精品解析：湖南永州市道县2026-2027学年九年级上学期期中数学

2026年下期初中期中质量监测九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．答题前，考生先将学校、班级、姓名、考号填写清楚，并核对好条形码． 2．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是（ ） A. 2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D. 2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 【答案】A 【解析】 【分析】判断四条线段是否成比例线段，可验证最大数与最小数的乘积是否等于中间两数的乘积，相等则为成比例线段，据此选出正确选项． 【详解】解：A选项，，，乘积相等，是成比例线段． B选项，，不是成比例线段． C选项，，不是成比例线段． D选项，，不是成比例线段． 故选：A． 2. 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质得到相等角，再由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据一元二次方程的定义，从整式性、未知数个数、最高次数三个维度判断各选项． 【详解】解：A、未说明，当时不含二次项，不符合题意； B、含有，两个未知数，不符合一元的要求，不符合题意； C、只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意； D、的最高次数为3，不符合二次的要求，不符合题意． 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知比例设参数，代入待求分式化简求值． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】为的邻边与斜边的比，斜边已知，需先求邻边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ， ． 6. 如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 7. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 8. 若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似矩形的周长比是， ∴它们的相似比为， 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个相似矩形的面积比是， 故选：D． 9. 道县乐海水库是一座以供水、灌溉为主的小型水利枢纽，灌溉面积超1000公顷．水库大坝采用重力坝设计，如图为其横断面示意图，已知背水坡的坡度为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 10. 如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. sin30°的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=． 故答案为： 12. 方程的解为___________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】原方程可通过因式分解转化为一元一次方程求解． 【详解】解：对方程左边因式分解，得， 或 ， 解得，． 13. 已知点是线段上的黄金分割点，，，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到比例式，把已知数据代入即可求得． 【详解】解：设： 点是线段上的黄金分割点，， 或（舍去）． 14. 若是一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根满足原方程，将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入原方程得：， 整理得，解得． 15. 在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为__． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，证明是的中位线，利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ∵∥， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：8． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到和的长度，在上取点使得，构造，从而得到，将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短，当，，三点共线时和最小，最小值为线段的长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，如图所示： 把代入可得：， ∴， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 在中，． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：． 18. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD，求证：△ABC∽△DEC． 【答案】证明：∵∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠ACB=∠DCE， ∵∠A=∠D， ∴△ABC∽△DEC． 【解析】 【分析】根据∠BCE=∠ACD，得到∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，得到∠ACB=∠DCE，结合∠A=∠D，推出△ABC∽△DEC． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了判定两三角形相似，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似，是解决本题的关键． 19. 在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 【答案】（1）如图， （2）如图， （3） 【解析】 【分析】（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变换的性质，即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：图略， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以原点为位似中心，相似比为，在同一侧的位似点坐标规律：点，对应点坐标为． 20. 道县乐福堂镇大莲塘村湘桂古道旁的凉亭因年久失修，村里正按照“修旧如旧”的原则对其进行保护修缮，以留住古道的人文记忆．如图，小明为了测量凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，求凉亭的高度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 凉亭的高度约为． 21. 永州滨江新城是永州市“零冷联城”战略的核心发展区域，某数学小组来到滨江新城建设现场开展实践活动：两栋正在建设的楼房、均垂直于地面，工作人员在处测得点俯角，测得点仰角，已知，求的长．（结果精确到0.1米）参考数据： ， 【答案】37.4米 【解析】 【分析】过点作于，由题意得四边形为矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， 四边形为矩形， ， 在中，， 在中，． 22. 如图，在中，，，是边上的中线，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，过点A作于点E，由，设，，然后利用勾股定理求出，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）首先求出，然后利用勾股定理求出，然后求正弦值即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作于点E， ∵ ∴设， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，是边上的中线 ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 23. 如图，在中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿的方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为（单位：），解答下列问题： （1）___________；___________；（用含的代数式表示） （2）当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）； （2）为或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求得，结合题意用t表示出、即可解答； （2）分两种情况：①当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可；②当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， 根据题意可知，， ∴． 【小问2详解】 解：①当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当t为或时，以为顶点的三角形与相似． 24. 如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时绘出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角”模型，如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是___________； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值． 【答案】（1） （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得、，进而证明，然后利用全等三角形的性质即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，利用相似三角形的性质列比例式可求得，则，然后运用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过点N作于点M，证明得出，证明，设，则，代入比例式可得，进而即可求解； 【小问1详解】 解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过点N作于点M， ∵，， ∴， ∴，即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期初中期中质量监测九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．答题前，考生先将学校、班级、姓名、考号填写清楚，并核对好条形码． 2．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是（ ） A. 2 cm，4 cm，4 cm，8 cm B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D. 2.1 cm，3.1 cm，4.3 cm，5.2 cm 2. 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（ ） A. B. C. D. 9. 道县乐海水库是一座以供水、灌溉为主的小型水利枢纽，灌溉面积超1000公顷．水库大坝采用重力坝设计，如图为其横断面示意图，已知背水坡的坡度为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. sin30°的值为_____． 12. 方程的解为___________． 13. 已知点是线段上的黄金分割点，，，那么___________． 14. 若是一元二次方程的一个根，则的值是________． 15. 在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为__． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD，求证：△ABC∽△DEC． 19. 在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 20. 道县乐福堂镇大莲塘村湘桂古道旁的凉亭因年久失修，村里正按照“修旧如旧”的原则对其进行保护修缮，以留住古道的人文记忆．如图，小明为了测量凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，求凉亭的高度． 21. 永州滨江新城是永州市“零冷联城”战略的核心发展区域，某数学小组来到滨江新城建设现场开展实践活动：两栋正在建设的楼房、均垂直于地面，工作人员在处测得点俯角，测得点仰角，已知，求的长．（结果精确到0.1米）参考数据： ， 22. 如图，在中，，，是边上的中线，． （1）求的长． （2）求的值． 23. 如图，在中，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿的方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为（单位：），解答下列问题： （1）___________；___________；（用含的代数式表示） （2）当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 24. 如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时绘出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角”模型，如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是___________； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $