2.2 基本不等式 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 2.2　基本不等式

 必修第一册　第二章　一元二次函数、方程和不等式

[学习目标]

1．借助弦图与半圆中的线段，理解重要不等式 与基本不等式 ，能说出两者各自成立的条件与等号成立的条件。

2．会用基本不等式求两个正数的积的最大值与和的最小值，会处理需要拆项、配凑与“乘 1”的式子。

3．能在实际问题中设变量、列关系，用基本不等式求最短篱笆与最大面积，会把等号条件代回所给范围检验。

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 1．重要不等式

图 1 是赵爽弦图：四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空出一个小正方形。把直角三角形的两条直角边长分别记作 、，斜边长记作 ，由勾股定理 ，大正方形的面积就是 ；四个直角三角形的面积合计为 。中间小正方形的边长是 ，面积不小于 0，所以大正方形的面积不小于四个直角三角形的面积之和。

图 1: 赵爽弦图：大正方形面积等于四个直角三角形面积与中间小正方形面积之和

(1) 重要不等式：对任意实数 、，有 ，当且仅当时取等号。

证明只需一步作差：≥0。完全平方公式对一切数都成立，所以这里的 、 可以是任意实数，不要求它们是正数。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 若 、 为任意实数，则 。（　　）

(2) 当 、 时，。（　　）

 2．基本不等式

图 2 中 是半圆的直径， 在 上，、，其中 、；过 作 垂直于 交半圆于 ， 是圆心。直径 ，半径 ，。在直角三角形 中用勾股定理，

点 在半圆上，线段 不长于半径 ，即 ；当 与 重合，也就是 时， 与半径重合，两者相等。

图 2: 半圆中，垂直于直径的线段 不长于半径

(1) 基本不等式：如果 、，那么 ，当且仅当时取等号。

(2) 两种等价写法：，。它们与 (1) 是同一个不等式的不同变形，不是三条可以各自叠加的条件。

(3) 平均数语言： 叫做 、 的平均数， 叫做 、 的平均数。基本不等式说的是：两个正数的几何平均数它们的算术平均数。

 提醒： 基本不等式的前提是 、。、 同为负数时 仍有意义，但 是负数，结论不成立；、 一正一负时 没有意义。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 对任意实数 、，都有 。（　　）

(2) 当 、 时，。（　　）

 3．由基本不等式求积的最大值与和的最小值

两个正数 与 的积恒为 4。取三组数值列成下表，再按这些点画出 （）的图象（图 3）。

表中三组的积都是 4，和以中间一组最小，而这一组恰好是两个数相等（都等于 2）；图象上的最低点是 (2,4)。把这一观察写成一般结论，就得到下面两条。

图 3: （）的图象在 处最低，最低点的纵坐标是 4

(1) 和定积最大：如果 、，且 （ 为定值），那么 ，当且仅当 时取等号。

(2) 积定和最小：如果 、，且 （ 为定值），那么 ，当且仅当 时取等号。

两条都由 变形得到：第 (1) 条把不等式两边平方，第 (2) 条把 换成 后整理。前者用来求积的最大值，后者用来求和的最小值。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 已知 、，且 ，则 的最大值是 9。（　　）

(2) 已知 ，则 的最小值是 3。（　　）

 4．使用基本不等式的三个条件

同一个式子 ，条件不同结论就不同。当 时，两项之积恒为 1，等号在 取得，最小值 2 成立；当 时， 与 都是负数，取 得 ，此时得到的是最大值 −2；当 时，等号要求的 不在所给范围内，2 只能作为一个下界。由此归纳出三条要求。

(1) 一正：、 必须都是；式子中含负项时，先提取负号或换元，把它化为正数再用。

(2) 二定：要用不等式的或必须是与变量无关的定值，否则只能得到一个仍然含变量的界。