精品解析：广东省广州市天河区华南师范大学附属中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年 华南师范大学附属中学九年级11月期中考 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（共10小题，每题4分，总计40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 若关于x的方程的一个根为，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：把代入， 得， 解得． 3. 若一元二次方程的两个实数根分别为，，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将待求分式通分，结合根与系数的关系代入计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． ． 4. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，列方程与不等式联立求解. 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴且， 解，得或， 解，得， ∴. 5. 如图，函数的图象与轴交于点，其中，估计方程的负实数根约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系或抛物线的对称性，结合已知正根估算负根. 【详解】解：设方程的两个根分别为，其中 根据根与系数的关系，得    故选：A． 6. 已知抛物线过，，三点，且，则a的值可以是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 根据抛物线方程计算各点纵坐标，代入不等式求解的范围． 【详解】解：∵ 抛物线 过点 , , ， ∴ ， ， ． 又 ∵ ， 即 ， 由 ，得 ，即 ， ∴ ； 由 ，得 ，即 ， ∴ ， 故 ． 选项中只有 D. ，满足条件， 故选：D． 7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，由点A的坐标和三线合一定理得到的长，由旋转的性质得到的长和，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， ∵顶点的坐标为，， ∴ ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 9. 如图，图中外接圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解． 【详解】解：由图可知，， ， 线段的中点坐标为，且垂直于轴 线段的垂直平分线为直线 外接圆圆心的纵坐标为， 设圆心坐标为 圆心到点、的距离相等 整理得 解得 外接圆的圆心坐标是． 10. 在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度；添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【详解】解：翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆， ∵，， ∴，， 过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得， ， 连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动在以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 二、填空题（共6小题，每题4分，总计24分） 11. 将方程化为一般形式得，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程通过多项式乘法展开、移项合并同类项整理为一元二次方程的一般形式，对比系数得到、的取值，再计算的结果． 【详解】解：由， ∴， ， ∴，， ∴． 12. 如图，B是反比例函数图象上的一点，矩形的边，分别在x轴上与y轴上，矩形的面积为24，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据中k的几何意义，得，结合图形的分布，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ． 13. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是 ．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________． 【答案】4 【解析】 【分析】将给定的高度与时间的二次函数关系式配方为顶点式，结合二次项系数的符号判断开口方向，顶点对应的横坐标即为礼炮升空到最高点的时间，也就是从点火到引爆的所需时间． 【详解】解：对关系式进行配方变形， ∵二次项系数为， ∴该二次函数图像开口向下， ∴当，即时，取得最大值，对应礼炮到达升空最高点的状态， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 14. 如图，是以为直径的上一点，点在弧上，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 15. 若直线与双曲线交于点，，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，，联立两函数解析式得到，则由根与系数的关系得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于点，， ∴，， 令，得， ， ． 16. 关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，根据得到， ，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值． 三、解答题（共9小题，总计86分） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得， 左右两边同除以5，得， 开平方，得， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 18. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于，求的取值范围． 【答案】（1）证明：方程为， 判别式， 化简，得． 对任意实数，，即， 该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）列出方程的判别式并化简，证明其恒非负即可得证； （2）先利用因式分解法求出方程的两根，结合一个根大于的条件列不等式求的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得或． 原方程有一个根大于， ， ． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点A顺时针旋转得到的图形； （2）画出关于原点对称的图形，并写出的坐标． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）分别将点，，绕点顺时针旋转即可完成作图； （2）分别找到点，，关于原点的对称点即可完成作图，关于原点对称的两点，其横、纵坐标互为相反数； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：图略，． 20. 如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，连接该拱门所在圆的圆心O和点A；测量得， （1）求该拱门所在圆的半径； （2）________． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理求出，设该拱门所在圆的半径为，在中，利用勾股定理列方程解答； （2）利用扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ， 设该拱门所在圆的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即该拱门所在圆的半径为； 【小问2详解】 解：， ． 21. 推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力F（单位：）不变的情况下，压强p（单位：）是受力面积S（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为． （1）求p与S之间的函数关系式； （2）若该推土机施工时对地面的压强为，则施工过程中受力面积为多少？ 【答案】（1） （2）该推土机对地面的压强为时，施工过程中的受力面积为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，利用反比例函数的关系式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∴p与S之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 答：该推土机对地面的压强为时，施工过程中的受力面积为． 22. 如图，，都在双曲线的图像上，，在轴上，已知，，都是等边三角形． （1）求双曲线解析式； （2）的面积． 【答案】（1）双曲线解析式为； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质求出点的坐标，再代入双曲线解析式求． （2）设等边的边长为，利用中点和高表示坐标，代入双曲线方程求，再利用面积公式求解． 【小问1详解】 解：，为等边三角形， ， 过点作轴于点， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， ， 在双曲线上， ， 双曲线解析式为． 【小问2详解】 解：设等边的边长为，其中， ， 过点作轴于点， 同理可知，点为中点， 的横坐标为，即的横坐标为， ∴的纵坐标为， ， 在双曲线上， ， 或（舍去）， ， ， ， ， ， ． 23. 【生活观察】 （1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 （2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 （3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 【答案】（1）3 （2）此时左前轮的转向角的度数约为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）先求得，进而解得出，根据等角的余角相等得出，即可求解； （3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 解：由题意得，，， ， 在中， 解得： 在中 ，， 答：此时左前轮的转向角的度数约为 【小问3详解】 解：如图，连接，设，交于点， 当最大时，点经过点，此时 依题意，， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴，, 在中， ∴ 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作垂直于道路右侧 设道路宽为，依题意， ∴ ∴ 综上所述， 24. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当时，若点在抛物线上，求的最小值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先将已知点代入抛物线解析式，得到，再利用抛物线对称轴公式直接计算得到对称轴 （2）代入得到抛物线解析式，配方得顶点坐标，根据开口方向得到的最小值，即的最小值 （3）将抛物线化为顶点式，对称轴在给定区间内，分和两种情况，根据开口方向判断区间内最值位置，列方程求解得到和 【小问1详解】 解：将点代入得： 整理得， 抛物线对称轴为 ∴该抛物线的对称轴为直线 【小问2详解】 解：当时，， 抛物线解析式为： 抛物线开口向上， 点在抛物线上， 的最小值为； 【小问3详解】 将抛物线化为顶点式得，对称轴 ，且， 对称轴在内， 分两种情况讨论：情况1：，抛物线开口向上，顶点为最小值点， ， 解得， 左端点到对称轴的距离为，右端点到对称轴的距离为，， 最大值在处， 代入得 把代入得， 解得 ， ； 情况2：，抛物线开口向下，顶点为最大值点 ，解得， ∵抛物线的右端点到对称轴距离更远， 最小值在处.代入得， 把代入得， 解得 ， ， 综上，或 25. 在中，，，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图1，将绕点逆时针旋转得，求的大小； （2）如图2，线段交线段于点，在绕点旋转一周的过程中： ①求证：点是的中点； ②点移动的路程为______． ③线段运动过程中扫过的面积是______． 【答案】（1） （2）①证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点． ② ③ 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据等边对等角，即可求解； （2）①过点作交的延长线于点，证明，可得，即可求证； ②取的中点，连接，，可得，由三角形的中位线定理得到，故点在以为圆心，1为半径的圆上，且，，三点都在圆上，，根据线段交线段于点，得到点的运动路程为线段交线段于点开始，一直到线段交线段于点结束的一段圆弧，即可求解； ③由旋转可得，点的运动路径为以点为圆心，为半径的圆，点的运动路径为以点为圆心，为半径的圆，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①略； ②如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， 由①可知，点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点F在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，，三点都在圆上， ∵线段交线段于点F， ∴当线段交线段于点开始出现点，当线段交线段于点时，点开始消失， ∴点的运动路程为线段交线段于点开始，一直到线段交线段于点结束的一段圆弧， 当交于点时，由旋转可得，， ∵， ∴垂直平分，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点的运动路径为，对应的圆心角为， ∴点的运动路程为． ③由旋转可得，点的运动路径为以点为圆心，为半径的圆，点的运动路径为以点为圆心，为半径的圆，如图， ∵，，， ∴∴， ∴， ∴， ∴线段运动过程中扫过的面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年 华南师范大学附属中学九年级11月期中考 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（共10小题，每题4分，总计40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程的一个根为，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若一元二次方程的两个实数根分别为，，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，函数的图象与轴交于点，其中，估计方程的负实数根约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线过，，三点，且，则a的值可以是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，图中外接圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，已知的半径为5，且，的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1.5 二、填空题（共6小题，每题4分，总计24分） 11. 将方程化为一般形式得，则______． 12. 如图，B是反比例函数图象上的一点，矩形的边，分别在x轴上与y轴上，矩形的面积为24，则k的值为_____． 13. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是 ．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________． 14. 如图，是以为直径的上一点，点在弧上，，则的度数为________． 15. 若直线与双曲线交于点，，则的值是___________． 16. 关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是 _____． 三、解答题（共9小题，总计86分） 17. 解下列一元二次方程： （1） （2） 18. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于，求的取值范围． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点A顺时针旋转得到的图形； （2）画出关于原点对称的图形，并写出的坐标． 20. 如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，连接该拱门所在圆的圆心O和点A；测量得， （1）求该拱门所在圆的半径； （2）________． 21. 推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力F（单位：）不变的情况下，压强p（单位：）是受力面积S（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为． （1）求p与S之间的函数关系式； （2）若该推土机施工时对地面的压强为，则施工过程中受力面积为多少？ 22. 如图，，都在双曲线的图像上，，在轴上，已知，，都是等边三角形． （1）求双曲线解析式； （2）的面积． 23. 【生活观察】 （1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 （2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 （3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 24. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当时，若点在抛物线上，求的最小值． （3）若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值． 25. 在中，，，，将绕点逆时针旋转得． （1）如图1，将绕点逆时针旋转得，求的大小； （2）如图2，线段交线段于点，在绕点旋转一周的过程中： ①求证：点是的中点； ②点移动的路程为______． ③线段运动过程中扫过的面积是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $