2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

 必修第一册　第二章　一元二次函数、方程和不等式

[学习目标]

1．结合二次函数的图象，理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的联系，会用判别式说明三者之间的关系。

2．掌握一元二次不等式的解法步骤，会解二次项系数为负、判别式为零或为负的情形，并能把简单分式不等式化为一元二次不等式求解。

3．理解不等式恒成立与有解的含义，能把它们转化为二次项系数与判别式满足的条件，并处理含参数的情形。

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 1．一元二次不等式

初中已经会画 的图象（图 1）：开口向上，对称轴为 ，与 轴交于 (−2,0) 和 (3,0) 两点。令 ，解方程 ，得 或 。观察图象可知，当 或 时图象位于 轴上方，即 ，也就是 ；当 时图象位于 轴下方，即 ，也就是 。

图 1: 抛物线 与 轴交于 (−2,0)、(3,0) 两点

(1) 定义：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式。一般地，一元二次不等式都可以化为 或 的形式，其中 、、 是常数，且 0。

(2) 求 的解集，就是求图象位于 轴 的那部分所对应的 的取值范围，解集为 ；求 的解集，对应的是图象位于 轴 的那部分，解集为 (−2,3)。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 当 时， 是关于 的一元二次不等式。（　　）

(2) 不等式 是一元二次不等式。（　　）

 2．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系

一元二次方程 （）的根的情况由判别式 决定，而 同时决定抛物线 与 轴公共点的个数，因此也就决定相应一元二次不等式的解集。下面图 2、图 3、图 4 画出 时 、、 三种情形。

(1) 抛物线 与 轴公共点的横坐标，就是相应一元二次方程 的；反过来，方程的根把 轴分成若干段，每一段上的 使函数值保持同号，于是构成不等式的解集。

(2) 设 ，，方程的两根为 、（），则 的解集是 ， 的解集是。三种判别式情形下的结论整理如下表。

 提醒： 表格里的解集都是在 时得到的。 时不要直接查表，应先把二次项系数化为正数再查表，否则大于零与小于零的两列会整体写反。

判断

(1) 不等式 的解集是 (−2,2)。（　　）

(2) 不等式 的解集是 。（　　）

图 2: ： 与 轴有两个公共点

图 3: ： 与 轴只有一个公共点

图 4: ： 与 轴没有公共点

 3．一元二次不等式的解法步骤

以解 为例。二次项系数为负，先在两边同乘 −1 并把不等号改变方向，得 ；因式分解得 ；相应方程 的两根为 和 ；抛物线 开口向上，函数值不大于 0 的部分在两根之间，所以解集为 。

一般地，解一元二次不等式分四步：

(1) 化：把不等式化为 （或 <0）的形式，并使二次项系数 为 数；

(2) 判：计算判别式 ，判断相应一元二次方程 的情况；

(3) 求：当 时求出方程的实数根， 时无需求根；

(4) 写：结合抛物线开口方向，把使函数值大于 0（图象在 轴上方）与小于 0（图象在 轴下方）的 的范围写成解集。

判断

(1) 解不等式 时，两边同乘 −1，得 。（　　）

(2) 不等式 的解集是空集。（　　）