专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：一元二次不等式的概念与解法、二次函数与一元二次方程、不等式三者的关系、含参一元二次不等式的分类讨论、恒成立与有解问题； ▲难点：二次项系数为时退化为一次不等式的处理、含参问题中"的符号"与"的符号"的分类顺序、由解集反求参数时的端点取舍． 目录 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（期中复习讲义） 1 知识点1 一元二次不等式 1 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 2 【题型2 解含参一元二次不等式】 3 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 4 【题型3 三个"二次"关系的应用】 5 【题型4 由一元二次不等式解集求参】 6 知识点3 一元二次不等式的解法与综合应用 7 【题型5 一元二次不等式恒成立与有解问题】 8 【题型6 一元二次不等式的实际应用】 9 【题型7 一元二次不等式与方程根的分布综合】 10 考点1 一元二次不等式 知识点1 一元二次不等式 【重难点】★重点：一元二次不等式的定义与解集的概念，不含参一元二次不等式的解法（因式分解法、图象法）； ▲难点：二次项系数为负时解集的写法、含参不等式中二次项系数为时须退化为一次不等式处理、判别式与二次项系数的分类讨论． 1．定义　只含一个未知数，且未知数的最高次数是的整式不等式叫做一元二次不等式，一般形式（或），其中． 2．解集　使一元二次不等式成立的实数组成的集合叫做这个不等式的解集． 3．解法要点　时""的解集是"的两根之外"，时是两根之间；含参时按"的符号"与"的符号"分类讨论． 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 【例1】解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)． 【解析】(1)解：因式分解得， ∴或，解集为； (2)解：由得，解集为； (3)解：等价于，即， ∴，解集为． 【变式1-1】解下列一元二次不等式：(1)；(2)． 【解析】(1)解：由得，解集为； (2)解：由得或，解集为． 【变式1-2】解下列一元二次不等式：． 【解析】解：由得，即，解集为． 【变式1-3】解下列一元二次不等式：． 【解析】解：由得或，解集为． 【题型2 解含参一元二次不等式】 【例2】解下列关于的不等式：(1)；(2)． 【解析】(1)解：因式分解得， 当时解集为；当时解集为； 当时解集为； (2)解：记．当， 即时，不等式恒成立，解集为；当， 即时，解集为除去；当，即或时， 设两根为，解集为， 其中，． 【变式2-1】解关于的不等式：． 【解析】解：记．当时，，不等式无解，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为． 【变式2-2】解关于的不等式：． 【解析】解：记．当， 即时，不等式无解，解集为；当， 即时，解集为；当，即或时， 设两根为，解集为， 其中，． 【变式2-3】解关于的不等式：． 【解析】解：配方得，∴，即， 解集为． 考点2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 【重难点】★重点：二次函数的图象与轴的交点个数与的关系，三个"二次"（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的对应关系； ▲难点：由的符号判断不等式解集的结构、含参问题中时解集为单点集的写法． 1．三个二次　二次函数（）、一元二次方程、一元二次不等式（或）． 2．的作用　：抛物线与轴有个交点，方程有个不等实根；：有个交点，方程有个等实根；：无交点，方程无实根． 3．对应关系　不等式的解集就是使二次函数的图象在轴上方（下方）的的集合． 【题型3 三个"二次"关系的应用】 【例3】已知二次函数，试确定：(1)该函数的图象与轴交点的横坐标；(2)不等式的解集． 【解析】(1)令，解得， ∴该函数的图象与轴交点的横坐标为与； (2)由图象可知抛物线开口向上，与轴的两个交点把轴分成三段， ∴的解集为． 【变式3-1】已知函数，则不等式的解集是______． 【解析】解，即，由得或， 解集为． 【变式3-2】若函数的最小值为______． 【解析】，∵， ∴的最小值为（当时取到）． 【变式3-3】已知函数，则的解集是______，的根是______． 【解析】解，即，由得，解集为； 解，即，由得根为与． 【题型4 由一元二次不等式解集求参】 【例4】已知不等式的解集为，求实数的取值范围． 【解析】∵不等式的解集为，∴该不等式对一切恒成立． ∵二次项系数为正，∴恒成立的条件是判别式小于，即， 即，∴实数的取值范围是． 【变式4-1】已知不等式的解集为，求实数的值． 【解析】∵不等式的解集为， ∴对应方程的两根为与．由根与系数关系得 由得，此时常数项为，符合．∴实数的值为． 【变式4-2】已知不等式的解集为，求实数的值． 【解析】∵不等式的解集为， ∴对应方程的两根为与．由根与系数关系得 由得，此时常数项为，符合．∴实数的值为． 【变式4-3】已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】∵不等式在上恒成立，∴令， 则在上的最小值大于． 当时，在上单调递增，最小值为，恒成立； 当时，的对称轴为，最小值为， 即，此时恒成立；当时，最小值为， 即，与矛盾．综合得．∴实数的取值范围是． 考点3 一元二次不等式的解法与综合应用 知识点3 一元二次不等式的解法与综合应用 【重难点】★重点：解一元二次不等式的图象法与因式分解法，含参一元二次不等式的分类讨论，由解集反求参数，一元二次不等式的恒成立与有解问题； ▲难点：含参问题中二次项系数为时须单独讨论、"且"时恒成立、时不等式解集含端点的处理． 1．两种解法　图象法：作图、看符号、写出解集；因式分解法：先求根，再按"大于取两边、小于取中间"写解集． 2．含参分类　讨论顺序：先看二次项系数是否为，再按""与""分类，每类中再按的符号讨论． 3．恒成立与有解　"对一切恒成立"等价于"且"；"有解"等价于""或""． 【题型5 一元二次不等式恒成立与有解问题】 【例5】已知不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；若该不等式有解，求的取值范围． 【解析】(1)要使对一切恒成立，须且只须判别式， 即； (2)若该不等式有解，即存在使成立，则不能对一切恒成立， 故判别式，即或． 【变式5-1】已知不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【解析】要使对一切恒成立， 首先必须有（否则二次项系数非正， 图象不开口向上，函数值不可能对一切都大于）， 其次须且只须判别式，即．∴实数的取值范围是． 【变式5-2】已知不等式有解，求实数的取值范围． 【解析】要使有解，须且只须判别式， 即，即或．∴实数的取值范围是． 【变式5-3】已知不等式的解集为，求实数的值． 【解析】∵不等式的解集为， ∴对应方程的两根为与．由根与系数关系得 由得，此时常数项为，符合．∴实数的值为． 【题型6 一元二次不等式的实际应用】 【例6】某商场销售一种商品，每件进价元，售价为元时每天可售出件，设每天利润为元．(1)写出关于的函数关系式；(2)售价定为多少元时每天利润最大？最大利润是多少？ 【解析】(1)每天利润（）； (2)配方得，∵，∴当时取最大值，最大值为． ∴售价定为元时每天利润最大，最大利润是元． 【变式6-1】某产品元/件时每天可售出件，售价每上涨元，每天少售出件．设售价为元时每天利润为元，求的最大值． 【解析】售价为元时，每天售出件， 故每天利润（）； 配方得，∵，∴当时取最大值，最大值为． ∴的最大值是元． 【变式6-2】某矩形的长为，宽为，且周长为，求其面积的最大值． 【解析】设矩形的长为，宽为，则，，且． 由基本不等式，当且仅当时取等号． ∴其面积的最大值是． 【变式6-3】已知某商品售价元时，日销量为件（），成本为元/件．设每天利润为元，求的最大值． 【解析】售价为元时，日销量为件，每件利润为元， 故每天利润（）； 配方得，∵，∴当时取最大值，最大值为． ∴的最大值是元． 【题型7 一元二次不等式与方程根的分布综合】 【例7】已知关于的方程的两根均大于，求实数的取值范围． 【解析】设方程的两根为，，不妨设． ∵，∴两根同号；又两根均大于，故两根均为正．由两根均大于 得由得或； 结合（两根为正且和大于），得；由得． ∴实数的取值范围是． 【变式7-1】已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】要使恒成立，须且只须判别式， 即，解得．∴实数的取值范围是． 【变式7-2】已知关于的方程的一根大于，另一根小于，求实数的取值范围． 【解析】设，对应方程的两根为，． ∵一根大于，另一根小于，即在两根之间，∴，即， 即，∴实数的取值范围是． 【变式7-3】若关于的不等式的解集为，求实数的值． 【解析】∵不等式的解集为， ∴对应方程的两根为与．由根与系数关系得 由得，此时常数项为，符合．∴实数的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：一元二次不等式的概念与解法、二次函数与一元二次方程、不等式三者的关系、含参一元二次不等式的分类讨论、恒成立与有解问题； ▲难点：二次项系数为时退化为一次不等式的处理、含参问题中"的符号"与"的符号"的分类顺序、由解集反求参数时的端点取舍． 目录 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（期中复习讲义） 1 知识点1 一元二次不等式 1 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 2 【题型2 解含参一元二次不等式】 3 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 4 【题型3 三个"二次"关系的应用】 5 【题型4 由一元二次不等式解集求参】 6 知识点3 一元二次不等式的解法与综合应用 7 【题型5 一元二次不等式恒成立与有解问题】 8 【题型6 一元二次不等式的实际应用】 9 【题型7 一元二次不等式与方程根的分布综合】 10 考点1 一元二次不等式 知识点1 一元二次不等式 【重难点】★重点：一元二次不等式的定义与解集的概念，不含参一元二次不等式的解法（因式分解法、图象法）； ▲难点：二次项系数为负时解集的写法、含参不等式中二次项系数为时须退化为一次不等式处理、判别式与二次项系数的分类讨论． 1．定义　只含一个未知数，且未知数的最高次数是的整式不等式叫做一元二次不等式，一般形式（或），其中． 2．解集　使一元二次不等式成立的实数组成的集合叫做这个不等式的解集． 3．解法要点　时""的解集是"的两根之外"，时是两根之间；含参时按"的符号"与"的符号"分类讨论． 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 【例1】解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)． 【变式1-1】解下列一元二次不等式：(1)；(2)． 【变式1-2】解下列一元二次不等式：． 【变式1-3】解下列一元二次不等式：． 【题型2 解含参一元二次不等式】 【例2】解下列关于的不等式：(1)；(2)． 【变式2-1】解关于的不等式：． 【变式2-2】解关于的不等式：． 【变式2-3】解关于的不等式：． 考点2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 【重难点】★重点：二次函数的图象与轴的交点个数与的关系，三个"二次"（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的对应关系； ▲难点：由的符号判断不等式解集的结构、含参问题中时解集为单点集的写法． 1．三个二次　二次函数（）、一元二次方程、一元二次不等式（或）． 2．的作用　：抛物线与轴有个交点，方程有个不等实根；：有个交点，方程有个等实根；：无交点，方程无实根． 3．对应关系　不等式的解集就是使二次函数的图象在轴上方（下方）的的集合． 【题型3 三个"二次"关系的应用】 【例3】已知二次函数，试确定：(1)该函数的图象与轴交点的横坐标；(2)不等式的解集． 【变式3-1】已知函数，则不等式的解集是______． 【变式3-2】若函数的最小值为______． 【变式3-3】已知函数，则的解集是______，的根是______． 【题型4 由一元二次不等式解集求参】 【例4】已知不等式的解集为，求实数的取值范围． 【变式4-1】已知不等式的解集为，求实数的值． 【变式4-2】已知不等式的解集为，求实数的值． 【变式4-3】已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 考点3 一元二次不等式的解法与综合应用 知识点3 一元二次不等式的解法与综合应用 【重难点】★重点：解一元二次不等式的图象法与因式分解法，含参一元二次不等式的分类讨论，由解集反求参数，一元二次不等式的恒成立与有解问题； ▲难点：含参问题中二次项系数为时须单独讨论、"且"时恒成立、时不等式解集含端点的处理． 1．两种解法　图象法：作图、看符号、写出解集；因式分解法：先求根，再按"大于取两边、小于取中间"写解集． 2．含参分类　讨论顺序：先看二次项系数是否为，再按""与""分类，每类中再按的符号讨论． 3．恒成立与有解　"对一切恒成立"等价于"且"；"有解"等价于""或""． 【题型5 一元二次不等式恒成立与有解问题】 【例5】已知不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；若该不等式有解，求的取值范围． 【变式5-1】已知不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【变式5-2】已知不等式有解，求实数的取值范围． 【变式5-3】已知不等式的解集为，求实数的值． 【题型6 一元二次不等式的实际应用】 【例6】某商场销售一种商品，每件进价元，售价为元时每天可售出件，设每天利润为元．(1)写出关于的函数关系式；(2)售价定为多少元时每天利润最大？最大利润是多少？ 【变式6-1】某产品元/件时每天可售出件，售价每上涨元，每天少售出件．设售价为元时每天利润为元，求的最大值． 【变式6-2】某矩形的长为，宽为，且周长为，求其面积的最大值． 【变式6-3】已知某商品售价元时，日销量为件（），成本为元/件．设每天利润为元，求的最大值． 【题型7 一元二次不等式与方程根的分布综合】 【例7】已知关于的方程的两根均大于，求实数的取值范围． 【变式7-1】已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式7-2】已知关于的方程的一根大于，另一根小于，求实数的取值范围． 【变式7-3】若关于的不等式的解集为，求实数的值． 2 / 30 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