精品解析：四川省达川第四中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自 测数学试题

四川省达川第四中学2026年（秋）教学质量检测 初三年级数学第一次月考试题 （卷面分值：150分考试时间：150分钟） （A卷共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案写在相应的位置上） 1. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）. A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 4. 如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（ ） A. B. C. D. 5. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是( ) A. B. － C. 4 D. －1 6. 已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为189元的药品进行连续两次降价后为156元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为2，是对角线，延长到H，使，于点G，交于点E，连接交于点F，连接，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的序号有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若为方程的解，则的值为________． 10. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点．若△ADE的周长为5，则△ABC的周长为________． 11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 12. 如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的长为________． 13. 如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 15. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 16. 四川省城市足球联赛期间，某地区佳宇商场经销一批小家电，每个小家电的成本为40元．据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．针对这种小家电的销售情况，请回答以下问题： （1）当销售单价定为70元时，月销售量________件，月销售利润________元； （2）设销售单价定为x元（），月销售利润为y元，则________（用含x的代数式表示） （3）现该商场要保证每月盈利8750元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 17. 如图，点E为正方形外一点，点F是线段上一点，是等腰直角三角形，其中，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 在矩形中，，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿，，，的方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，． （1）当x为何值时，点P与点N重合； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若两个不相等的实数p，q满足，，则的值为________． 20. 已知a，b为实数，方程有两个相等的实数根，则a，b满足的关系式为________． 21. 已知，，直线交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，若，则________． 22. 如图，在中，点E在边上，点F在边上，与对角线相交于点H．若，______． 23. 如图，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，点G在上且，连接，，则的最小值为________． 二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 24. 新定义：关于x的一元二次方程与互为一次和零方程． （1）判断下列方程是否互为一次和零方程，是的打“√”，不是的打“×”； ①与；（ ） ②与；（ ） ③与；（ ） （2）若一元二次方程有两个相等的实数根． ①求a的值； ②写出的一次和零方程，q是方程的实数根，求的值； （3）若方程与它的一次和零方程有且只有一个公共实数根，求k的值． 25. 如图1，一次函数图象经过定点，与轴交于点，且与直线交于第一象限内的点，已知点的横坐标为． （1）求点的坐标，并求出的值； （2）如图2，坐标原点为，点是直线上的动点（不与点重合），过点分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为．若矩形的周长等于，请求出所有满足条件的点的坐标； （3）设点在轴上，在坐标平面内寻找点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出全部符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 综合与探究：如图，点在的平分线上，于点A，且． （1）如图1，过点P作于点，根据题意在图1中画出，图中的度数为________； 【问题探究】 （2）如图2，点在线段上，连接，过点P作交射线于点，判断线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川第四中学2026年（秋）教学质量检测 初三年级数学第一次月考试题 （卷面分值：150分考试时间：150分钟） （A卷共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案写在相应的位置上） 1. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 2. 下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断方程是否为一元二次方程，先看是否为整式方程，若是再整理，若能整理为的形式，则是一元二次方程． 【详解】解：A. 当时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B. 是整式方程，只含一个未知数，最高次数为2，二次项系数不为0，故该选项符合题意； C. 方程含分式，是分式方程，故该选项不符合题意； D. 将方程右边展开得，移项整理得，是一元一次方程，故该选项不符合题意． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形的判定和性质，根据其判定方法进行判定即可求解． 【详解】解：A、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意； B、对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原选项错误，不符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 4. 如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ， 故选A． 5. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两个实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba的值是( ) A. B. － C. 4 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1， 解得a=2，b=， ∴ba=（）2=． 故选A． 6. 已知菱形的周长为，一条对角线长为，则该菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线的长度，再用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算面积． 【详解】解：∵菱形周长为，且菱形四条边相等， ∴菱形边长为 ． ∵菱形一条对角线长为，且菱形对角线互相垂直平分， ∴该对角线的一半长为 ． 根据勾股定理，可得另一条对角线的一半长为， 因此另一条对角线长为 ， ∴菱形面积为． 7. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为189元的药品进行连续两次降价后为156元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抓住连续两次降价的计算基数为前一次售价的关键点，结合原价与最终售价列方程． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为． 由题意得． 8. 如图，正方形的边长为2，是对角线，延长到H，使，于点G，交于点E，连接交于点F，连接，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的序号有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形性质求出长，结合及垂直条件得出为等腰直角三角形，进而求出等线段长，通过全等三角形判定和菱形判定定理逐一验证结论． 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，在上， ∴， 在和中， ， ∴ ，故①正确； ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴，故②正确； ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵共线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若为方程的解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，得到关于的关系式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的解， 将代入方程得 ， 整理得， ∴． 10. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点．若△ADE的周长为5，则△ABC的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据中位线定理以及相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，， ∴， ∴ , ∵， ∴； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了中位线定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 11. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 12. 如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据折叠的性质可得，在中，利用勾股定理列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：连接， 设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵沿对折，使得点与点重合， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 13. 如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，用含的代数式表示和，分和 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ． 由题意得： ，， ． ， 分两种情况讨论： 当时， 即， 解得； 当 时， 即， 解得． 综上所述，当为或时，与相似． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【小问1详解】 解：； 或 解得 , . 【小问2详解】 解： ，，， ， 即，； 【小问3详解】 解： 或 解得，． 15. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （）可证，由比例线段可求出线段的长； 本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 四川省城市足球联赛期间，某地区佳宇商场经销一批小家电，每个小家电的成本为40元．据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．针对这种小家电的销售情况，请回答以下问题： （1）当销售单价定为70元时，月销售量________件，月销售利润________元； （2）设销售单价定为x元（），月销售利润为y元，则________（用含x的代数式表示） （3）现该商场要保证每月盈利8750元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）300；9000 （2） （3）65元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据月利润（销售单价成本）月销售量列式求解即可； （3）根据月利润（销售单价成本）月销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当销售单价定为70元时，月销售量件，月利润为元； 【小问2详解】 解：由题意得 ； 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：销售单价应定为65元． 17. 如图，点E为正方形外一点，点F是线段上一点，是等腰直角三角形，其中，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得到，；同角的余角相等，得到；用证明三角形全等． （2）先证明是直角三角形，用勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， 在中，， ， ． 18. 在矩形中，，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿，，，的方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，． （1）当x为何值时，点P与点N重合； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1）当x为4时，点P与点N重合； （2）当x为0或2或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）矩形的对边相等，若点P与点N重合，则，用因式分解法解一元二次方程； （2）当点N到达点A时，，此时点Q只能在点M左侧，分为点P在点N左侧和点P在点N右侧两种情况讨论，根据已知条件和平行四边形性质，列一元二次方程，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：若点P与点N重合，则， 四边形是矩形， ， ， 即， ， ，（舍去）， 所以，当x为4时，点P与点N重合； 【小问2详解】 当点N到达点A时，， 解得：，（舍去）， ，， ， 所以，此时点Q和点M还没有相遇，点Q只能在点M左侧， 当点P在点N左侧时，如图1， 则，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， 解得：，， 当点P在点N右侧时，如图2， 则，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 解得：，（舍去）， 综上所述，当x为0或2或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若两个不相等的实数p，q满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个不相等的实数，满足，，即可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，根据根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】解：∵ 两个不相等的实数，满足，， ∴ ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据根与系数的关系得：，， ∴． 20. 已知a，b为实数，方程有两个相等的实数根，则a，b满足的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式等于0即可推导得到，满足的关系式． 【详解】解：原方程为，其中二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴， ∵原方程有两个相等的实数根， ∴， 即，满足的关系式为． 21. 已知，，直线交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出各线段长度，结合相似三角形对应边成比例列方程，结合在轴正半轴的条件求解． 【详解】解：∵原点，，， ∴，，， ∵直线交轴于点，令得， ∴，，， ∵直线交轴正半轴于点，令得， ∴， 由在轴正半轴得，即，因此， ∵，对应顶点按顺序对应， ∴， ∴，解得． 22. 如图，在中，点E在边上，点F在边上，与对角线相交于点H．若，______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，通过平行四边形的性质证明，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵ ∴设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∴，， ∴， ∴． 23. 如图，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，点G在上且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点O，首先证明，作直线交于点M，交于点N，证明时线段的垂直平分线，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，解答即可． 【详解】解：连接，交于点O， 根据题意，正方形的边长为4，E是对角线上的动点， ， ， ， 以为斜边向右侧作等腰直角， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 作直线交于点M，交于点N， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为， 在中，， ， ． ， ， ， 的最小值为． 二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 24. 新定义：关于x的一元二次方程与互为一次和零方程． （1）判断下列方程是否互为一次和零方程，是的打“√”，不是的打“×”； ①与；（ ） ②与；（ ） ③与；（ ） （2）若一元二次方程有两个相等的实数根． ①求a的值； ②写出的一次和零方程，q是方程的实数根，求的值； （3）若方程与它的一次和零方程有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2）①；②， （3） 【解析】 【分析】（1）紧扣新定义，对比两个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，满足，，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，即可判定． （2）①一元二次方程有两个相等实数根，首先保证二次项系数不为0，再利用根的判别式列方程求解参数．②先根据定义写出方程，分别求出的根与的根，代入代数式计算的值． （3）先把原方程整理成标准形式，写出它的一次和零方程；设公共实数根，两方程相减求出公共根，代回原方程求出，检验是否满足题意“有且只有一个公共实数根”． 【小问1详解】 ①，对应；，对应，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合定义，打√． ②，对应；它的一次和零方程应该是，即，而常数项改变，不符合定义，打×． ③，对应；对应，二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，符合定义，打√． 【小问2详解】 ①是一元二次方程， ，即． 方程有两个相等实数根，． 解得（舍去），． ． ②当，， 对照定义，， 则一次和零方程． 解方程：，，得． 解方程：，，得． ． 【小问3详解】 先整理原方程： 它的一次和零方程：． 设公共实数根为，代入两个方程： 两式相减，得． 情况1：，即，此时两个方程完全相同，公共实数根不唯一，不符合“有且只有一个公共实数根”，舍去． 情况2：，得． 把代入原方程：，解得． 检验：当时，原方程为，根为； 一次和零方程为，根为． 两个方程仅有公共根，满足题目条件． ． 25. 如图1，一次函数图象经过定点，与轴交于点，且与直线交于第一象限内的点，已知点的横坐标为． （1）求点的坐标，并求出的值； （2）如图2，坐标原点为，点是直线上的动点（不与点重合），过点分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为．若矩形的周长等于，请求出所有满足条件的点的坐标； （3）设点在轴上，在坐标平面内寻找点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出全部符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）把点的横坐标代入，可得其纵坐标，于是求得点的坐标；再用待定系数法可求出一次函数的的值； （2）设点的横坐标为，根据矩形的周长为，得其纵坐标为，代入上一小问所求出的解析式，即可求出的值，进而求出点的坐标； （3）设点的坐标为，点的坐标为，根据菱形的性质列出方程组，解出的值即可． 【小问1详解】 解：点的横坐标为，直线过点， ， 点的坐标为， 一次函数图象经过定点和点， ， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）可得：直线的解析式为， 设点的横坐标为，则其纵坐标为， 的坐标为， ， 矩形的周长为， ， 当时，， ， ， 此时，点的坐标为， 当时，， ， 此时点不存在， 当时，， ， 解得， 此时点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ， ， 如下图所示：此时，， 点就是由点向下平移个单位， 点的坐标为． 如下图所示：此时，， 点就是由点向上平移个单位， 点的坐标为． 如下图所示：此时，四边形是菱形，关于轴对称， 点的坐标为． 如下图，此时， 点的坐标为， 点的坐标为，， ， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为，，，． 26. 综合与探究：如图，点在的平分线上，于点A，且． （1）如图1，过点P作于点，根据题意在图1中画出，图中的度数为________； 【问题探究】 （2）如图2，点在线段上，连接，过点P作交射线于点，判断线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值． 【答案】（1）， （2） 证明：连接，过点作于点，如图所示， 平分， ， ， ，， ，， 为矩形，， 为正方形， ，． ， ，， ， ，， ， ． ，， ， ， ． （3）或4 【解析】 【分析】（1）根据垂直的性质，利用三个角都是的四边形是矩形，从而求出的度数． （2）利用垂直的性质和等腰直角三角形的判定推出正方形，从而证明，再根据角边角证明推出，最后通过等量代换求出，，之间的数量关系． （3）分两种情况：①当点在线段上时，设，则，，，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得；②当点在的延长线上时，利用第（2）问的方法证明 ，设，则，，，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：图略， ，，， ， 为矩形， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当在线段上时，延长交于点， 由（2）可知， ， 设，则， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当在线段的延长线上时，过点作交于点，交于点，如图所示， 由（2）可知，四边形为正方形， ，，， ， ， ，， ， ，， ， ． ，， ， ， ． ， 设，则， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $