精品解析：北京市第二十中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

北京市第二十中学2026-2027学年第一学期期中考试试卷 高一数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，，所以. 故选：C 2. 对于命题：“，都有”，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的方法求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定方法， ：. 故选：D 3. 下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误； 对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于B，由，，因此，B错误； 对于D，由，得，，D错误. 故选：C 5. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 6. 函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的解析式解出的点，结合函数的奇偶性，运用排除法求解． 【详解】令，则，解得或， ，分析各选项中图像，排除选项A和B； 又， 为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项C． 函数的大致图像可能为选项D． 故选：D． 7. 设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】对于充分性，取，，，无最大值， 则“，且，都有， 但是此时在上不是增函数，故充分性不成立； 对于必要性，若在上是增函数，则，且，都有，故必要性成立. 所以“，且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件. 故选：B 8. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. 在上为增函数 D. 解集为或 【答案】C 【解析】 【分析】对于A用赋值法即可求值；对于B对条件进行适当变形即可得结论；对于C根据增函数的定义证明即可；对于D对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故B正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由，得，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：C 9. 已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小值为，可得，进而对进行讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． 10. 已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，，则的最大值与最小值的和为（ ） A. 39 B. 57 C. 87 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】每组数字尽量聚拢，让每组“最小数+最大数”整体变小，构造集合算出最小值,大小端点搭配，把大数、小数拆开分配到不同集合，让每组特征数尽可能大，构造集合算出最大值. 【详解】，分成3个集合， 每个集合5个元素，且， 集合的最大值最小值， 集合的最小值要尽量小，同时每组内部得最大值不要拉得太大，同一组数字尽量挨在一起， 最小的三个数分别作为三个集合的最小值，然后把剩下数字分段， 的最小值为，后面放，最大值为， 则，， 的最小值为，后面放，最大值为， 则，， 的最小值为，后面放，最大值为， 则，， 则的最小值为， 让大数字分别作为三组各自的最大值，把顶尖大数拆开分给个集合， 每组最小值尽可能不要太大， 的最小值为，搭配最大值，中间填， 则，， 的最小值为，搭配最大值，中间填， 则，， 的最小值为，搭配最大值，中间填， 则，， 的最大值为， 的最大值与最小值的和为. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得且. 所以函数的定义域为. 12. 已知，为正实数，且满足，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由基本不等式，，再验证等号成立条件即可. 【详解】由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为6. 13. 用列举法表示集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式结构一一列举即可. 【详解】分别取，则依次为， 显然只有时满足，即. 故答案为： 14. 已知函数写出函数的一个单调递增区间________；若存在四个不相等的实数，，，，使得，则的取值范围是________． 【答案】 ①. （答案不唯一，也正确）； ②. 【解析】 【分析】第一个空，作出函数的图象即可找到单调递增区间；第二个空，存在四个不相等的实数根，即直线与函数有4个交点，再根据韦达定理表示出即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 函数的单调递增区间为和 存在四个不相等的实数，，，，，即直线与函数有4个交点，如图所示： 设， 因为在上的最小值为2；而，结合图象可得， 和是方程，即的两个不相等的实数根， 由韦达定理得， 和是方程，即的两个不相等的实数根， 由韦达定理得， 所以， 因为，所以， 故的取值范围是. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，； ②若存在最小值，则a的取值范围为； ③若存在零点，则a的取值范围为； ④若是减函数，则a的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④. 【详解】①当时，，，故①正确； ②当时，有最小值0，此时为减函数，且，无最小值，故无最小值， 当时，无最小值，无最小值， 故无最小值， 当时，为增函数，最小值为，单调递减，所以只需满足，解得或，所以，故②正确； ③令若有解，则，令若有解，则，解得或，综上若存在零点，则a的取值范围为，故③错误； ④若是减函数，则需满足且且，解得或，故④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知全集，集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）求解不等式化简集合，然后利用交集补集并集的定义求解即可；（2）根据得到，再根据与两种情况分别讨论，即可得到的取值范围是. 【小问1详解】 ， ， 所以， . 【小问2详解】 因为，所以， 所以，情况一：，此时，解得. 情况二：，则，解得. 综上所述，的取值范围是. 17. 已知一元二次不等式的解集是. （1）求，的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 当时不等式的解集是 当时，不等式的解集是或 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是或 当时，不等式的解集是. 【解析】 【分析】（1）首先分析题意，是方程的一个根，是方程的另外一个根，计算可得 （2）首先结合题意，根据c分情况讨论. 【小问1详解】 由题知，是方程的一个根， 将代入方程 得，是方程的另外一个根， 由韦达定理得 解得. 【小问2详解】 把代入不等式整理 当时，不等式化为，解得. 当时，不等式可化为 方程有两个根1和 1.当,,解不等式得或 2.当时，不等式得 3.当时，解不等式得：或 4.当时，，解不等式得， 综上所述： 当时不等式的解集是 当时，不等式的解集是或 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是或 当时，不等式的解集是. 18. 已知关于x和y的方程组. （1）当时，求方程组的解集； （2）设和是方程组的两组不同的解，若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）直接解方程组即可； （2）利用韦达定理及判别式计算即可. 【小问1详解】 当时，方程组为，消元得， 解方程组得或； 【小问2详解】 由方程组消元得， 则，可得， 显然， 所以. 实数m的取值范围为. 19. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. 【小问1详解】 由题意，， 即； 【小问2详解】 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 20. 已知函数的定义域是，且满足，． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）函数在上是增函数，证明如下： 由（1）可知，设， 所以 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是增函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得为奇函数，则，先求出的值，然后根据，可求出； （2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行证明即可. （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案. 【小问1详解】 因为，所以函数为奇函数， 由函数的定义域是，则，得， 又因为，所以， 经检验，当，时，，满足是奇函数， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数是定义在上的奇函数且， 则， 所以，解得， 所以的取值范围是. 21. 对非空数集T，给出如下定义， 定义1：若，，当时，，则称T为强和差集； 定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集． （1）分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由； （2）若集合是弱和差集，求A； （3）若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数． 【答案】（1）是强和差集，不是弱和差集，理由如下： 由题，根据强和差集定义，当时， x与y的所有取值可能为 ，，都满足， 所以是强和差集. ，根据弱和差集定义，当时， x与y的所有取值可能为，，，， 其中时不满足， 所以不是弱和差集. （2）、、； （3）11个； 【解析】 【分析】（1）根据强和差集与弱和差集定义进行验证即可判断. （2）根据弱和差集定义讨论参数取值，进行求解. （3）根据强和差集定义，以及B的元素个数为12，且，讨论中元素关系，求出条件的集合B. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若集合是弱和差集，则当时， 据题意有， 若，则，当时 继续重复以上步骤，显然矛盾. 所以必有，不妨，则. 当有， 若，此时为弱和差集. 若,此时为弱和差集. 若,此时为弱和差集. 所以或或 【小问3详解】 因为B为强和差集且，如果B中有其它正数，设其最大值为， 当时，，所以， 不妨设集合B中包含k个正数，不妨设为， 所以， 所以,即集合B中至少有个不同的负数， 同理，若集合B中包含k个负数，则集合B中至少有个不同的正数， 所以集合B中包含5个负数6个正数，或者6个负数5个正数， 当集合B中有6个正数5个负数时， 设为， 取时， 此时，结合， 所以， 取时，因为， 所以 此时，结合， 所以 令，，所以， 又，所以， 又， 所以， 结合，可得此时满足要求的集合B有6个； 同理，当集合B中包含6个负数5个正数时，此时满足要求的集合B有5个； 故满足条件的集合B只有11个. 【点睛】本题属于集合新定义题目，抓住定义分析题目，有理有据讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十中学2026-2027学年第一学期期中考试试卷 高一数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于命题：“，都有”，则是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（ ）. A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 6. 函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又．则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. 在上为增函数 D. 解集为或 9. 已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，，则的最大值与最小值的和为（ ） A. 39 B. 57 C. 87 D. 96 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是________． 12. 已知，为正实数，且满足，则的最小值为________． 13. 用列举法表示集合为________. 14. 已知函数写出函数的一个单调递增区间________；若存在四个不相等的实数，，，，使得，则的取值范围是________． 15. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，； ②若存在最小值，则a的取值范围为； ③若存在零点，则a的取值范围为； ④若是减函数，则a的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知全集，集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 17. 已知一元二次不等式的解集是. （1）求，的值； （2）求关于的不等式的解集. 18. 已知关于x和y的方程组. （1）当时，求方程组的解集； （2）设和是方程组的两组不同的解，若，求实数m的取值范围. 19. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知函数的定义域是，且满足，． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）若，求实数的取值范围． 21. 对非空数集T，给出如下定义， 定义1：若，，当时，，则称T为强和差集； 定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集． （1）分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由； （2）若集合是弱和差集，求A； （3）若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $