精品解析：四川宜宾市第四中学2026—2027学年上期半期学情检测九年级数学

2026—2027学年上期半期学情检测 九年级数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，，计算正确； B、合并同类二次根式可得，，计算正确； C、根据二次根式除法法则，，计算错误； D、根据二次根式乘法法则，，计算正确． 3. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的位似，相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为， ∴与的相似比为， 根据面积比是相似比的平方，即与的面积比是， 故选：A． 4. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把化成，再代值计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴＝＝． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了代数式求值的有关计算，熟练掌握代数式求值的有关计算是解题的关键． 5. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式求出，根据题意得，解关于的一元一次不等式，结合一元二次方程的定义即即可得出得取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：且． 故选：D． 6. 如图，在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边，若空白区域的总面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（ ）     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设丝绸花边的宽为， 根据题意，可列方程为：． 7. 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ） A. 15米 B. 22.5米 C. 35米 D. 37.5米 【答案】B 【解析】 【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设河宽米，则点P到北岸的距离为米， 由题意得，米，米， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为米． 8. 关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，，连接、交于点．若，则等于（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据已知的比例，结合平行四边形的性质求出，再证明，进而求出，根据高相等，面积之比等于底边之比可求出，问题随之得解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．（注意在试题卷上作答无效） 11. 函数中自变量的取值范围是_____； 【答案】 【解析】 【分析】由分母不为0结合被开方数为非负数列不等式从而可得答案． 【详解】解：由题意得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，理解自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 如图，在中，G是重心．如果，那么线段的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质．连接，并延长交于点E，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点E，连接， ∵G是的重心， ∴点D，E分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：3 13. 若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ． 15. 等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】当底边长为4时，则腰长为方程的两个根，利用判别式得到m的值,再求出方程的解，然后运用三角形的三边关系加以判断即可；当腰长为4，则将代入方程求解，然后根据三角形三边的关系加以判断即可． 【详解】解：∵方程， ∴方程， 当底边长为4时，则腰长为方程的两个根， ∴，解得； 方程可化为，解得， ∵， ∴4、3、3符合三角形三边的关系． 当腰长为4，则为方程的一个根， ∴，解得， 方程可化为，解得， ∵， ∴2、4、4符合三角形三边的关系． 综上，m的值为或． 16. 如图，已知为等腰直角三角形，，点E是线段的三等分点（），点C是直线上的一个动点，连接，以为直角边、点A为直角顶点作等腰直角三角形，连接，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，动点的轨迹问题，相似三角形的判定与性质，正方形的判定和性质等．求出点D的运动轨迹是解题的关键． 作点O关于的对称点F，连接，，证明，推出，可得点C在直线上运动时，点D的运动轨迹为直线，当时，取最小值，由此可解． 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， 如图，作点O关于的对称点F，连接，，则，． 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， 当点C与点O重合时，点D与点F重合， ， ， 又，， ， ， 点C在直线上运动时，点D的运动轨迹为直线， ， ， 如图，当时，取最小值， ，，， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9个题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先二次根式的化简和绝对值计算，再加减运算即可解答； （2）先计算零指数幂、负整数指数幂和立方根运算，同时化简绝对值，然后加减运算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得 配方，得 即 开平方，得 ∴，； 【小问2详解】 解：因式分解，得 ∴或 ∴，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解． 20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． （1）以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； （2）点的坐标为（__________，________）； （3）的面积是________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化、位似变换，求网格中图形的面积，利用位似的性质正确作出图形是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，分别作出、、的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据坐标系即可得出点的坐标； （3）结合点的坐标，利用割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由坐标系可得，点的坐标为． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：由坐标系可得，的面积． 故答案为：． 21. 已知关于的一元二次方程． 请说明对于任意实数方程总有两个不相等的实数根； 若方程两实数根为，，且满足，求的值． 【答案】 （1）∵关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）﹣m2=0， ∴x2﹣3x+2﹣m2=0， ∴△=9﹣4（2﹣m2）=1+4m2＞0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】（1）先把方程（x﹣1）（x﹣2）﹣m2=0变形为x2﹣3x+2﹣m2=0，得出△=9﹣4（2﹣m2）=1+4m2＞0，即可得出答案； （2）利用根与系数的关系可以得到x1+x2=3，x1•x2=2﹣m2，代入（x1+x2）2=3﹣x1x2，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）∵方程两实数根为x1，x2，∴x1+x2=3，x1•x2=2﹣m2． ∵（x1+x2）2=3﹣x1x2，∴9=3﹣2+m2，∴m=±2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac和一元二次方程的根与系数的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 22. 如图，在正方形中，为边上一点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； 【答案】（1） 证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 23. 某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ （2）国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 【答案】（1）商场对商品平均每次降价的百分率为． （2）130元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设商场对商品平均每次降价的百分率为x，再根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价y元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设商场对商品平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）． 答：商场对商品平均每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设这天商场在每件150元的基础上降价y元， 由题意得：，解得：， ∵为了尽快销售完这批商品， ∴． （元） 答：这天商场对A商品售价为130元． 24. 如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． （1）若与相似，求t的值； （2）连接、，若，求t的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：①当时，；②当时，，再根据，，，，代入计算即可； （2）过P作于点M，，交于点N，则有，，，根据，得出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴根据勾股定理得：， ①当时，， ∵，，，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，t＝； ∴或时，与相似； 【小问2详解】 解：过P作于点M，，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 25. 综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动．请解决下列问题： （1）探究规律： ①如图1，，则__________；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点在线段上，，，则的度数为__________； （2）应用规律： 如图3，点，，，在同一条直线上，，求证：； （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）证明：过C作交于H，如图， 则，，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余和余角性质得到，再根据相似三角形的判定可得结论； ②根据相似三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）过C作交于H，根据平行线的性质可得，，，利用三角形的外角性质可得，然后利用相似三角形的判定可得结论； （3）先求得，再利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，证明，根据相似三角形的性质求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴ ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过作交延长线于点E，则， 在中，，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上期半期学情检测 九年级数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 且 6. 如图，在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边，若空白区域的总面积为，设丝绸花边的宽为，根据题意，可列方程为（ ）     A. B. C. D. 7. 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（ ） A. 15米 B. 22.5米 C. 35米 D. 37.5米 8. 关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，，连接、交于点．若，则等于（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 10. 如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．（注意在试题卷上作答无效） 11. 函数中自变量的取值范围是_____； 12. 如图，在中，G是重心．如果，那么线段的长为_____． 13. 若实数x，y满足，则的值为__________． 14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 15. 等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 16. 如图，已知为等腰直角三角形，，点E是线段的三等分点（），点C是直线上的一个动点，连接，以为直角边、点A为直角顶点作等腰直角三角形，连接，则的最小值是______． 三、解答题：本大题共9个题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． （1）以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； （2）点的坐标为（__________，________）； （3）的面积是________． 21. 已知关于的一元二次方程． 请说明对于任意实数方程总有两个不相等的实数根； 若方程两实数根为，，且满足，求的值． 22. 如图，在正方形中，为边上一点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长； 23. 某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ （2）国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 24. 如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接． （1）若与相似，求t的值； （2）连接、，若，求t的值． 25. 综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动．请解决下列问题： （1）探究规律： ①如图1，，则__________；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点在线段上，，，则的度数为__________； （2）应用规律： 如图3，点，，，在同一条直线上，，求证：； （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $