精品解析：甘肃甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2026-2027学年高二上学期11月期中测评数学试题

2026－2027学年高二第一学期期中测评数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列数列中既是等差数列又是等比数列的是（ ） A. 1，2，3，4，5 B. 1，2，9，16，25 C. 1，，1，，1 D. 5，5，5，5，5 2. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角（ ） A. 30° B. 45° C. 90° D. 150° 3. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.现用计算器进行模拟实验产生1～5之间的整数随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，由于有2台这样的设备，所以每2个随机数为一组，代表两台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：34 41 13 53 33 14 23 25 42 15 43 51 13 43 12 23 31 23 35 44，则估计一年内这2台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.66 C. 0.6 D. 0.5 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，.则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知直线与直线互相垂直，且点在直线上，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知圆与直线，则圆的圆心到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 0 7. 在5件产品中，有3件正品和2件次品，从中任意抽出2件产品，设事件“2件产品都是正品”，事件“至少有1件次品”，事件“至少有1件正品”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件与事件是对立事件 8. 若数列满足为等差数列，则称为“调和数列”.已知正项调和数列满足，且，，成等比数列，.若正整数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的斜率可能不存在 C. 当时，直线在轴上的截距为 D. 直线与直线可能平行 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最大值 C. D. 11. 已知是圆上的动点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 的最小值为0 C. 的最大值为16 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为________. 13. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则________. 14. 已知事件与事件相互独立，若，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 16. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 17. （1）已知圆经过点，，且圆心在直线上，求圆的方程； （2）已知圆关于直线对称的圆为圆，求圆的方程． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对题可获得天会员；连续答对题可获得天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题题题的顺序答题，求甲获得天会员的概率； （2）若，且第一次答题，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 19. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若数列满足，. （ⅰ）证明：数列是等比数列； （ⅱ）设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年高二第一学期期中测评数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列数列中既是等差数列又是等比数列的是（ ） A. 1，2，3，4，5 B. 1，2，9，16，25 C. 1，，1，，1 D. 5，5，5，5，5 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，相邻两项之差均为，是公差为的等差数列； 但，不是等比数列，故A错误． 对于B，，，不是等差数列； 且，不是等比数列，故B错误． 对于C，前两项之差为，后两项之差为，不是等差数列； 但各项均不为，且相邻两项之比均为，是公比为的等比数列，故C错误． 对于D，相邻两项之差均为，相邻两项之比均为，所以它既是公差为的等差数列，也是公比为的等比数列，故D正确． 2. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角（ ） A. 30° B. 45° C. 90° D. 150° 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，得直线的斜率为，即. 因为，所以. 3. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.现用计算器进行模拟实验产生1～5之间的整数随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，由于有2台这样的设备，所以每2个随机数为一组，代表两台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：34 41 13 53 33 14 23 25 42 15 43 51 13 43 12 23 31 23 35 44，则估计一年内这2台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.66 C. 0.6 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【详解】因为满足不需要维修的随机数有34，53，33，23，25，42，43，43，23，23，35，44，共有12个， 所以一年内这2台设备都不需要维修的概率为. 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，.则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设公比为，则，故. 因为， 所以. 5. 已知直线与直线互相垂直，且点在直线上，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线，互相垂直，所以，即，解得. 又因为点在直线上，代入得，解得. 6. 已知圆与直线，则圆的圆心到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先化圆的标准方程，利用点到直线的距离公式结合根式的意义计算即可. 【详解】化为标准方程为， 则圆的圆心为，半径为1. 圆心到直线的距离为， 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以，即圆心到直线的距离的最大值为. 7. 在5件产品中，有3件正品和2件次品，从中任意抽出2件产品，设事件“2件产品都是正品”，事件“至少有1件次品”，事件“至少有1件正品”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件与事件是对立事件 【答案】D 【解析】 【详解】设，，分别表示3件正品，用，分别表示2件次品. 则样本空间为， ，， . 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，由古典概型的概率公式，得，故B错误. 对于C，因为，所以事件与不互斥，故C错误； 对于D，因为，，所以与为对立事件，故D正确. 8. 若数列满足为等差数列，则称为“调和数列”.已知正项调和数列满足，且，，成等比数列，.若正整数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用调和数列的定义，将倒数数列设为等差数列，结合等比中项的性质确定通项公式，再利用基本不等式求最小值并检验等号条件． 【详解】设，则为等差数列，设公差为． 因为，所以，从而， 因为，，成等比数列，所以，即， 由于数列各项均为正数，所以上式分母均不为， 整理得，解得或． 又因为，且，所以，故，于是. 因为，为正整数，且， 所以，，且， 由基本不等式，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，且满足， 所以最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的斜率可能不存在 C. 当时，直线在轴上的截距为 D. 直线与直线可能平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，对方程变形得，再解方程组，即可求解；对B，利用倾斜角与斜率的关系，即可求解；对C，根据条件，直接求出截距，即可求解；对D，利用两直线平行的条件，即可求解. 【详解】对于A，由，变形得， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，令，即，直线的方程为，故直线的斜率不存在，故B正确； 对于C，当时，直线的方程为，令，解得， 所以直线在轴上的截距为－4，故C错误； 对于D，若直线与直线平行，则，解得，故D正确. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最大值 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过已知的前项和等式求出公差与首项的比例关系，进而利用二次函数性质分析求和公式的最值，并结合通项公式作差法判断具体项的大小. 【详解】由题意得. 因为，所以，解得，故A正确. 将代入得. 因为关于的二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以在处取得最大值，且，故B错误，C正确. 因为，所以，故D错误. 11. 已知是圆上的动点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 的最小值为0 C. 的最大值为16 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系判断方法判断A项；利用圆的位置确定字母范围分析即可判断B项；利用两点间距离的几何意义，结合动点轨迹数形结合即得目标式最值判断C项；与C项同法分析判断D项. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，故A正确； 对于B，因为圆表示的是以为圆心，半径为的圆，所以，， 则，可得，当，时等号成立，所以其最小值为0，故B正确； 对于C，设圆上动点为，定点为，则. 因为，由图可得， 当点位于点时等号成立，所以的最大值为，故C正确； 对于D，设，为坐标原点，则. 因为，所以，即， 故，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示圆，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【详解】若方程表示圆，则，解得， 所以实数的取值范围为. 13. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据累乘法，可求出，然后利用裂项相消法求出即可. 【详解】由，得，由累乘法，得，则. 所以， 则 . 14. 已知事件与事件相互独立，若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件概率公式及独立事件乘法公式求解. 【详解】由和事件的概率公式，得. 因为事件，相互独立，所以，相互独立，则. 设，因为，则，. 又因为，所以， 则，解得或（舍去）. 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得. 所以. 所以. 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 等差数列的前项和. 关于的二次函数在上单调递增. 当时，； 当时，. 所以存在正整数，使得，且的最小值为11. 16. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）先由坐标求出边的斜率，再根据垂直直线的斜率关系得到高 的斜率，结合点 用点斜式写出方程并整理为一般式； （2）分截距为零（过原点）和截距非零两类设直线方程，分别代入点坐标求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为是边上的高， 所以，即，解得， 因为点，所以高所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 由题意，得. ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以，解得，则所求直线方程为，即； ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以，解得，则所求直线方程为. 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程分别为和. 17. （1）已知圆经过点，，且圆心在直线上，求圆的方程； （2）已知圆关于直线对称的圆为圆，求圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据圆心所在直线设圆心，再结合圆上两点到圆心距离相等算出圆心与半径； （2）根据条件可知线段的中点在直线上，且直线与直线垂直，进而求圆心关于直线的对称点，半径保持不变，直接写出对称圆方程． 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为． 由题意，得圆心到点和的距离相等， 即． 整理得，即，解得． 所以圆心的坐标为， 圆半径的平方为． 故圆的方程为． （2）圆的圆心为，半径． 设关于直线的对称点为． 则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直， 则，解得，即． 因为两圆关于直线对称，所以两圆半径相同，即圆的半径为3． 故圆的方程为． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对题可获得天会员；连续答对题可获得天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题题题的顺序答题，求甲获得天会员的概率； （2）若，且第一次答题，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）剩余答题顺序为第二次答题，第三次答题 （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可； （2）讨论甲按题题题的顺序答题，及按题题题的顺序答题的概率，比较两种情况的概率即可判断； （3）两端题目的位置互换不影响结果，故只需按中间那道题分类，求出不同题位于中间时的相应概率，由题1位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，列式求解即可. 【小问1详解】 若，且甲按题题题的顺序答题，甲获得天会员的概率为. 【小问2详解】 甲按题题题的顺序答题， 获得会员的概率为； 甲按题题题的顺序答题， 获得会员的概率为， 因为，所以剩余答题顺序为第二次答题，第三次答题. 【小问3详解】 两端题目的位置互换不影响结果，故只需按中间那道题分类： 题在中间时的获奖概率为：， 题在中间时的获奖概率为：， 题在中间时的获奖概率为：， 由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若数列满足，. （ⅰ）证明：数列是等比数列； （ⅱ）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2）， （3）（i）， ， 即， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， （ii）. 【解析】 【小问1详解】 ， 当时，，解得， 当时，， 化简得， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以， ， 相减得：， 所以， 【小问3详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，数列的通项公式为， 由题意得：， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列， 所以数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $