江苏常州市北郊初级中学2026-2027学年九年级上学期 期中数学试题

2026~2027学年第一学期常州北郊初级中学期中质量调研 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列方程是一元二次方程的是() A.3c+2y-1=0 B.5c2-6y-3=0C.3x+2=0 D.x2-1=0 2反比例函数y一上k子0)的图象经过点(-2,3，则它还经过点〈) A.(6,-1) B.（-1,-6) C.(3,2) D.(-2,3.1) 3.若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为3cm,那么点A与⊙O的位置关系是() A.点A在⊙O外 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O内 D.不能确定 4反比例函数y=5的图象经过(） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二、三象限 D.第三、四象限 5.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为BC上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为 () A.36 B.45° C.60 D.72 6.如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上两点，己知∠DCB=20°，则∠DBA为() A.50° B.20° C.60 D.70° 7.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降 价的百分率。设每次降价的百分率为x,下面所列方程中正确的是() A.315(1+x)2=560B.315(1+2x)=560C.560(1-2x)=315D.560(1-x)P=315 第1页共6页 8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=10,以BC为直径作⊙O.将⊙O绕点B旋转至⊙O',使⊙ O'与边AD相切，切点为E,⊙O'与边BC另一交点为F,则BF的长为() A.6 B.3√5 C.7 D.8 二、填空题（每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9.方程x2-2x=0的解为一· 10.如图，点A,B,C在⊙O上，∠BAC=50°，则∠OBC= 11.己知m1,2是方程x2+5x+1=0的两个实数根，则1十x2十x1c2的值为 12.如图，P是反比例函数y=3的图象上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A,则△PAO的面积为 13.用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，则这个容器盖铁皮的面积 cm2. 50cm 80cm 第13题图 第14题图 第16题图 第2页共6页 14.如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= 15.对于反比例函数y=±，当1<c<2时，函数值y的取值范围为 16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线AC、BO相交于点D,反比例函数y=k(c<0)的 m 图象经过点D,交BC延长线于点E.若点A的坐标为(-10,0)，且AC+BO=12W5,则点E的坐标为 三、解答题：（本大题共9小题，第17题16分，第22、24、25题8分，第23题4分，第18-21题每题6 分，共68分) 17.解方程： (1)(x+1)2=9: (2)x2+2x-8=0: (3)x(x-2)=3(x-2): (4)2x2+3x-3=0 18.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-2=0. (1)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数α的取值范围； (2)若该一元二次方程的一个根为1时，求α的值及方程的另一根， 19.简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧， 如图1，点P表示筒车的一个盛水桶 如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5为半径的圆，且圆心在水面上方.若 圆被水面截得的弦AB长为8m,求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度. 图1 第3页共6页 20.如图，一次函数y=一x十3的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A1,a)和B两点， m 与x轴交于点C.(1)求反比例函数的解析式： (2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标. 21.某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场 调查发现，如果每件降价1元，则销量增加10个，设每件商品降价x元时： （1)每天可销售件，每件盈利元.（用含x的代数式表示） (2)为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利1150元？ 22.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若∠D=30°，⊙O的半径为6.求圆中阴影部分的面积. 23.如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上， ⊙O为△ABC的外接圆.请在图中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）· (1)标出△ABC的外接圆圆心O: (2)作出∠ACB的角平分线CM交⊙O于M. 第4页共6页 24.【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子 长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆 圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象.【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y与两腿迈出的 步长之差c之间有如表的关系： x/cm 1 2 5 7 ylem 1400 700 280 200 【问题解决】 (1)请写出y与x之间的函数关系式 (2)当某人两腿迈出的步长之差为4cm时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为 cm. 【问题拓展】 如图，学校运动场有一块矩形的草坪ABCD,经测量，在矩形ABCD中，BC=I00m,AM=BM= 40.一次游戏要求同学们闭眼从AB边的中点M走向CD边，大家发现走着走着就走偏了，很难到达边 CD. (3)要想抵达草坪的对面CD,走偏最多的弧线为弧MC,求弧MC所在圆的半径R. (4)查阅资料可知，健康人群的步长之差约为0.5cm,请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草 坪对面 第5页共6页 25.在平面直角坐标系cOy中，直线l分别交c轴、y轴于点A(-3,0),B(0,3). (1)如图1，以线段AB上的一点M为圆心画圆，若⊙M与OA,OB都相切，求⊙M的半径： (2)如图2，己知⊙P经过点O,且与直线l1相切于点B,求⊙P直径的长： (3)如图3，己知直线2：y=3c-3分别交x轴、y轴于点C,D,点Q是直线l2上的一个动点，以Q为 圆心，2W2为半径画圆，⊙Q与直线l1相交于M,N两点，连接QM,QN.是否存在点Q,使得 △QMN是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 图2 图3 第6页共6页2026~2027学年第一学期常州北郊初级中学期中质量调研 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列方程是一元二次方程的是() A.3c+2y-1=0 B.5x2-6y-3=0C.3x+2=0 D.x2-1=0 【答案】D 2.反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(-2,3)，则它还经过点() A.(6,-1) B.（-1,-6) C.(3,2) D.（-2,3.1) 【答案】A 3.若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为3cm,那么点A与⊙O的位置关系是() A.点A在⊙O外 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O内 D.不能确定 【答案】C 4.反比例函数y=5的图象经过(） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二、三象限 D.第三、四象限 【答案】A 5.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为BC上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为 () A.36 B.45° C.60° D.72° 【答案】A 6.如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上两点，已知∠DCB=20°，则∠DBA为() A.50° B.20° c.60° D.70° 【答案】D 第1页共7页 7.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降 价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列方程中正确的是() A.315(1+c)2=560B.315(1+2x)=560 C.560(1-2x)=315D.560(1-x)2=315 【答案】D 8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=I0,以BC为直径作⊙O.将⊙O绕点B旋转至⊙O',使⊙ O'与边AD相切，切点为E,⊙O'与边BC另一交点为F,则BF的长为() A.6 B.3√5 C.7 D.8 【答案】D 二、填空题（每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9.方程2-2c=0的解为一 【答案】1=0，x2=2 10.如图，点A,B,C在⊙O上，∠BAC=50°，则∠OBC= B 【答案】40 11.已知1，c2是方程x2+5x+1=0的两个实数根，则c1十x2十c1c2的值为 【答案】-4 12.如图，P是反比例函数g=3的图象上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A,则△PAO的面积为 第2页共7页 【答案】 13.用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，则这个容器盖铁皮的面积 cm2. 【答案】2000元 50cm 80cm 第13题图 第14题图 第16题图 14.如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= 【答案】50 15.对于反比例函数y=4,当1<x<2时，函数值y的取值范围为】 【答案】2<y<4 16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线AC、BO相交于点D,反比例函数y=k(c<0)的 图象经过点D,交BC延长线于点E.若点A的坐标为(-10,0)，且AC+B0O=12W5,则点E的坐标为 【答案】(-12》 三、解答题：（本大题共9小题，第17题16分，第22、24、25题8分，第23题4分，第18-21题每题6 分，共68分) 17.解方程： (1)(x+1)2=9: (2)x2+2c-8=0; (3)x(x-2)=3(x-2): （4)2x2+3x-3=0. 【答案】 (1)x1=2,D=-4 (2)x1=2,x3=-4 (3)x1=2,D=3 (4)m1=-3+V33 ,0=-3-V33 4 18.已知关于x的一元二次方程x2+2c+a-2=0. (1)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数α的取值范围： (2)若该一元二次方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根， 【解析】 (1)△=22-4a-2)=12-4a>0,解得a<3: (2)把x=1代入方程得1+2+a-2=0,a=-1:方程为x2+2x-3=0,另一根为c=-3。 第3页共7页 19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧， 如图1，点P表示筒车的一个盛水桶. 如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方.若 圆被水面截得的弦AB长为8，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度. 图 【解析】过O作OC LAB于C,交圆于D,连接OA。由垂径定理，AC=号AB=士，OA=5,OC √52-4=3，深度CD=5-3=2m,最大深度为2m。 20.如图，一次函数y=一心十3的图象与反比例函数y=左(k≠0)在第一象限的图象交于A1,a)和B两点， 与x轴交于点C.(1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标. 【解析】 (1)把A(1,代入y=-+3得a=2,A1,2),代入反比例函数得k=2,解析式y=2 C②)一次函数交轴于C3,0,设Pt,0.5ae=t-3到×2=5,1比-到=5 解得t=8或t=-2,P8,0)或P(-2,0)。 21.某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场 调查发现，如果每件降价1元，则销量增加10个，设每件商品降价c元时： (1)每天可销售件，每件盈利元.（用含x的代数式表示） (2)为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利1150元？ 【解析】(1)销量：30+10x,每件盈利：25-0： (2)列方程(30+10x)(25-x)=1150,整理得需2-22x+40=0,解得1=2,2=20： 要尽量减少库存，选择降价更多的心=20，即每件降价20元。 第4页共7页 22.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若∠D=30°，⊙O的半径为6.求圆中阴影部分的面积. 【解析】 (1)连接OC,由OA=OC得∠A=∠OCA,又∠BCD=∠A,故∠OCA=∠BCD:AB为直径， ∠ACB=90°，即∠OCA+∠OCB=90°，代入得∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，OC⊥CD,所以CD是⊙ O切线： (2)∠D=30°，∠OCD=90°，则∠COD=60°，△OBC是等边三角形：阴影面积=S扇形o4C-SoBc= 120元×62_5×62=12m-9W5。 360 4 23.如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上， ⊙O为△ABC的外接圆.请在图中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）· (1)标出△ABC的外接圆圆心O: (2)作出∠ACB的角平分线CM交⊙O于M. 【解析】(1)作AB、BC两边的垂直平分线，交点即为外接圆圆心O: (2)利用网格构造相等圆周角，找到弧AB中点M,连接CM,CM即为∠ACB的角平分线。 第5页共7页 24.【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子 长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆 圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象.【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y与两腿迈出的 步长之差x之间有如表的关系： x/cm 1 2 5 7 ylcm 1400 700 280 200 【问题解决】 （1)请写出y与x之间的函数关系式， (2)当某人两腿迈出的步长之差为4cm时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为 cm. 【问题拓展】 如图，学校运动场有一块矩形的草坪ABCD,经测量，在矩形ABCD中，BC=I00m,AM=BM= 40.一次游戏要求同学们闭眼从AB边的中点M走向CD边，大家发现走着走着就走偏了，很难到达边 CD. (3)要想抵达草坪的对面CD,走偏最多的弧线为弧MC,求弧MC所在圆的半径R. (4)查阅资料可知，健康人群的步长之差约为0.5cm,请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草 坪对面. 【解析】(1)由表格可知y=1400,函数关系式为y=1400 (2)把2=4代入，y=1400=350: 4 (3)设弧MC所在圆圆心为O,OM=OC=R,OB=R-40,BC=100, 由勾股定理：R=(R-40)2+100,解得R=145: (4)当2=0.5cm,y=400=2S00cm=2Sm,而M到CD距离为100m,人闭眼走出的圆半径仅29m, 0.5 走的圆弧半径远小于100m,会提前偏转，无法到达对面CD边。 第6页共7页 25.在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交c轴、y轴于点A(-3,0),B(0,3). (1)如图1，以线段AB上的一点M为圆心画圆，若⊙M与OA,OB都相切，求⊙M的半径： (2)如图2，已知⊙P经过点O,且与直线相切于点B,求⊙P直径的长； (3)如图3，己知直线2：y=3x-3分别交x轴、y轴于点C,D,点Q是直线l2上的一个动点，以Q为 圆心，2W2为半径画圆，⊙Q与直线l1相交于M,N两点，连接QM,QN.是否存在点Q,使得 △QMN是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 图1 图2 图3 【解析】先求直线1解析式：y=c+3。 (1)设半径为，M(r,r,代入g=x+3得r=-r+3,解得r= 29 (2)连接PB、PO,PB⊥l1,直线l1斜率为1，故PB斜率为-1，直线PB:y=一x+3。圆心P在 B0的垂直平分线y-号上，联立y=女+3与y=号得P(号号》半径P0=,直径为3w2: 2 g△0为容要直的三角形，QM=Qw-2,故Q到直授飞Ed-器-么设Q,3影-引 √2 由点到直线距离公式-3t=3)+8=2,即一-2t+6=2,1-26十6=2W2,解得=3+2或t=3- 1P+(-1)P √2 √2，对应Q坐标为(3+√2,6+3W2)、(3-√2,6-3W2)。 第7页共7页