精品解析：北京市第十二中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

北京十二中2026—2027学年第一学期期中考试试题 初三年级 数学 （满分100分，时间120分钟） 一．选择题（每题2分，共24分） 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可. 【详解】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， ∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 2. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （－1，2） B. （－1，－2） C. （1，－2） D. （1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的特征计算即可； 【详解】∵抛物线， ∴顶点坐标为（－1，－2）； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键． 5. 关于的一元二次方程用配方法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先移项得，再配方，即可作答． 【详解】解：， 移项得， 配方， ∴， 故选：A． 6. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 7. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得 解得． 故选：C． 8. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A． 考点：抛物线与x轴的交点． 9. 如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　） A. x＜﹣2或0＜x＜1 B. x＜﹣2 C. 0＜x＜1 D. ﹣2＜x＜0或x＞1 【答案】D 【解析】 【分析】分析：根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】观察函数图象，发现：当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式ax+b＜的解集是-2＜x＜0或x＞1． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 10. 年清明档（月日—月日），动画电影《哪吒之魔童闹海》的总票房为亿元，月日的单日票房达到亿元 ，假设平均每天的票房增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】总票房为三天单日票房之和，需依次表示每日票房后列方程． 【详解】解：4月4日票房为亿元，日平均增长率为，4月5日票房为亿元，4月6日票房为亿元， ∵ 三天总票房为亿元， ∴ ． 11. 在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为（）．当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，此时抛物线顶点的纵坐标等于点A，点B的纵坐标，据此可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段有交点，而当抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，把点代入函数，可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段没有交点．综上可得的取值范围． 【详解】将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为（）， 如下图，当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点， ∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴，解得； 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段有交点，如下图 抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，如下图， 把点代入函数，得 ，解得， 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段没有交点． 综上所述，平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题考查抛物线的平移与交点问题，采用数形结合思想是解题的关键． 12. 已知函数，下列结论： ①若该函数图象与轴只有一个公共点，则； ②方程至少有一个整数根； ③若，则的函数值都是负数； ④不存在实数，使得对任意实数都成立． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】需对分类讨论，区分一次函数与二次函数，结合方程的根和函数图象性质判断各结论． 【详解】解：对于①： 当时，函数为，与轴只有一个公共点． 当时，函数为二次函数，． ∵图象与轴只有一个公共点， ∴，解得． 综上，或，故①错误． 对于②： 当时，方程为，解得，是整数根． 当时，方程因式分解得， 解得，， ∴至少有一个整数根，故②正确． 对于③： 由得且，即或． 当时，抛物线开口向上，两根为和（）， 此时时函数值小于0． 当时，抛物线开口向下，两根为和（）， 此时时函数值大于0． 故③错误． 对于④： 当时，不等式为，即，不能对任意实数成立． 当时，若对任意实数都成立， 则需且． ∵，且时， ∴不存在满足条件的． 故④正确． 二．填空题（每题2分，共16分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 14. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式. 【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2）， ∴a＜0，c=2， ∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）． 故答案为y=-x2+2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键. 15. 已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性确定比例系数的范围，列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 比例系数， ∴ 解得． 16. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键；先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数 的对称轴为 ，抛物线开口向上， 且，， ∴点横坐标离对称轴的距离小于点横坐标离对称轴的距离， ∴， 故答案为：． 17. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数为______． 【答案】75° 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AO＝CO，∠AOC＝30°，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形， ∴AO＝CO，∠AOC＝30°， ∴∠A＝∠ACO＝＝75°， 故答案为：75°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 18. 设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，，其部分图象如图所示，给出下面四个结论：①；②；③当时，；④是关于x的一元二次方程 的一个根；其中正确的结论有_______________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，根据二次函数的对称轴判断①；根据二次函数的最值判断②；利用二次函数的对称性判断③④解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即，故①正确； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，y有最大值为k， ∴当时，，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线与轴的另一交点为， 即当时，，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， 点关于对称轴的对称点坐标为， 即当时，或， ∴是关于x的一元二次方程 的一个根，故④正确， 正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 20. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点． ①若点，在抛物线上，则a______b（用“<”，“=”或“>”填空）； ②若对于时，总有，则m的取值范围______． 【答案】 ①. = ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，解不等式，求出是解本题的关键．将抛物线的解析式写成顶点式，确定出抛物线的对称轴，再用点到对称轴的距离的大小，确定出，得出直线的解析式为，再联立抛物线解析式，化简得，最后利用对于时，总有，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为； ∴抛物线的对称轴为 ∵， ∴点C和点D到抛物线的对称轴的距离相等， ∴ 针对于抛物线， 令，则， ∴ ∵点A在直线上， ∴， ∴直线的解析式为②， 联立①②整理得，， ∴， ∵， ∵点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合 ∴， ∴ ∵对于时，总有， ∴，总有， ∴，总有， ∴ ∴． 故答案为：=， 三．解答题（21题16分，22—26题每题5分，27、28每题6分，29题7分） 21. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同除以3得：， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， 即，； 【小问3详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 22. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 24. 已知二次函数． （1）将其化成的形式为________； （2）该函数图象与轴的交点坐标为________； （3）画出该二次函数的图象； （4）当时，函数值的取值范围是________． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用配方法将转化成； （2）令，得，解方程，得到函数图象与轴的交点坐标； （3）利用描点法画出函数图象； （4）根据开口方向和对称轴、最值等性质，确定当时，函数值的取值范围． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：令，得， 解得，， ∴该函数图象与轴的交点坐标为，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵对称轴为，且开口向上， 当时，； 当时，； ∴当时，． 25. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：装裱后左右两边的边宽分别是． 26. 如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． （1）的值为__________； （2）若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； （3）若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【答案】（1）1 （2）米 （3）不能 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用 （1）把点代入即可； （2）先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可； （3）根据平移的性质先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可． 【小问1详解】 解：把点代入得，， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 抛物线的解析式为， 即， 坡地经过点， 的解析式为， 如解图， 设抛物线上一点，过点作轴交于点， 则，的长为， ， 函数图象开口向下，有最大值，最大值为， 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； 【小问3详解】 解：不能； 理由：当灌溉装置水平向后移动4米时，平移后的抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ， 水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，；②或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）把点，点，代入抛物线，即可 （2）①根据题意，得到；，，把代入，求出点、、、的坐标，即可；②，；，，得到，，求出的取值；分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵过点作轴的垂线，交轴于点， ∴； ∵该直线交于点，交抛物线于点， ∴，， ∵， ∴点的纵坐标为， 当， ∴点，，，， ∴，． ②由①可得，；，， ∴，， ∵恒成立， ∴， ∴， 当时， ， 解得：， ∴； ∴，不符合题意； 当时， ， 解得：， ∴； ∴， ∴， 当时，， 解得：或， ∴或； ∴或，不符合题意，舍去； 综上，或． 28. 在中，，，点D在射线上，连接，将线段逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），连接，过点E作，交直线于点F． （1）如图1，当点D与点C重合时，求证：； （2）如图2，当点D在线段上，F在线段的延长线上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 解：，证明如下： 延长到点H，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∵由旋转有 ∴ ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形判定及平行线性质是解题的关键． （1）由得到．由三角形的内角和定理与旋转的性质证明，，从而得到，进而有，再由得到，从而，因此根据等腰三角形的判定即可解答； （2）延长到点H，使，由得到．由垂直平分线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”得到，从而，即可证明，得到，．证明得到，从而． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 29. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 【答案】（1）和 （2） （3）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时有最大值，当抛物线过点时有最小值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴轴， 如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”； 故答案为：和． 【小问2详解】 ∵， ∴在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”； ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴， 设直线的解析式为：，则： ，解得：， ∴， 当在上时，，解得：； 当在上时，，解得：； ∴当时，点是关于原点O的“伴随点”； 【小问3详解】 ∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为． 如图：绕点O逆时针旋转得到，其中． ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过，得到n的最大值． 当过，得到n的最小值． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十二中2026—2027学年第一学期期中考试试题 初三年级 数学 （满分100分，时间120分钟） 一．选择题（每题2分，共24分） 1. 随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （－1，2） B. （－1，－2） C. （1，－2） D. （1，2） 5. 关于的一元二次方程用配方法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 8. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 9. 如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　） A. x＜﹣2或0＜x＜1 B. x＜﹣2 C. 0＜x＜1 D. ﹣2＜x＜0或x＞1 10. 年清明档（月日—月日），动画电影《哪吒之魔童闹海》的总票房为亿元，月日的单日票房达到亿元 ，假设平均每天的票房增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 12. 已知函数，下列结论： ①若该函数图象与轴只有一个公共点，则； ②方程至少有一个整数根； ③若，则的函数值都是负数； ④不存在实数，使得对任意实数都成立． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ②③④ 二．填空题（每题2分，共16分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______． 15. 已知反比例函数（为常数）的图象，在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是_______________． 16. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 17. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C恰好在AB上，则∠A的度数为______． 18. 设m，n是方程的两实数根，则______． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，，其部分图象如图所示，给出下面四个结论：①；②；③当时，；④是关于x的一元二次方程 的一个根；其中正确的结论有_______________（填序号）． 20. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点． ①若点，在抛物线上，则a______b（用“<”，“=”或“>”填空）； ②若对于时，总有，则m的取值范围______． 三．解答题（21题16分，22—26题每题5分，27、28每题6分，29题7分） 21. 解方程： （1） （2） （3） （4） 22. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 24. 已知二次函数． （1）将其化成的形式为________； （2）该函数图象与轴的交点坐标为________； （3）画出该二次函数的图象； （4）当时，函数值的取值范围是________． 25. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 26. 如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离(单位：米)之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． （1）的值为__________； （2）若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； （3）若时，到喷水头水平距离为16米的处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）过点作轴的垂线，交轴于点，该直线交于点，交抛物线于点． ①若，求与的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，恒成立，求的取值范围． 28. 在中，，，点D在射线上，连接，将线段逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），连接，过点E作，交直线于点F． （1）如图1，当点D与点C重合时，求证：； （2）如图2，当点D在线段上，F在线段的延长线上时，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 29. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $