第2章 一元二次函数、方程和不等式（20个核心题型归纳）复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式·章末大盘点 力学笃行·知行并进·学用相长 一元二次函数、方程和不等式·章末大盘点 目录 题型01 不等式表示不等关系 题型02 作差法比较大小 题型03 作商法比较大小 题型04 由不等式性质比较大小 题型05 由不等式性质求范围 题型06 基本不等式求和的最小值 题型07 基本不等式求积的最大值 题型08 “1”的妙用 题型09 条件等式求最值 题型10 基本不等式中的恒成立问题 题型11 对勾函数求最值 题型12 基本不等式多选综合 题型13 解一元二次不等式 题型14 解简单的含参一元二次不等式 题型15 一元二次不等式中的含参讨论 题型16 实数范围内的恒成立问题 题型17 区间上的恒成立问题 题型18 有解问题 题型19 根的分布 题型20 一元二次不等式的实际应用 知识梳理 一元二次方程、不等式 一元二次不等式 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 一般形式：或，其中a，b，c均为常数，且 一元二次不等式与函数、方程的关系 判别式 的图象 的零点 两个零点 一个零点 没有零点 的根 两个不相等的实数根 两个相等的 实数根 无实数根 的解集 或 的解集 一元二次不等式的解法 第1步：化为的形式 第2步：求判别式，若<0，不等式解集为； 若0，求的根 第3步：写出解集，若，解集是或；若，解集是 方法 题型 题型01 不等式表示不等关系 （26-27高一上·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，可知，其中，，化简得 （26-27高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 题型02 作差法比较大小 （26-27高一上·上海宝山·阶段检测）比较两个代数式的大小关系：______ 【答案】 【详解】， 因此，所以. （26-27高一上·福建厦门·阶段检测）设，则的大小关系为___． 【答案】 【详解】易知，则. 题型03 作商法比较大小 （25-26高一上·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 【答案】 【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为： （26-27高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即.又，. 故答案为：>. 题型04 由不等式性质比较大小 （26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知、、、，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 【答案】B 【详解】取 ，，，，则 ，故A错误；，，两边同除以 得 ，故B正确；取 ，，，，则 ，故C错误； 由知，，所以，在不等式的两边同时乘以得，然后在不等式的两边同时乘以得，故D错误． （26-27高一上·天津和平·阶段检测）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，，可得.对于A，取，，，， ，，此时，故A错误；对于B，因为，，所以，故B错误；对于C，因为，所以，，.由，两边同时乘以，得到.又，两式相乘得，于是，故C正确；对于D，取，，，，此时，故D错误. 题型05 由不等式性质求范围 （26-27高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，求的取值范围． 【答案】（1）略 （2）； （3）． 【详解】（1）因为，所以,则． （2）因为，所以， 所以，所以. （3）已知， 因为，所以 （26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） （1）已知，求证：； （2）已知实数，若，求的取值范围． 【答案】（1）略 （2） ． 【详解】（1）证明：， 所以，等号成立当且仅当且. （2）设．则，解得，； 所以，由，得，又，所以，两式相加：，所以的取值范围是 题型06 基本不等式求和的最小值 （25-26高三上·上海普陀·期中）若，则的最小值是____________． 【答案】/ 【详解】解：因为，所以，，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：. （26-27高一上·天津北辰·阶段检测）已知，当__________时，取得最小值，最小值为__________. 【答案】 3 5 【详解】因为.因为，所以.当且仅当，即时，等号成立.此时时取最小值为5.故答案为：3 ；5. 题型07 基本不等式求积的最大值 （26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）若，则的最大值为______. 【答案】4 【详解】方法一（二次函数法）：设函数，整理得，定义域为，该函数为二次函数，二次项系数，因此抛物线开口向下，对称轴为直线，由于，故当时函数取得最大值，代入得. 方法二（基本不等式法）：由得，根据基本不等式（，当且仅当时等号成立），可得：，当且仅当即时等号成立，且满足要求，因此的最大值为4. （25-26高一下·黑龙江伊春·期中）已知，则的最大值为______． 【答案】 【详解】因为，则，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为： 题型08 “1”的妙用 （26-27高一上·福建福州·阶段检测）已知，且，，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】因为（），则，两边同除以得 ， 则，其中，，根据基本不等式可知 ， 当且仅当，即时取等号，联立，解得，，满足，的条件，因此，即最小值为． （26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【详解】因为，，在两边同时除以，得. 所以. 因为，，所以，.由基本不等式得，. 所以.当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 题型09 条件等式求最值 （26-27高一上·湖南长沙·阶段检测）已知，且，则的最大值为______. 【答案】 【详解】由可得，可知，当且仅当时等号成立，即，化简得，解得，即的最大值为.当且仅当时等号成立. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是_______． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 题型10 基本不等式中的恒成立问题 （26-27高一上·河北保定·阶段检测）已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，则，可得， 当且仅当，即时，等号成立，若命题：“，恒成立”是真命题，则，可得，所以实数的取值范围是. （2026高三上·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】 【详解】因为，故，因为，故，而，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故，故实数的最大值是. 题型11 对勾函数求最值 （26-27高三·全国·课后作业）设，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】设函数，则当时，单调递增，此时； 当时，单调递减，此时，故，则的取值范围是，故答案为： （26-27高一上·上海·课后作业）函数的值域为__________． 【答案】 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，，当且仅当时取等号.故函数的值域为.故答案为： 题型12 基本不等式多选综合 （重庆市渝东九校2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试题）已知正数a，b满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题知，，且. 选项A：，当时等号成立，A正确. 选项B：， ，当时等号成立，B正确. 选项C：， 当即时等号成立，C正确. 选项D：当时，，D错误. （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为9 【答案】ABD 【详解】对于A，由正实数满足，根据基本不等式可得，两边同时平方得，即，当且仅当时取等号，此时有最大值为，选项A正确； 对于B，由，则，所以， 当时，有最小值为，选项B正确； 对于C，由， 由，则，由基本不等式可得，当且仅当， 即时取等号，而为正实数，所以等号取不到，因此不存在最大值，选项C错误； 对于D，因为，由选项A知，当且仅当时取等号，所以，因此，即当时，有最小值为9，选项D正确. 题型13 解一元二次不等式 （26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）下列选项中，正确的是（     ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为，则的值为 【答案】ABD 【详解】对A，由或. 所以不等式的解集为，故A正确； 对B，由， 所以不等式的解集为，故B正确； 对C，由或或， 所以不等式的解集为或，故C错误； 对D，关于的一元二次不等式的解集为， 所以为方程的两根，所以， 此时，所以，故D正确. （26-27高一上·山东泰安·阶段检测）解下列不等式（最后答案用集合或区间表示）： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为等价于，即，解得或， 所以不等式的解集为． （2）因为恒成立，所以的解集为. （3）因为等价于，整理可得，等价于，解得， 所以不等式的解集为． （4）因为等价于或，解得或， 故的解集为． 题型14 解简单的含参一元二次不等式 （26-27高一上·北京石景山·阶段检测）若，则关于x的不等式的解集为_____. 【答案】 【详解】不等式两边同时除以得，令，解得，故的解集为或，即原不等式的解集为. （26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为______. 【答案】或 【详解】 . ①，解集为，要想解集中恰有4个整数，则这四个整数为，得； ②，解集为，要想解集中恰有4个整数，则这四个整数为，得； ③，解集为空集，不符合题意.综上所述：实数m的取值范围为或. 题型15 一元二次不等式中的含参讨论 （2026-2027学年高一数学同步精品讲义） （1）设，解关于的不等式； （2）设，解关于的不等式. 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）答案不唯一，见解析. 【详解】解:（1）方程的判别式, ①当,即或时,方程的两根为:,, 所以原不等式的解集为或. ②当, 即或时, 方程有两个相等的实数根, 当时, 方程的根为, 所以原不等式的解集为; 当时, 方程的根为, 所以原不等式的解集为. ③当，即时，方程无实根，所以原不等式的解集为. 综上, 或时, 原不等式的解集为或;时, 原不等式的解集为;时, 原不等式的解集为;时，原不等式的解集为. （2）①当时, 恒成立, 所以原不等式的解集为. ②当时, 原不等式变为, 即, 解得. ③当时, 原不等式变为, 解得. 综上, 时，原不等式的解集为;时, 原不等式的解集为;时, 原不等式的解集为. （26-27高一上·上海闵行·阶段检测）求下列关于的不等式的解： (1)（）； (2)（且）． 【答案】(1)当时，此时不等式无解；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时不等式的解集为； 【详解】（1），化简为，当时，，此时不等式无解； 当时，解得；当时，解得； （2）不等式为，即. 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，由得.方程的根为或 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时不等式的解集为 题型16 实数范围内的恒成立问题 （26-27高一上·天津武清·阶段检测）若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______． 【答案】 【详解】①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需且，解得 ． 综上所述，． （26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【详解】由题意，原命题“，使得”是假命题， 则其否命题“，使得恒成立”是真命题， 当时，不等式为，对任意恒成立，符合题意， 当时，要使不等式对任意恒成立， 则需满足，解不等式组可得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型17 区间上的恒成立问题 （26-27高一上·湖南湘潭·阶段检测）若，，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】要使对任意恒成立，只需，又，当时取等号.于是，即的取值范围是. （2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为是一个区间，故，二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增，所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时，函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减，所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 题型18 有解问题 （26-27高二上·江苏苏州·开学考试）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】原不等式在内有解等价于在内有解， 设函数， ，所以原问题等价于，， ，.因此，实数的取值范围是.故答案为：. （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知存在，不等式有解，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分离参数后，结合基本不等式求和的最小值，转化为不等式的能成立问题处理. 【详解】由于，分离参数后问题转化为：在上有解，只需要，由基本不等式，当时，即取得等号，而，，故. 故答案为： 题型19 根的分布 （26-27高一上·江西南昌·阶段检测）若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】由方程在上有两个不同的实根，可得： 解得，即的取值范围为. （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实根，分别求满足条件的实数的取值范围： (1)两根一正一负； (2)两根均为负根； (3)两根均大于1． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设方程两根为，， 由韦达定理：，，． 若两根一正一负，则，即，解得，即， 所以的取值范围是． （2）解：若两根均为负根，则，即，解得，即， 所以的取值范围是． （3）解：若两根均大于1，则，变形得， 即，解得，即，所以的取值范围是． 题型20 一元二次不等式的实际应用 （25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去，该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为： 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元，所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元.故答案为：. （26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知，因为，当且仅当即时等号成立，所以当时，一年的总费用最小，故x的值为30. 2 学科网（北京）股份有限公司 $第2章 一元二次函数、方程和不等式·章末大盘点 力学笃行·知行并进·学用相长 一元二次函数、方程和不等式·章末大盘点 目录 题型01 不等式表示不等关系 题型02 作差法比较大小 题型03 作商法比较大小 题型04 由不等式性质比较大小 题型05 由不等式性质求范围 题型06 基本不等式求和的最小值 题型07 基本不等式求积的最大值 题型08 “1”的妙用 题型09 条件等式求最值 题型10 基本不等式中的恒成立问题 题型11 对勾函数求最值 题型12 基本不等式多选综合 题型13 解一元二次不等式 题型14 解简单的含参一元二次不等式 题型15 一元二次不等式中的含参讨论 题型16 实数范围内的恒成立问题 题型17 区间上的恒成立问题 题型18 有解问题 题型19 根的分布 题型20 一元二次不等式的实际应用 知识梳理 一元二次方程、不等式 一元二次不等式 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 一般形式：或，其中a，b，c均为常数，且 一元二次不等式与函数、方程的关系 判别式 的图象 的零点 两个零点 一个零点 没有零点 的根 两个不相等的实数根 两个相等的 实数根 无实数根 的解集 或 的解集 一元二次不等式的解法 第1步：化为的形式 第2步：求判别式，若<0，不等式解集为； 若0，求的根 第3步：写出解集，若，解集是或；若，解集是 方法 题型 题型01 不等式表示不等关系 （26-27高一上·全国·课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元.现有工人工资预算2 000元，设请木工人，瓦工人，则工人数需满足的关系式是（    ） A． B． C． D． （26-27高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 题型02 作差法比较大小 （26-27高一上·上海宝山·阶段检测）比较两个代数式的大小关系：______ （26-27高一上·福建厦门·阶段检测）设，则的大小关系为___． 题型03 作商法比较大小 （25-26高一上·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ （26-27高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 题型04 由不等式性质比较大小 （26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知、、、，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 （26-27高一上·天津和平·阶段检测）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型05 由不等式性质求范围 （26-27高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知，求的取值范围； （3）已知，求的取值范围． （26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） （1）已知，求证：； （2）已知实数，若，求的取值范围． 题型06 基本不等式求和的最小值 （25-26高三上·上海普陀·期中）若，则的最小值是____________． （26-27高一上·天津北辰·阶段检测）已知，当__________时，取得最小值，最小值为__________. 题型07 基本不等式求积的最大值 （26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）若，则的最大值为______. （25-26高一下·黑龙江伊春·期中）已知，则的最大值为______． 题型08 “1”的妙用 （26-27高一上·福建福州·阶段检测）已知，且，，则的最小值为_____． （26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为____． 题型09 条件等式求最值 （26-27高一上·湖南长沙·阶段检测）已知，且，则的最大值为______. （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是_______． 题型10 基本不等式中的恒成立问题 （26-27高一上·河北保定·阶段检测）已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． （2026高三上·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 题型11 对勾函数求最值 （26-27高三·全国·课后作业）设，则的取值范围是______． （26-27高一上·上海·课后作业）函数的值域为__________． 题型12 基本不等式多选综合 （重庆市渝东九校2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试题）已知正数a，b满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为9 题型13 解一元二次不等式 （26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）下列选项中，正确的是（     ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为，则的值为 （26-27高一上·山东泰安·阶段检测）解下列不等式（最后答案用集合或区间表示）： (1)； (2)； (3)； (4) 题型14 解简单的含参一元二次不等式 （26-27高一上·北京石景山·阶段检测）若，则关于x的不等式的解集为_____. （26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为______. 题型15 一元二次不等式中的含参讨论 （2026-2027学年高一数学同步精品讲义） （1）设，解关于的不等式； （2）设，解关于的不等式. （26-27高一上·上海闵行·阶段检测）求下列关于的不等式的解： (1)（）； (2)（且）． 题型16 实数范围内的恒成立问题 （26-27高一上·天津武清·阶段检测）若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______． （26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 题型17 区间上的恒成立问题 （26-27高一上·湖南湘潭·阶段检测）若，，则的取值范围是______． （2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 题型18 有解问题 （26-27高二上·江苏苏州·开学考试）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是___________. （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知存在，不等式有解，则实数的取值范围为__________. 题型19 根的分布 （26-27高一上·江西南昌·阶段检测）若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围为________． （26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实根，分别求满足条件的实数的取值范围： (1)两根一正一负； (2)两根均为负根； (3)两根均大于1． 题型20 一元二次不等式的实际应用 （25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. （26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $