假设__________. 【答案】且 【解析】 【详解】对于命题：“已知，若，则或”，若用反证法证明则应假设且. 6. 函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的定义，分类讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数， 当时，函数为单调递增函数，可得； 当时，函数； 当时，函数为单调递减函数，可得， 综上，可得函数的最小值为. 故答案为：. 7. 已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值. 【详解】，， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 8. 已知集合，且.则的值为________. 【答案】或或 【解析】 【详解】方程，解得，，所以， 当时，，无解，则； 当时，，解得，所以， 因为， 所以或，解得或， 综上所述，的值为或或. 9. 已知，，，则是的__________条件. 【答案】充分不必要 【解析】 【详解】当时，，所以， 令，满足，但不满足，所以， 因此是的充分不必要条件. 10. 若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过和分类讨论即可. 【详解】当时，成立， 当时，需满足，解得， 综上实数a的取值范围为， 故答案为： 11. 已知集合各元素之和等于3，则实数___________ 【答案】或 【解析】 【分析】先求得方程的解为，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解. 【详解】由方程，可得化为， 解得， 当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意； 当且时，可得，解得，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 12. 已知，，且，，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得方程有两个大于1的根，其分别为， 根据韦达定理得， 则有，即， 即，解得. 则实数的取值范围为. 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】先化简条件“”为“”，再利用包含关系判断必要不充分条件即可. 【详解】解：因为，所以， 设，，则 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查求解一元二次不等式、判断两个集合之间的包含关系、利用集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题. 14. 已知集合，，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且， 结合数轴知. 15. 下列关于方程的解的说法中正确的是（ ）． A. 该方程一定有唯一解 B. 该方程没有解 C. 时，方程有无数解 D. 时，方程有唯一解 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论的值，再分别判断线性方程组解的情况即可. 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 16. 设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断． 【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S. 对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对； 对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对； 对于③，若l=，可得，则.∴③对 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题. 三、解答题（8+10+10+10+14=52分） 17. 已知是实数. （1）求证：，并指出等号成立的条件； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） 证明：因为 ， 所以， 当且仅当，时，不等式中等号成立. （2）4 【解析】 【分析】（1）作差法证明即可； （2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当且仅当，即或时，不等式中等号成立. 所以的最小值为4. 18. 已知关于的方程，其中，有两个实数根， （1）若 求的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）小问当时，，由韦达定理求出和，即可求出； （2）小问由韦达定理求出和，利用完全平方公式将转化成，最后利用求出的值即可. 【小问1详解】 当时，， 由韦达定理可得，，， ， 【小问2详解】 对于， 由韦达定理可得，，， ， 则， 故， 整理得，解得或， 当时，方程为， ， 当时，方程为， ， 均符合题意，所以或. 19. 设集合，. （1）若，试用区间表示集合、； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，分别解出不等式，得集合、； （2）求出集合，根据，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，由，得， 解得，所以， 由，得，则有， 解得，所以； 【小问2详解】 由，得， 解得，所以， 由（1）得，由于， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 20. 某服装公司生产的衬衫每件定价为80元，在某城市年销售8万件.现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本.已知代理商收取的代理费为总销售金额的（其中）. （1）若单件衬衫的利润保持不变，求招代理商后每件衬衫的定价为多少元（用表示）； （2）已知将每件衬衫的价格提高到元后，每年的销售量会减少万件.若代理商每年收取的代理费不少于16万元，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代理费按销售金额抽成，公司每件实得；利润不变意味着实得仍等于原定价80元，据此列方程； （2）提价后的定价由第（1）问给出，销量为万件；把“年销售金额提成率”写成代理费，与16万元比较得一元二次不等式， 再与以及“定价为正、销量为正”两个实际约束取交集即可. 【小问1详解】 设招代理商后每件衬衫的定价为元，代理商收取总销售金额的， 因此公司每件衬衫的实际净收入为元， 单件利润保持不变，等价于净收入仍为80元，于是，解得， 因为，有，分母恒不为零，该定价有意义， 所以招代理商后每件衬衫的定价为元； 【小问2详解】 价格提高到元，年销售量减少万件，故年销售量为万件， ， 依题意得，即， 由得，，整理得， 整理得，解得， 当时，且，均符合实际经营条件， 所以的取值范围是. 21. 定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． （1）设，都是正实数，且，求； （2）解不等式：； （3）设，都是正实数，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）分段讨论得出，然后解不等式即可； （3）设出后由基本不等式进行求解. 【小问1详解】 由题意得，即，当且仅当时等号成立， 故； 【小问2详解】 令，得， 当时，当时， 而即恒成立， 故， 可化为或或， 解得，故原不等式的解集为； 【小问3详解】 设，由题意得， 则， 当且仅当即时等号同时成立， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市建青实验学校2026学年第一学期 高一年级期中数学试卷 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 已知集合，则__________. 2. 若全集，或，则__________. 3. 若，则_________． 4. 将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 5. 用反证法证明命题：“已知，若，则或”时应假设__________. 6. 函数的最小值为________． 7. 已知，则的最小值为______. 8. 已知集合，且.则的值为________. 9. 已知，，，则是的__________条件. 10. 若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______. 11. 已知集合各元素之和等于3，则实数___________ 12. 已知，，且，，则实数的取值范围为__________. 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 已知集合，，且，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 15. 下列关于方程的解的说法中正确的是（ ）． A. 该方程一定有唯一解 B. 该方程没有解 C. 时，方程有无数解 D. 时，方程有唯一解 16. 设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（8+10+10+10+14=52分） 17. 已知是实数. （1）求证：，并指出等号成立的条件； （2）若，求的最小值. 18. 已知关于的方程，其中，有两个实数根， （1）若 求的值； （2）若，求实数的值. 19. 设集合，. （1）若，试用区间表示集合、； （2）若，求实数的取值范围. 20. 某服装公司生产的衬衫每件定价为80元，在某城市年销售8万件.现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本.已知代理商收取的代理费为总销售金额的（其中）. （1）若单件衬衫的利润保持不变，求招代理商后每件衬衫的定价为多少元（用表示）； （2）已知将每件衬衫的价格提高到元后，每年的销售量会减少万件.若代理商每年收取的代理费不少于16万元，求的取值范围. 21. 定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． （1）设，都是正实数，且，求； （2）解不等式：； （3）设，都是正实数，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $